高等數(shù)學(xué)同濟(jì)下冊期末考試題及答案5套

高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（一）一、填空題（每小題3分，共計24分）z=log(x2y2)(a0)的定義域為D=。a二重積分ln(x2y2)dxdy的符號為。|x||y|1由曲線ylnx及直線xye1，y1所圍圖形的面積用二重積分表示為，其值為。x(t)設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為 (x),則弧長元素ds。y(t)設(shè)曲面∑為x2y29介于z0及z3間的部分的外側(cè)，則（x2y21)ds。dyyy微分方程tan的通解為。dxx x方程y(4)4y0的通解為。 1級數(shù) 的和為。n(n1)n1二、選擇題（每小題2分，共計16分）1、二元函數(shù)zf(x,y)在(x,y)處可微的充分條件是（） 0 0（A）f(x,y)在(x,y)處連續(xù)； 0 0f(x,y)，f(x,y)在(x,y)的某鄰域內(nèi)存在； x y 0 0zf(x,y)xf(x,y)y當(dāng)(x)2(y)20時，是無窮?。?x 0 0 y 0 0zf(x,y)xf(x,y)ylim x 0 0 y 0 0 0。 x0 (x)2(y)2y0 x y 2u 2u2、設(shè)uyf()xf(),其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則x y 等于（）y x x2 y2（A）xy；（B）x；(C)y；(D)0。3、設(shè)：x2y2z21,z0,則三重積分IzdV等于（）（A）42d2d1r3sincosdr；（B）2dd1r2sindr； 0 0 0 0 0 0（C）2d2d1r3sincosdr；（D）2dd1r3sincosdr。 0 0 0 0 0 0球面x2y2z24a2與柱面x2y22ax所圍成的立體體積V=（）（A）42d2acos4a2r2dr；（B）42d2acosr4a2r2dr； 0 0 0 0（C）82d2acosr4a2r2dr；（D）2d2acosr4a2r2dr。0 0 02設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則PdxQdy( )L PQ QP（A）()dxdy；（B）()dxdy； yx yx D D PQ QP（C）()dxdy；（D）()dxdy。 xy xy D D6、下列說法中錯誤的是（）方程xy2yx2y0是三階微分方程； dy dy方程yxysinx是一階微分方程；dxdx方程(x22xy3)dx(y23x2y2)dy0是全微分方程；dy12y（D）方程x是伯努利方程。dx2x已知曲線yy(x)經(jīng)過原點，且在原點處的切線與直線2xy60平行，而y(x)滿足微分方程y2y5y0，則曲線的方程為y（）exsin2x；（B）ex(sin2xcos2x)；（C）ex(cos2xsin2x)；（D）exsin2x。設(shè)limnu0,則u（） n nnn1收斂；（B）發(fā)散；（C）不一定；（D）絕對收斂。三、求解下列問題（共計15分）（7分）設(shè)f,g均為連續(xù)可微函數(shù)。uf(x,xy),vg(xxy)，uu求,。xyxtf(z)dz，求u,u。（8分）設(shè)u(x,t) xt xt四、求解下列問題（共計15分）。計算I2dx2ey2dy。（7分） 0 x計算I(x2y2)dV，其中是由x2y22z,z1及z2所圍成的空間閉區(qū)域（8分）xdyydx（13分）計算I，其中L是xoy面上的任一條無重點且分段光滑不經(jīng)過原點O(0,0)的封Lx2y2閉曲線的逆時針方向。f(x)f(y)（9分）設(shè)對任意x,y,f(x)滿足方程f(xy)，且f(0)存在，求f(x)。1f(x)f(y) (x2)2n1（8分）求級數(shù)(1)n的收斂區(qū)間。2n1n1高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（二）zz1、設(shè)2sin(x2y3z)x2y3z，則。xy39xylim。 x0 xyy0設(shè)I2dx2xf(x,y)dy，交換積分次序后，I。 0 x1設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f(0)0,則limf(x2y2)d。tt0 3x2y2t2設(shè)L為取正向的圓周x2y24，則曲線積分y(yex1)dx(2yexx)dy。L設(shè)A(x2yz)i(y2xz)j(z2xy)k，則divA。通解為ycexce2x的微分方程是。 1 21,8、設(shè)f(x)1,x0，則它的Fourier展開式中的a。0x n二、選擇題（每小題2分，共計16分）。xy2 , x2y20設(shè)函數(shù)f(x,y)x2y4 ,則在點（0，0）處（） 0, x2y20連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；（B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)u(x,y)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足2u 2u 2u0及 0，xy x2 y2則（）最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部；最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；（C）最大值點在D的內(nèi)部，最小值點在D的邊界上；（D）最小值點在D的內(nèi)部，最大值點在D的邊界上。設(shè)平面區(qū)域D：(x2)2(y1)21，若I(xy)2d，I(xy)3d1 2D D則有（）（A）II；（B）II；（C）II；（D）不能比較。 1 2 1 2 1 2設(shè)是由曲面zxy,yx,x1及z0所圍成的空間區(qū)域，則xy2z3dxdydz=（） 1 1 1 1（A）；（B）；（C）；（D）。 361 362 363 364x(t)設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為 (t)，其中(t),(t)在y(t)[,]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2(t)2(t)0，則曲線積分f(x,y)ds（）L(A)f((t),(t))dt；(B)f((t),(t))2(t)2(t)dt； (C)f((t),(t))2(t)2(t)dt；(D)f((t),(t))dt。6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面x2y2z21，則曲面積分xdydzydzdxzdxdy=（）()0；(B)2；(C)；(D)4。7、下列方程中，設(shè)y,y是它的解，可以推知yy也是它的解的方程是（） 1 2 1 2(A)yp(x)yq(x)0；(B)yp(x)yq(x)y0；(C)yp(x)yq(x)yf(x)；(D)yp(x)yq(x)0。8、設(shè)級數(shù)a為一交錯級數(shù)，則（）nn1(A)該級數(shù)必收斂；(B)該級數(shù)必發(fā)散；(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若a0(n0)，則必收斂。n三、求解下列問題（共計15分）（8分）求函數(shù)uln(xy2z2)在點A（0，1，0）沿A指向點B（3，-2，2）的方向的方向?qū)?shù)。（7分）求函數(shù)f(x,y)x2y(4xy)在由直線xy6,y0,x0所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問題（共計15分）（7分）計算Idv ，其中是由x0,y0,z0及xyz1所圍成的立體(1xyz)3域。（8分）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，定義F(t)[z2f(x2y2)]dv， dF其中(x,y,z)|0zh,x2y2t2，求。dt求解下列問題（15分）（8分）求I(exsinymy)dx(excosym)dy，其中L是從A（a，0）經(jīng)yaxx2到OL（0，0）的弧。（7分）計算Ix2dydzy2dzdxz2dxdy，其中是x2y2z2(0za)的外側(cè)。（15分）設(shè)函數(shù)(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分[3(x)2(x)xe2x]ydx(x)dy與路徑無關(guān)，求函數(shù)(x)。L高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（三）一、填空題（每小題3分，共計24分）yzet、函數(shù)f(x,y)xysin(x2y)在點（0，0）處沿l(1,2)的方向?qū)?shù)dt，則、函數(shù)f(x,y)xysin(x2y)在點（0，0）處沿l(1,2)的方向?qū)?shù)1、設(shè)u xz zf=。l(0,0)3、設(shè)為曲面z1x2y2,z0所圍成的立體，如果將三重積分If(x,y,z)dv化為先對z再對y最后對x三次積分，則I=。14、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則Ilimf(x,y)d，其中D:x2y2t2。tt0 2D、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(x,y)處的線密度為(x,y)，則曲線弧Ｌ的重心的x坐標(biāo)x、(x2y、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(x,y)處的線密度為(x,y)，則曲線弧Ｌ的重心的x坐標(biāo)xL設(shè)是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式：，該關(guān)系式稱為公式。微分方程y6y9yx26x9的特解可設(shè)為y*。(1)n1若級數(shù) 發(fā)散，則p。npn1二、選擇題（每小題2分，共計16分）f(xa,b)f(ax,b)1、設(shè)f(a,b)存在，則lim=（） x x0 x1（A）f(a,b)；（B）0；（C）2f(a,b)；（D）f(a,b)。x x 2x設(shè)zxy2，結(jié)論正確的是（）2z2z2z2z（A）0；（B）0； xyyx xyyx2z2z2z2z（C）0；（D）0。 xyyx xyyx若f(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于y軸對稱，對稱部分記為D,D，f(x,y)在D上連續(xù)，則 1 2f(x,y)d（）D（A）0；（B）2f(x,y)d；（C）4f(x,y)d；(D)2f(x,y)d。 D1 D1 D24、設(shè)：x2y2z2R2，則(x2y2)dxdydz=（） 8 4 8 16（A）R5；（B）R5；（C）R5；（D）R5。 3 3 15 15為（）11（Ａ）x=x(x,y)ds；（B）x=x(x,y)dx； ML ML1（C）x=x(x,y)ds；（D）x=xds,其中M為曲線弧Ｌ的質(zhì)量。 L ML６、設(shè)為柱面x2y21和x0,y0,z1在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則曲面積分y2zdxdyxzdydzx2ydxdz＝（） 5 （A）0；（B）；（C）；（D）。 4 24 4７、方程y2yf(x)的特解可設(shè)為（）（A）A，若f(x)1；（B）Aex，若f(x)ex；（C）Ax4Bx3Cx2DxE，若f(x)x22x；（D）x(Asin5xBcos5x)，若f(x)sin5x。 1, x0８、設(shè)f(x) ，則它的Fourier展開式中的a等于（） 1 0x n（A）2[1(1)n]；（B）0；（C）1；（D）4。n n n三、（１２分）設(shè)yf(x,t),t為由方程F(x,y,t)0確定的x,y的函數(shù)，其中f,F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)dy數(shù)，求dx。四、（８分）在橢圓x24y24上求一點，使其到直線2x3y60的距離最短。五、（８分）求圓柱面x2y22y被錐面zx2y2和平面z0割下部分的面積Ａ。六、（１２分）計算Ixyzdxdy，其中為球面x2y2z21的x0,y0部分的外側(cè)。df(cosx)七、（10分）設(shè)1sin2x，求f(x)。d(cosx)八、（10分）將函數(shù)f(x)ln(1xx2x3)展開成x的冪級數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（一）參考答案一、1、當(dāng)0a1時，0x2y21；當(dāng)a1時，x2y21；2、負(fù)號；3、d1dyey1ydx;32；4、2(t)2(t)dt； 0 eDy5、180；6、sinCx；x7、yCcos2xCsin2xCe2xCe2x；8、1； 123 4二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C； u u三、1、fyf；xg(xxy)； x 1 2y u u2、f(xt)f(xt)；f(xt)f(xt)； x t2dx2ey2dy2dyyey2dx2yey2dy1(1e4)；四、1、 0 x 0 0 0 22、I柱面坐標(biāo)2d2dr2r3dz2d2dr2r3dz14； 12 30 0 1 02 r2 y x P y2x2 Q五、令P,Q則 ，(x,y)(0,0)； x2y2 x2y2 y(x2y2)2xPQ于是①當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含O（0，0）時，,在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：I=0；②當(dāng)LyxPQ所圍成的區(qū)域D中含O（0，0）時， , 在D內(nèi)除O（0，0）外都連續(xù)，此時作曲線l為yxx2y22(01)，逆時針方向，并假設(shè)D*為L及l(fā)所圍成區(qū)域，則 QP IGreen公式()dxdy2 L l l Ll l xy D* x2y22六、由所給條件易得：2f(0)f(0)f(0)01f2(0)f(x)f(x)f(x) f(xx)f(x) 1f(x)f(x)又f(x)lim=lim x x x0 x0 1f2(x) f(x)f(0)lim f(0)[1f2(x)] x01f(x)f(x) xf(x)即f(0)1f2(x)arctanf(x)f(0)xc即f(x)tan[f(0)xc]又f(0)0即ck,kZf(x)tan(f(0)x)七、令x2t，考慮級數(shù)(1)nt2n12n1n1t2n3lim2n3t2nt2n12n1當(dāng)t21即t1時，亦即1x3時所給級數(shù)絕對收斂；當(dāng)t1即x3或x1時，原級數(shù)發(fā)散； 1當(dāng)t1即x1時，級數(shù)(1)n1收斂；2n1n1 1當(dāng)t1即x3時，級數(shù)(1)n收斂；2n1n1級數(shù)的半徑為R=1，收斂區(qū)間為[1，3]。高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（二）參考答案2一、1、1；2、-1/6；3、2dyyf(x,y)dx4dy2f(x,y)dx；4、f(0)； 0 y/2 2 y/2 35、8；6、2(xyz)；7、yy2y0；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函數(shù)uln(xy2z2)在點A（1，0，1）處可微，且；0；(1,0,1)1/2(1,0,1))1,)1,0,1(221zyxxuA2/112222zyyzyxyuA12222zyzzyxzuA而lAB(2,2,1),所以l(,,),故在A333點沿lAB方向?qū)?shù)為：u u u ucos+cos+coslAxA yA zA2 2110()1/2.3 3232、由fx2xy(4xy)xy(1)0得D內(nèi)的駐點為M(2,1),且f(2,1)4， fx2(4x2y)0 0y又f(0,y)0,f(x,0)0而當(dāng)xy6,x0,y0時，f(x,y)2x312x2(0x6)令(2x312x2)0得x0,x4 1 2于是相應(yīng)y6,y2且f(0,6)0,f(4,2)64.2f(x,y)在D上的最大值為f(2,1)4，最小值為f(4,2)64.0x1四、1、的聯(lián)立不等式組為:0yx1 0z1xy所以I1dx1xdy1xy dz 0 0 0 (1xyz)311dx1x[ 1 1]dy0 0(1xy)2411(13x)dx1ln25 20x1 4 2 162、在柱面坐標(biāo)系中F(t)2dtdrh[z2f(r2)]rdz2t[hf(r2)r1h3r]dr 0 0 0 0 3所以 dF 1 12[hf(t2)th3t]2ht[f(t2)h2]dt 3 3五、1、連接OA，由Green公式得：I L OA OA LOA OAGreen公式(excosyexcosym)dxdy0x2y2ax,y01ma28za2、作輔助曲面: ，上側(cè)，則由Gauss公式得：1x2y2a2I+= 1 1 1 1=2(xyz)dxdydza2dxdy x2y2z2,0za x2y2a2=2adzzdxdya40x2y2z2az3dza41a42 0 2六、由題意得：3(x)2(x)xe2x(x)即(x)3(x)2(x)xe2x特征方程r23r20，特征根r1, r2 1 2對應(yīng)齊次方程的通解為：ycexce2x 1 2又因為2是特征根。故其特解可設(shè)為：y*x(AxB)e2x1代入方程并整理得：A, B121即y*x(x2)e2x21故所求函數(shù)為：(x)cexce2xx(x2)e2x 1 2 2高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（三）參考答案一、1、yey2z2xex2z2；2、5；3、1dx1x2dy1x2y2f(x,y,z)dz； 1 1x2 0PQR4、f(0,0); 5、2a3；6、()dvPdydzQdzdxRdxdy，xyz Gauss公式；7、Ax2BxC8、P0。二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B三、由于dyf(x,t)dxf(x,t)dt，F(xiàn)dxFdyFdt0 x t x y tdyfFfF由上兩式消去dt，即得： x t txdxFfFt ty四、設(shè)(x,y)為橢圓x24y24上任一點，則該點到直線2x3y60的距離為62x3yd；令L(62x3y)2(