第二講隨機(jī)變量及其分布

第二講 隨機(jī)變量及其分布考試要求1.理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念.理解分布函數(shù)(F(x)P(Xx))的概念及性質(zhì).會計(jì)算與隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率.2.理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用.3.了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布.4.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布N(,2)、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為(0)的指數(shù)分布的概率密度為ex,x0,f(x)x0.0,會求隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、分布函數(shù)1．隨機(jī)變量：定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)的函數(shù)稱為隨機(jī)變量 .2．分布函數(shù)：F(x)P(X≤x),＜x＜F(x)為分布函數(shù)(1)0≤F(x)≤1F(x)單調(diào)不減右連續(xù)F(x+0)=F(x)(4) F( ) 0,F( ) 13．離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量P(Xxi)pi,i1,2,,n,pi≥0,pi1i1分布函數(shù)為階梯跳躍函數(shù).x(2)連續(xù)型隨機(jī)變量F(x)f(t)dtf(x)為概率密度(1)f(x)≥0,(2)f(x)dx1P(aXb)P(aXb)bf(x)a94．幾點(diǎn)注意【例1】 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為0,x1,F(x)5x7,1x1,16161,x1.則P(X2 1) .【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),且f(－x)=f(x),記()和分別是X和FXxFX(x)X的分布函數(shù),則對任意實(shí)數(shù)x有(A)FX(x)FXx(.)(B)FX(x)FX(x).(C)FX(x)1FXx(.)(D)FX(x)2FX(x)1.【】【例3】設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布, 試求隨機(jī)變量 Y=min{X,2} 的分布函數(shù)10【例4】設(shè)某個(gè)系統(tǒng)由 6個(gè)相同的元件經(jīng)兩兩串聯(lián)再并聯(lián)而成 ,且各元件工作狀態(tài)相互獨(dú)立每個(gè)元件正常工作時(shí)間服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布,試求系統(tǒng)正常工作的時(shí)間 T的概率分布.【例5】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1|x|,|x|1,0,其他.試求(1)X的分布函數(shù)F(x);(2)概率P(2X1).4二、常見的一維分布(1)0-1分布：P(Xk)pk(1p)1k,k0,1.(2)二項(xiàng)分布B(n,p):P(Xk)Cnkpk(1p)nk,k0,1,,n.(3)Poisson分布P()：P(Xke,＞0,0,1,2,.k)k!k(4)均勻分布U(a,b):f(x)b1，a＜x＜b,a其他.０，21(x)2(5)e220,正態(tài)分布N(μ，σ)：f(x),2π11ex,＞0,(6)指數(shù)分布E():f(x)x＞0.0,其他.(7)幾何分布G(p):P(Xk)(1p)k1p,0＜p＜1,k1,2,.(8)超幾何分布H(N,M,n):P(Xk)CMkCNnkM,k0,1,,min{n,M}.CNn【例6】某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為(0<<1),則此人第4次射擊恰好pp第2次命中目標(biāo)的概率為(A)3p(1p)2.(B)6p(1p)2.(C)3p2(1p)2.(D)6p2(1p)2.【】2則P(X1＋)【例7】設(shè)X～Ｎ(,σ),(A)隨μ的增大而增大.(B)隨的增大而減小.(C)隨σ的增大而不變.(D)隨σ的增大而減小.【】12【例8】設(shè)X～Ｎ(2F(x)為其分布函數(shù)，0，則對于任意實(shí)數(shù)a，有,σ),(A)F(a)F(a)1.(B)F(a)F(a)1.(C)F(a)F(a)1.(D)F(a)F(a)1.【】2【例9】 甲袋中有 1個(gè)黑球，2個(gè)白球，乙袋中有 3個(gè)白球，每次從兩袋中各任取一球交換放入另一袋中，試求交換 n次后，黑球仍在甲袋中的概率 .三、 隨機(jī)變量函數(shù)的分布：離散的情形連續(xù)的情形一般的情形13【例10】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1,1x0,2