2017年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

2017年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L（5分）設(shè)集合A={1,2,6},B={2,4},C={xER-1WXW5},則（AUB）

nc=（）

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{xGR-l<x<5}

‘2x+y>0

2.（5分）設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件尸學(xué)T》°，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值

為（）

A.2B.1C.AD.3

32

3.（5分）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24,則輸

出N的值為（）

A.0B.1C.2D.3

4.（5分）設(shè)ewR,則"|e-是"sine<L"的（）

12122

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

5.（5分）已知雙曲線工--“1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F,離心率為若

經(jīng)過(guò)F和P（0,4）兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為

（）

44884884

6.(5分)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-Iog25.1),

b=g(20-8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(cox+4)),xGR,其中3>0,VTI.若f(且L)

8

=2,f(112L)=0,且f(x)的最小正周期大于2n,則()

8

A.3=2,4)=——B.3=2,巾=-11—

312312

c.u)=—,4)=--I】TD.u)=—,4)=J—L

324324

x2-x+3,1

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=9'，設(shè)a￡R,若關(guān)于x的不等式f(x)

x+Ax>l

三+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是()

2

A.[-iL,2]B.[-AL,"JC.[-2y/3,2]D.[-2愿，理

16161616

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.（5分）已知adR,i為虛數(shù)單位，若總ZL為實(shí)數(shù)，則a的值為

2+i

10.（5分）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積

為18,則這個(gè)球的體積為.

11.（5分）在極坐標(biāo)系中，直線4pcos（0-—）+1=0與圓p=2sin0的公共點(diǎn)的

6

個(gè)數(shù)為.

12.（5分）若a,b￡R,ab>0,則近迎旦的最小值為_(kāi)_____.

ab

13.（5分）在4ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若加=2前，AE=XAC-AB（入

GR）,且標(biāo)?標(biāo)=-4,則入的值為.

14.（5分）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有

一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個(gè).（用數(shù)字作答）

三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟.

15.（13分）在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a>b,

Q

a=5,c=6,sinB=—.

5

（I）求b和sinA的值；

（H）求sin（2A+2L）的值.

4

16.（13分）從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,

且在各路口遇到紅燈的概率分別為工，上，1.

234

（工）設(shè)X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

（口）若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率.

17.（13分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,NBAC=90。.點(diǎn)D,E,

N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

（I）求證：MN〃平面BDE；

（n）求二面角c-EM-N的正弦值；

（m）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為近，求線

21

段AH的長(zhǎng).

18.（13分）已知{aj為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn（nWN）{bj是首項(xiàng)為2的

等比數(shù)列，且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2ai，Su=llb4.

(I)求屈｝和｛bj的通項(xiàng)公式;

(II)求數(shù)列｛a2nb2n-i｝的前n項(xiàng)和(nWN)

22

19.(14分)設(shè)橢圓二(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為

2,2

ab

1.己知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線I的距離為L(zhǎng).

22

(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；

(II)設(shè)I上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于A),

直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若AAPD的面積為返，求直線AP的方程.

2

20.(14分)設(shè)aGZ,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2X4+3X3-3x2-6x+a在區(qū)間

(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)xo，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(工)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(□)設(shè)mW[l,xo)U(xo，2],函數(shù)h(x)=g(x)(m-xo)-f(m),求證：

h(m)h(xo)<0；

(IH)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對(duì)于任意的正整數(shù)p,q,且XO)

q

U(xo,2],滿(mǎn)足|B-xo|

qAq4

2017年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2017?天津）設(shè)集合A={1,2,6},B={2,4},C={xGR-14W5},

則（AUB）nc=（）

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{X￡R|-1WXW5}

【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；37：集合思想；5J：集合.

【分析】由并集概念求得AUB,再由交集概念得答案.

【解答】解：；A={1,2,6},B={2,4},，AUB={1,2,4,6）,

又C={xdR|-1WXW5},，（AUB）DC={1,2,4）.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

‘2x+y>0

2.（5分）（2017?天津）設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件卜文一2>°，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y

x40

《3

的最大值為（）

A.2.B.1C.3D.3

32

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式.

【分析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可.

2x+y〉0

【解答】解：變量x,y滿(mǎn)足約束條件卜502>°的可行域如圖：

x&O

《3

目標(biāo)函數(shù)z=x+y結(jié)果可行域的A點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值,

由［尸3可得A（0,3）,目標(biāo)函數(shù)2=*+丫的最大值為：3.

Ix=0

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.（5分）（2017?天津）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值

為24,則輸出N的值為（）

開(kāi)始

/輸入N/

/輸出v/

結(jié)束

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專(zhuān)題】39：運(yùn)動(dòng)思想；40：定義法；5K：算法和程序框圖.

【分析】根據(jù)程序框圖，進(jìn)行模擬計(jì)算即可.

【解答】解：第一次N=24,能被3整除，N=^_=gW3不成立，

第二次N=8,8不能被3整除，N=8-1=7,N=7W3不成立，

第三次N=7,不能被3整除，N=7-1=6,N=￡2W3成立，

3

輸出N=2,

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和應(yīng)用，根據(jù)條件進(jìn)行模擬計(jì)算是解決本

題的關(guān)鍵.

4.（5分）（2017?天津）設(shè)8GR,則"|6-V"2L”是"sinBvl?”的（）

12122

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【專(zhuān)題】38：對(duì)應(yīng)思想；48：分析法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；5L：簡(jiǎn)

易邏輯.

【分析】運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡(jiǎn)兩已知不等式,

結(jié)合充分必要條件的定義，即可得到結(jié)論.

n

【解答】解:|6-2L|<2L<=>--<0--<2L?o<e<.

12121212126

7兀

sinBvLo--+2kn<0<-ZL+2kn,k?Z,

266

貝I」（0,—）c[-12L+2kn,—+2kn],kez,

666

可得"|e-v2L"是"sinevL”的充分不必要條件.

12122

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用

定義法和正確解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

22

5.（5分）（2017?天津）已知雙曲線2_-工=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F,

a2b,2

離心率為若經(jīng)過(guò)F和P（0,4）兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則

雙曲線的方程為()

22222222

A.2__^=1B.4--=1C.=1D.2__y_=1

44884884

【考點(diǎn)】KC；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】由雙曲線的離心率為則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=

±x,根據(jù)直線的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得雙曲

線方程.

【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F(-c,0),離心率e=3加,c=。，

a

則雙曲線為等軸雙曲線，即24，

雙曲線的漸近線方程為y=士生<=±x,

a

則經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線的斜率k=il”當(dāng)，

0+cc

則&=1,c=4,則a=b=2&,

C

22

二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2匕口；

88

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，等軸雙曲線的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.(5分)(2017?天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若

a=g(-Iog25.1),b=g(20-8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則g(x)=xf(x)偶函數(shù)，且在(0,

+8)單調(diào)遞增，則則08

a=g(-log25.1)=g(log25.1),2<-log25.1<3,1<2

<2,即可求得b<a〈c

【解答】解：奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x>0,f(x)>f(0)=0,且f，

(x)>0,

/.g(x)=xf(x),則g，(x)=f(x)+xf，(x)>0>

/.g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，且g(x)=xf(x)偶函數(shù)，

；.a=g(-log25.1)=g(Iog25.1),

則2V-log25.1V3,1<2°8<2,

由g(x)在(0,+°°)單調(diào)遞增，則g(20-8)<g(Iog25.1)<g(3),

b<a<c,

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基

礎(chǔ)題.

7.（5分）（2017?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（3X+巾），xWR,其中3>0,|巾|<

R.若f（且L）=2,f（11兀）=0,且f（x）的最小正周期大于2兀，則（）

88

A.3=2,（t>=2—B.3=2,巾=-A12L

312312

c.u）=-L>巾=-A12LD.3=L4）=-L--

324324

【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與

性質(zhì).

【分析】由題意求得工，再由周期公式求得3,最后由若f(旦L)=2求得小值.

48

【解答】解：由f(x)的最小正周期大于2n,得工〉三

42

又f(亞)=2,f(11兀)=0,得工=6兀-5兀=3兀，

8888~4

/.T=3R,貝即3上.

CO3

/.f(x)=2sin(3x+<j>)=2sin(多+,),

3

由f(號(hào)~)=2sin仔X5；+0)=2,得sin(e+節(jié)_)=1.

???6+?詈與?2k兀，kez-

取k=0,得4)=—

12

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三角函數(shù)的部分圖象求解析式，考查y=Asin（3X+4））型函

數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.

x2-x+3,1

8.（5分）（2017?天津）已知函數(shù)f（x）=-9，設(shè)adR,若關(guān)于x

xH>x>l

的不等式f（x）e1W+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（）

2

A.[-里，2]B.[-1L,笆C.[-273，2]D.[-2?,翦]

16161616

【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用；3R：函數(shù)恒成立問(wèn)題.

【專(zhuān)題】32：分類(lèi)討論；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】討論當(dāng)xWl時(shí)，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法和分離參數(shù)，可得-x2+b

2

-3WaWx2-當(dāng)<+3,再由二次函數(shù)的最值求法，可得a的范圍；討論當(dāng)x>l時(shí)，

2

同樣可得-（當(dāng)+2）WaWW+2,再由基本不等式可得最值，可得a的范圍，

2x2x

求交集即可得到所求范圍.

【解答】解：當(dāng)xWl時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）區(qū)+a|在R上恒成立，

2

即為-x?+x-3W三+aWx2-x+3,

2

即有-X2+_LX-3Wa〈x?-AX+3,

22

由y=-X2+_LX-3的對(duì)稱(chēng)軸為x=L〈l,可得x=A?處取得最大值-AL；

24416

由y=x2-當(dāng)+3的對(duì)稱(chēng)軸為x=l<l,可得x=3處取得最小值竺_,

24416

則-ilWaW毀①

1616

當(dāng)x>l時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）區(qū)+a|在R上恒成立，

2

即為-（x+Z）WW+aWx+2,

x2x

即有-（當(dāng)+2）WaW三+2,

2x2x

由y=-(_|^+2)<-2,橙.2=-2畬?zhuān)ó?dāng)且僅當(dāng)x嚎>1）取得最大值-2?；

由吟仔2伍孑（當(dāng)且僅當(dāng)x=2>l）取得最小值2.

則-2向WaW2②

由①②可得，-WLWaW2.

16

另解:作出f（x）的圖象和折線y=|m+a|

2

當(dāng)xWl時(shí),y=x2-x+3的導(dǎo)數(shù)為y'=2x-1,

由2x-1=-L可得x=—,

24

切點(diǎn)為（L,45）代入y=-^-a,解得a=-里；

416216

當(dāng)x>l時(shí)，y=x+2的導(dǎo)數(shù)為y'=l-Z-,

xx2

由1-上廣上，可得x=2（-2舍去），

X29乙

切點(diǎn)為（2,3）,代入y=X+a,解得a=2.

2

由圖象平移可得，-9工WaW2.

16

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討

論和分離參數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，分別求出二次函數(shù)和基本不等式求最值

是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.(5分)(2017?天津)已知a￡R,i為虛數(shù)單位，若空士為實(shí)數(shù)，則a的值為

2+i

-2.

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合共初復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)空上，再由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條

2+i

件：虛部為0,解方程即可得到所求值.

【解答】解：aGR,i為虛數(shù)單位，

a-i=(aT)(2-i)=2a-l-(2+a)i=2a-l__2+aj

2+i^(2+i)(2-i)4+15-5

由總zL為實(shí)數(shù)，

2+i

可得-2回o,

5

解得a=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，注意運(yùn)用共扼復(fù)數(shù)，同時(shí)考查復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的

條件：虛部為0,考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.(5分)(2017?天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正

方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為12L.

~2~

【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積.

【專(zhuān)題】34：方程思想；40：定義法；5F；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)正方體和球的關(guān)系，得到正方體的體對(duì)角線等于直徑，結(jié)合球的體

積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,

?.?這個(gè)正方體的表面積為18,

，6a2=18,

則a2=3,即a=J§,

?.?一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，

正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，

即心=2R,

即R=W,

2

則球的體積v=4-（2）3=i2L；

322

故答案為：12L.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間正方體和球的關(guān)系，利用正方體的體對(duì)角線等于直徑,

結(jié)合球的體積公式是解決本題的關(guān)鍵.

11.（5分）（2017?天津）在極坐標(biāo)系中，直線4pcos（0-2L）+1=0與圓p=2sin0

6

的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；5B：直線與圓；5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程.

【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離d,與半徑比

較即可得出位置關(guān)系.

【解答］解：直線（）展開(kāi)為：）

4pcos0--5-+1=04p（2^cosg+-1-sin0+1=0,

化為：2揚(yáng)+2y+l=0.

圓p=2sin0即p2=2psin0,化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2y,配方為：x?+（y-1）2=1.

...圓心C（0,1）到直線的距離d=,3-芭V1=R.

V（2V3）2+224

二直線4pcos（8-*）+1=0與圓p=2sin。的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到

直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

12.（5分）（2017?天津）若a,bWR,ab>0,則”+4b，l的最小值為4.

ab

【考點(diǎn)】7F：基本不等式.

【專(zhuān)題】34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5T：不等式.

【分析】【方法一】?jī)纱卫没静坏仁剑纯汕蟪鲎钚≈?，需要注意不等式?/p>

號(hào)成立的條件是什么.

【方法二】將」-拆成」利用柯西不等式求出最小值.

ab2ab2ab

【解答】解：【解法一】a,b￡R,ab>0,

.?.a'+qb'+l三24”-4b4+l

abab

22

=4a'b+1

即a=J—,b=J—或a=-J—,b=-J_^取“="；

炯煙炯炯

.?.上式的最小值為4.

【解法二】a,bGR,ab>0,

a，4b4+l=a?+4b3+1+1N44k34b3,1-T

abba2ab2abVb*a*2ab*2ab

fa4=4b4

當(dāng)且僅當(dāng)i，

4ab=~[-

ab

22

fa=2b

即,9219

a'b=—

4

即a=L,b=A-或a=-工，b=-A-時(shí)取"="；

炯炯V2

...上式的最小值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.

13.（5分）（2017?天津）在AABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若福=2而，語(yǔ)入M

-薪（入WR）,且屈,標(biāo)=-4,則入的值為且.

~n~

【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】34：方程思想；40：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用標(biāo)、正表示出菽，

再根據(jù)平面向量的數(shù)量積標(biāo)?標(biāo)列出方程求出入的值.

【解答】解：如圖所示，

△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2,

BD=2DC，

AD=AB+BD

=標(biāo)+2箴

3

=標(biāo)+2（AC-AB）

3

」互+2菽，

33

XAE=AAC-AB（入WR）,

???AD-AE=（1AB+2AC）?（XAC-AB）

33

=&-2）蕊?正-工疝2+3立2

333.3刈

=（1A-2.）X3X2Xcos60°-Lx32+1AX22=-4,

3333

3

解得人=△.

11

故答案為：J_.

11

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題.

14.（5分）（2017?天津）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)

字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有1080個(gè).（用

數(shù)字作答）

【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；50：排列組合.

【分析】根據(jù)題意，要求四位數(shù)中至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，分2種情況討論：①、

四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，②、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，分別求出每種情

況下四位數(shù)的數(shù)目，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①、四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個(gè)，組成一共四

位數(shù)即可，

有4種情況，即有個(gè)沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；

A5=120120

②、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，

在1、3、5、7、9種選出3個(gè)，在2、4、6、8中選出1個(gè)，有C53?C41=40種取

法，

將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有A44=24種順序，

則有40X24=960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；

則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個(gè)；

故答案為:1080.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意要分類(lèi)討論.

三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟.

15.（13分）（2017?天津）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已

知a>b,a=5,c=6,sinB=W.

5

（I）求b和sinA的值；

（II）求sin（2A+-）的值.

4

【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；HP：正弦定理.

【專(zhuān)題】15：綜合題；33：函數(shù)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；58：解三角形.

【分析】（I）由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosB,再由余弦定理求

得b,利用正弦定理求得sinA；

（II）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,

展開(kāi)兩角和的正弦得答案.

【解答】解：（I）在ZXABC中，CaAb,

故由sinB=3,可得cosB=&.

55

由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB=25+36-2X5X6X-^13J

b=VT3-

由正弦定理a=b,得sinA=asinB

sinAsinBb13

**-b=V13>sinA=2ylA；

13

（II）由（[）及a<c,得cosA=2/逗，sin2A=2sinAcosA=—,

1313

cos2A=l-2sin2A=-

13

故sin（2A+兀）="o*―士n*._.=12yV2_5vV2^V2

xx

easin—ASin2Acos-^-+cos2Asin-^-yy~2—[y226'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查倍角公式的應(yīng)

用，是中檔題.

16.（13分）（2017?天津）從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈

工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為上，上，1.

234

（I）設(shè)X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

(n)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專(zhuān)題】12：應(yīng)用題；38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(I)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,求出對(duì)應(yīng)的概率值，

寫(xiě)出它的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；

(n)利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算所求事件的概率值.

【解答】解：(I)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3；

則p(x=o)=(1-—)x(1-L)(1-L)=-L,

2344

p(x=i)=J_x(i-L)x(i-J_)+(i-L)xLx(i-L)+(i-L)x(i

2342342

-1)義“紅，

3424

p(x=2)=(l-L)xLxULx(i-L)xL+LxLx(i-L)=L,

2342342344

P(X=3)=LxLxl.=^L；

23424

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

P111

724~424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0XL+lX11+2XL+3XJ^=H；

42442412

(口)設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，

則所求事件的概率為

P(Y+Z=l)=P(Y=0,Z=l)+P(Y=l,Z=0)

=P(Y=0)?P(Z=l)+P(Y=l)*P(Z=0)

=lxU+ALxl

424244

=—；

48

所以，這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為2.

48

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題.

17.（13分）（2017?天津）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,ZBAC=90°.點(diǎn)

D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

（I）求證：MN〃平面BDE；

（n）求二面角c-EM-N的正弦值；

（0）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為近，求線

21

段AH的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LM：異面直線及其所成的角；LS：直線

與平面平行的判定.

【專(zhuān)題】15：綜合題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角.

【分析】（I）取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,由已知可證MF〃平面BDE,NF〃平

面BDE.得到平面MFN〃平面BDE,則MN〃平面BDE；

（II）由PA_L底面ABC,ZBAC=90°.可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在

直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向

量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，進(jìn)一步求得正弦

值；

（HI）設(shè)AH=t,則H（0,0,t）,求出而、血的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE

所成角的余弦值為近列式求得線段AH的長(zhǎng).

21

【解答】（［）證明：取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,

為AD中點(diǎn)，，MF〃BD,

「BDu平面BDE,MFQ平面BDE,，MF〃平面BDE.

TN為BC中點(diǎn)，.?.NF〃AC,

又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn),；.DE〃AC,則NF〃DE.

VDEc平面BDE,NF。平面BDE,.'.NF〃平面BDE.

又MFANF=F.

二平面MFN〃平面BDE,則MN〃平面BDE；

(H)解：:PA，底面ABC,ZBAC=90°.

...以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

VPA=AC=4,AB=2,

AA(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E

(0,2,2),

則誦二(1,2,-1>ME=(0,2,1)，

設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為去(x,y,z)，

由陣=0,得［:字7。,取z=2,得需(％-1,2).

Iin-ME=0{2y+z-0

由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為定(i,010).

?rnQ<--nrn______4.

一如n后廣亞Xl=21.

二面角C-EM-N的余弦值為玄五，則正弦值為直運(yùn)；

2121

(田)解：設(shè)AH=t,則H(0,0,t),而=(-1,-2,t)，BE=(-2,2,2)-

?.?直線NH與直線BE所成角的余弦值為近，

21

?.JcosV由，施毒淳曰一手一\=五.

INH11BE|V5+t2X2V321

解得：t=8^t=L.

52

.?.當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為近，此時(shí)線段AH的長(zhǎng)

21

為跳二

52

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考

查計(jì)算能力，是中檔題.

18.（13分）（2017?天津）已知｛a/為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n￡N）,｛bn｝

是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2ai，Sn=llb4.

（I）求屈｝和｛bj的通項(xiàng)公式;

（II）求數(shù)列｛a2nb2n-i｝的前n項(xiàng)和（nWN）

【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)

列.

【分析】（I）設(shè)出公差與公比，利用已知條件求出公差與公比，然后求解｛aj

和｛bj的通項(xiàng)公式；

（口）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.

【解答】解:（I）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列解n｝的公比為q.

由已知b2+b3=12,得bi（q+q2）=12,而bi=2,所以q+q?-6=0.

n

又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以，bn=2.

由bj=a4-2ai,可得3d-ai=8①.

由Sn=llb4,可得a#5d=16②，

聯(lián)立①②，解得ai=l,d=3,由此可得an=3n-2.

所以，數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列｛>｝的通項(xiàng)公式為4式11.

（II）設(shè)數(shù)列｛a2nb2n-i｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n，

由a2n=6n-2,b2n-1=—x4”，有a2nb2n-1=(3n-1)4n,

2

故Tn=2X4+5X42+8X43+...+(3n-1)4n,

4Tn=2X42+5X43+8X44+...+(3n-1)4nl,

3n

上述兩式相減，得-3Tn=2X4+3X42+3X4+...+3X4-(3n-1)4nl

=[2>4nt'1="(3n-2)4n1-8

nn+1

得Tn=.-~^x4-H|-

所以，數(shù)列｛a2nb2n.J的前H項(xiàng)和為與2X小討

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能

力.

22

19.（14分）（2017?天津）設(shè)橢圓豈k+“l(fā)（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)

2,2

ab

為A,離心率為已知A是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線

2

I的距離為

2

（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（II）設(shè)I上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于A）,

直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若4APD的面積為返，求直線AP的方程.

2

【考點(diǎn)】KI：圓錐曲線的綜合；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；K7：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

KL：直線與橢圓的位置關(guān)系.

【專(zhuān)題】38：對(duì)應(yīng)思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（I）根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a,b,p即可得出方

程；

（II）設(shè)AP方程為x=my+l,聯(lián)立方程組得出B,P,Q三點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線

BQ的方程，解出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案.

【解答】（I）解：設(shè)F的坐標(biāo)為（-c,0）.

a2

依題意可得

_1

a-c-了

解得a=l,c=L,p=2,于是b2=a2-C2=3.

24

2

所以，橢圓的方程為*2+號(hào)-1,拋物線的方程為y2=4x.

(II)解：直線I的方程為x=-l,設(shè)直線AP的方程為x=my+l(mWO),

聯(lián)立方程組，x=-i,解得點(diǎn)P(-1,-2),故Q(-1,Z).

[x=iny+linin

x=my+l

22

聯(lián)立方程組04V2，消去x，整理得(3m+4)y+6my=0,解得y=O,或戶(hù)

_61rl

3in2+4

o

.?.B(-3nT+4,-61n)

3ID2+431rl

2

???直線BQ的方程為2)(x+1)-(,『+4+i)(y-2)=o,

3m，4m3m2+41n

22

令y=0,解得xJ-用，故D巡半一,0).

3ID2+23ID2+2

AD|=1-生出_&L.

3ID2+23ID2+2

又???AAPD的面積為返，x--X&返，

223ID2+2周2

整理得3m2-2加|m|+2=0,解得|m|=返，，m=土瓜.

33

直線AP的方程為3x+倔-3=0,或3x-&y-3=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于

中檔題.

20.(14分)(2017?天津)設(shè)aGZ,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3-3x2

-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)xo,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(工)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(□)設(shè)mG[l,xo)U(xo，2],函數(shù)h(x)=g(x)(m-x())-f(m),求證：

h(m)h(xo)<0；

(DI)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對(duì)于任意的正整數(shù)p,q,且XO)

q

U(xo，2],滿(mǎn)足|R-Xo―.

qAq4

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；32：分類(lèi)討論；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：

函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(I)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=f(x)=8x3