《數(shù)學(xué)歸納法》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版教學(xué)設(shè)計(jì)】

第四章數(shù)列《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證明的原理及基本步驟．難點(diǎn)：基本步驟的第二步推演過程．教學(xué)過程教學(xué)過程一.情境引入問題1：什么時(shí)候需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法？答案：（1）問題的結(jié)論與自然數(shù)n相關(guān)；

（2）對(duì)于某一類自然數(shù)命題成立；（例如命題在連續(xù)自然數(shù)或所有偶數(shù)或奇數(shù)等范圍成立）

（3）不能直接利用推理證明（或者直接證明不太好敘述）的情況下，利用數(shù)學(xué)歸納法．例如，要證明對(duì)任意的正整數(shù)n，等式n?1n+2=n2+n?2恒成立，可以直接利用多項(xiàng)式的乘法法則，左邊展開，合并同類項(xiàng)，就能得到右邊二、新知探究想一想：下面這道題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯(cuò)誤？求證：12+2證明：假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?時(shí)，等式成立，即12+22+32答案：證法有錯(cuò)誤．問題2：這道題需要證明n=1的情況嗎？答案：這道題需要證明n=1的情況．這個(gè)證法只有第二步，而缺少了第一步，沒有證明n=1的情況．第一步是后面遞推的出發(fā)點(diǎn)，沒有它，遞推就成為無源之水．所以，我們應(yīng)該先考慮當(dāng)n=1時(shí)該式是否成立．當(dāng)n=1時(shí)，該式的左邊=12=1，而右邊=16×1×追問1：上述證法如果加上證明n=1的情況，還有錯(cuò)誤嗎？答案：有錯(cuò)誤，這個(gè)證法當(dāng)n=k+1時(shí)，有12+22+32+?+k+12=k+1k+1+12k+1+16，直接把k給成k+1追問2：如何修改上述證法？答案：首先要明確目標(biāo)：我們是假設(shè)n=k時(shí)該式成立，并以此為條件證明n=k+1時(shí)該式也成立，從而證明命題的成立具有遞推性．所以，12+22+32+?+k+12=k+1k+1+12k+1+16這個(gè)式子是需要我們證明的，是我們的目標(biāo)．那該怎么證明呢？我們一定要用上假設(shè)．既然假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)該式成立，那么12+22問題3：怎樣正確地使用數(shù)學(xué)歸納法？答案：首先，一定不要忘了驗(yàn)證第一步，我們稱這一步為歸納奠基，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，是必不可少的．其次，我們的第二步是在第一步基礎(chǔ)上證明命題的成立具有遞推性，這實(shí)際上是以邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程．假設(shè)P（k）為真，要用上假設(shè)，以此為已知條件，證明P（k+1）也為真，要明確“用上假設(shè)，遞推才真”．三、應(yīng)用舉例例1設(shè)n∈N?，(1)當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，計(jì)算f(2)你對(duì)fn分析：首先將n=1，2，3，4帶入fn計(jì)算數(shù)值，然后根據(jù)數(shù)值猜想解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，f1當(dāng)n=2時(shí)，f2當(dāng)n=3時(shí)，f3當(dāng)n=4時(shí)，f1(2)猜想：當(dāng)n∈N?時(shí)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．①當(dāng)n=1時(shí)，f1②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即fk能被8整除，那么，當(dāng)n=k+1f=5這里，5k和3k?1均為奇數(shù)，它們的和5k+3k?1必為偶數(shù)，從而45k+3這樣，我們就通過“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的過程解決了這一問題．例２：在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點(diǎn)．問：這n條直線將平面分成多少個(gè)部分？解：記n條直線把平面分成rn個(gè)部分，我們通過n=1，2，3，4，5，畫出圖形觀察rn從圖中可以看出，r1r2r3r4r5由此猜想rn接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．（1）當(dāng)n=1，2時(shí)，結(jié)論均成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即rk那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個(gè)部分，所以rk+1結(jié)論也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，對(duì)任何n∈N?，都有即r四、課堂練習(xí)１．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+２．求凸n邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n)．參考答案：１.思路點(diǎn)撥：分別確定當(dāng)n＝1，n＝k，n＝k＋1時(shí)不等式的左邊的值，找到它們之間的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題．證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，1+1（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（n∈N?）時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1+1即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由（1）和（2）可知，不等式對(duì)任意n∈N２．猜想：fn證明：（1）當(dāng)n=3時(shí)，f3（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（n≥3）時(shí)猜想成立，即k＝kk?32．則當(dāng)n＝k+1時(shí)，考察k+①k邊形A1A2?Ak中原有的對(duì)角線都是k+1②在Ak+1與A1，A2，?，Ak連接的k條線段中，除Ak+1A1，Ak+1綜合（１）（２）可知，對(duì)任何nn≥3五、課堂小結(jié)通過本節(jié)課，你有哪些收獲？答案：這節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，回答了“什么時(shí)候需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法”和“怎樣正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法”這兩個(gè)問題.數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的數(shù)學(xué)演繹證明方法，用于證