經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)函數(shù)的連續(xù)性公開課獲獎?wù)n件

一.函數(shù)持續(xù)概念ESC§1.5函數(shù)持續(xù)性二.初等函數(shù)持續(xù)性§1.5函數(shù)持續(xù)性

三.函數(shù)間斷點(diǎn)第1頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念在現(xiàn)實(shí)生活中有許多量都是持續(xù)變化，例如氣溫變化，植物生長，物體運(yùn)動旅程等．這些現(xiàn)象反應(yīng)在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)持續(xù)性．它是與函數(shù)極限親密有關(guān)另一種基本概念．首先引入增量(變化量)定義．第2頁ESC

對函數(shù),若自變量由改變到,自變量實(shí)際改變了,這時,函數(shù)值對應(yīng)地由改變到,若記為函數(shù)相應(yīng)改變量,則改變量定義

一.函數(shù)持續(xù)概念第3頁ESC連續(xù)直觀了解

某人爬山.在圖中藍(lán)色山體部分,該人沿山體向前挪動一小步,他在水平方向前進(jìn)了,在垂直方向上升了,顯然當(dāng)時,有這時,我們說該藍(lán)色山體是連續(xù).

而在點(diǎn),該人若在水平方向前進(jìn)很微小一點(diǎn),垂直方向就要上升很多,即當(dāng)時,不會有這時,我們說該山體在處不連續(xù).一.函數(shù)持續(xù)概念第4頁ESC由圖可看出,在處,當(dāng)很微小時,也很微小.對函數(shù):

尤其當(dāng)時,也有.這就是函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)實(shí)質(zhì).在處,曲線斷開,作為曲線上點(diǎn)橫坐標(biāo)從左側(cè)近旁變到右側(cè)近旁時,曲線上點(diǎn)縱坐標(biāo)展現(xiàn)跳躍,即在處,當(dāng)自變量有微小改變時,對應(yīng)函數(shù)值有顯著改變.

一.函數(shù)持續(xù)概念第5頁ESC函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其左右鄰近有定義,若則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),稱為該函數(shù)連續(xù)點(diǎn).若記則于是上式等價于(1)函數(shù)在點(diǎn)及其左右鄰近有定義；(2)極限存在；(3)極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)三個條件:一.函數(shù)持續(xù)概念(定義1.8)(定義1.9)第6頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念定義1.8與定義1.9能夠相互推出，所以它們是等價．也就是說，在使用時，能夠依據(jù)情況任選其一．由定義1.9能夠得出下面結(jié)論:

1．若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則在點(diǎn)處極限一定存在；反之，若在點(diǎn)處極限存在，則函數(shù)在點(diǎn)處不一定連續(xù)．第7頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念2．若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，在求時極限，只需求出在點(diǎn)處函數(shù)值即可．3．當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時,有.這個等式成立意味著在函數(shù)持續(xù)前提下，極限符號與函數(shù)符號可以互相互換，這一結(jié)論給我們求極限帶來很大以便．第8頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念

比如求．解

．第9頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念例1用定義證實(shí)在給定點(diǎn)處連續(xù)．證，，所以在給定點(diǎn)處連續(xù)．第10頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念例2用定義證實(shí)在點(diǎn)處連續(xù)．證，因?yàn)?，，所以，于是?dāng)時，．由任意性可知，在上連續(xù)．類似地，能夠證實(shí)在上連續(xù)．第11頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念若函數(shù)當(dāng)時極限存在

且等于，即而函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)當(dāng)時極限也存在，且第12頁ESC一.函數(shù)持續(xù)概念．解因?yàn)?，且在點(diǎn)連續(xù)，則

例3

求．第13頁ESC

左連續(xù)由函數(shù)在點(diǎn)左極限與右極限定義能夠得到函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)與右連續(xù)定義:若,則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù).

右連續(xù)若,則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù).函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)充分必要條件即是:函數(shù)在點(diǎn)處既左持續(xù)又右持續(xù).一.函數(shù)持續(xù)概念第14頁ESC例4設(shè)函數(shù)討論在處連續(xù)性.解這是分段函數(shù),是其分段點(diǎn).因,又

所以函數(shù)在處右連續(xù),但不左連續(xù),從而它在不連續(xù)．一.函數(shù)持續(xù)概念第15頁ESC函數(shù)在區(qū)間上持續(xù):若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱函數(shù)在上連續(xù),或稱為上連續(xù)函數(shù).初等函數(shù)在其有定義區(qū)間內(nèi)都是持續(xù)．結(jié)論函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù):函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是指：函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù);且在端點(diǎn)處右連續(xù),在端點(diǎn)處左連續(xù),即有:二.初等函數(shù)持續(xù)性第16頁ESC二.初等函數(shù)持續(xù)性初等函數(shù)在其有定義區(qū)間內(nèi)都是持續(xù)．結(jié)論依據(jù)這一結(jié)論,求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)極限時,只要求出該點(diǎn)函數(shù)值即可.比如,求初等函數(shù)在處有定義

由初等函數(shù)持續(xù)性第17頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)定義1.10假如函數(shù)在點(diǎn)不持續(xù)，則稱為一種間斷點(diǎn)．假如在點(diǎn)處有如下三種狀況之一，則點(diǎn)是一種間斷點(diǎn)．(1)在點(diǎn)處，沒有定義；(2)不存在；(3)即使存在，但．第18頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)例5考查函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性．解

因?yàn)樵跊]有定義，所以是一個間斷點(diǎn)．，又因?yàn)樗渣c(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn)．第19頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)例6考察函數(shù)，，，在點(diǎn)處連續(xù)性．第20頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)，解，即在處左、右極限不相等，由極限存在充要條件可知，在處極限不存在．因此是一種跳躍間斷點(diǎn)．第21頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)例7考察函數(shù)，，在點(diǎn)處連續(xù)性．第22頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)解．不過，所以是一個間斷點(diǎn)，稱為可去間斷點(diǎn)．第23頁ESC三.函數(shù)間斷點(diǎn)例8已知函數(shù)，，在點(diǎn)處連續(xù)，求值．解，，因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則存在，等價于，即．第24頁ESC內(nèi)容小結(jié)本節(jié)重點(diǎn)講解了一、函數(shù)在一點(diǎn)持續(xù)定義二、左持續(xù)右持續(xù)定義三、初等函數(shù)持續(xù)性四、函數(shù)間斷點(diǎn)關(guān)鍵1.可去間斷點(diǎn).2.跳躍間斷點(diǎn).3.無窮間斷點(diǎn)充要條件第25頁ESC課堂練習(xí)1.函數(shù)在處持續(xù)嗎?2.討論函數(shù)在處持續(xù)性?3.求函數(shù)持續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn).4.設(shè)