高中數(shù)學(xué)專題練習(xí)：分類討論思想

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[思想辦法解讀]分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想辦法，其基本思路是將一具較復(fù)雜的數(shù)學(xué)咨詢題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性咨詢題，經(jīng)過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性咨詢題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原咨詢題的思想策略.

1.中學(xué)數(shù)學(xué)中也許引起分類討論的因素：

(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、別等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾歪角等.

(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)別為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，別等式中兩邊同乘以一具正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等.(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本別等式等.

(4)由圖形的別確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等.

(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的咨詢題，由于參數(shù)的取值別同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果別同，或者由于對(duì)別同的參數(shù)值要運(yùn)用別同的求解或證明辦法等.

2.舉行分類討論要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，別遺漏、別重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，別越級(jí)討論.其中最重要的一條是“別重別漏”.

3.解答分類討論咨詢題時(shí)的基本辦法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍;其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確舉行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、別重別漏、分類互斥(沒有重復(fù));再對(duì)所分類逐步舉行討論，分級(jí)舉行，獵取時(shí)期性結(jié)果;最終舉行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.

常考題型精析

題型一由概念、公式、法則、計(jì)算性質(zhì)引起的分類討論

例1設(shè)集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)對(duì)概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，B?A，包括B＝?和B≠?兩種事情.解答時(shí)就應(yīng)分兩種事情討論，在對(duì)于指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算中，底數(shù)的取值范圍是舉行討論時(shí)首先要思考的因素.

變式訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________.

題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用

例2已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.

點(diǎn)評(píng)本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是別確定的，二次函數(shù)的最值咨詢題與對(duì)稱軸息息相關(guān)，所以需要對(duì)對(duì)稱軸舉行討論，分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)和對(duì)稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值.

變式訓(xùn)練2(·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).

(1)試討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若b＝c－a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)別同的零點(diǎn)時(shí)，a的

取值范圍恰好是(－∞，－3)∪?????1，32∪???

??32，＋∞，求c的值.

題型三依照?qǐng)D形位置或形狀分類討論

例3在約束條件???x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4

下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是()

A.[6,15]

B.[7,15]

C.[6,8]

D.[7,8]

點(diǎn)評(píng)幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論

(1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化;(2)函數(shù)咨詢題中區(qū)間的變化;(3)函數(shù)圖象形狀的變化;(4)直線由歪率引起的位置變化;(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化;(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等.

變式訓(xùn)練3設(shè)F1、F2為橢圓x29＋y24＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一具直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且||PF1＞||PF2，求

||PF1||

PF2的值.

高考題型精練

1.關(guān)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿腳(x－1)f′(x)≥0，則必有()

A.f(0)＋f(2)2f(1)

2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是()

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.等差數(shù)列或等比數(shù)列

D.以上都別對(duì)

3.已知變量x，y滿腳的別等式組???x≥0，

y≥2x，

kx－y＋1≥0

表示的是一具直角三角形圍成的

平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于()

A.－12

B.12

C.0

D.－12或04.(·四川)設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|＋|PB|的取值范圍是()A.[5，25]B.[10，25]C.[10，45]D.[25，45]

5.(·大連模擬)拋物線y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則如此的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()

A.2

B.3

C.4

D.6

6.在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，則a1＝________.

7.已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1關(guān)于x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝________.

8.(·浙江)若某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時(shí)，則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是________.

9.(·南昌模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂腳為B，OB的中點(diǎn)為M.

(1)求拋物線的方程;

(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK

與圓M的位置關(guān)系.

10.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x(x－a).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.

①寫出g(a)的表達(dá)式;

②求a的取值范圍，使得－6≤g(a)≤－2.

答案精析

分類討論思想

?？碱}型精析

例1解∵A＝{0，－4}，B?A，于是可分為以下幾種事情.

(1)當(dāng)A＝B時(shí)，B＝{0，－4}，

∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得?

??

－2(a＋1)＝－4，a2－1＝0，解得a＝1.(2)當(dāng)BA時(shí)，又可分為兩種事情.

①當(dāng)B≠?時(shí)，即B＝{0}或B＝{－4}，

當(dāng)x＝0時(shí)，有a＝±1;

當(dāng)x＝－4時(shí)，有a＝7或a＝1.

又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，

解得a＝－1，此刻B＝{0}滿腳條件;

②當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)1，有a2＝4，a－1＝m，此刻a＝2，m＝12，

此刻g(x)＝－x在[0，＋∞)上為減函數(shù)，別合題意.

若01時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.

綜上可知，a＝－1或a＝2.

變式訓(xùn)練2解(1)f′(x)＝3x2＋2ax，

令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a3.

當(dāng)a＝0時(shí)，因?yàn)閒′(x)＝3x2≥0，

因此函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a＞0時(shí)，x∈?????－∞，－2a3∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，x∈?????－2a3，0時(shí)，f′(x)＜0，因此函數(shù)f(x)在?????－∞，－2a3，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在?????－2a3，0上單調(diào)遞減;

當(dāng)a＜0時(shí)，x∈(－∞，0)∪?????－2a3，＋∞時(shí)，f′(x)＞0，x∈???

??0，－2a3時(shí)，f′(x)＜0，因此函數(shù)f(x)在(－∞，0)，?????－2a3，＋∞上單調(diào)遞增，在???

??0，－2a3上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)＝b，

f?????－2a3＝427a3＋b，則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)·f?????－2a3＝b???

??427a3＋b＜0，從而?????a＞0，－427a3＜b＜0或?????a＜0，0＜b＜－427a3.

又b＝c－a，因此當(dāng)a＞0時(shí)，427a3－a＋c＞0或當(dāng)a＜0時(shí)，427a3－a＋c＜0.

設(shè)g(a)＝427a3－a＋c，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪?????1，32∪???

??32，＋∞，則在(－∞，－3)上g(a)＜0，且在?????1，32∪???

??32，＋∞上g(a)＞0均恒成立.從而g(－3)＝c－1≤0，且g???

??32＝c－1≥0，所以c＝1.

此刻，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，

因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2＋(a－1)x＋1－a＝0有兩個(gè)異于－1的別等實(shí)根，因此Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，

解得a∈(－∞，－3)∪?????1，32∪???

??32，＋∞.綜上c＝1.

例3D[由???x＋y＝s，y＋2x＝4????

x＝4－s，y＝2s－4，

取點(diǎn)A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4).

(1)當(dāng)3≤s|PF2|，∴||PF1＝4，||PF2＝2，

∴||PF1||

PF2＝2.綜上知，||PF1||PF2＝72

或2.高考題型精練

1.C[依題意，若任意函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)，則(x－1)f′(x)＝0在R上恒成立;若

任意函數(shù)f(x)別是常函數(shù)時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù);當(dāng)xf(1)，f(2)>f(1)，綜上，則有f(0)＋f(2)≥2f(1).]

2.D[∵Sn＝pn－1，

∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，

當(dāng)p≠1且p≠0時(shí)，{an}是等比數(shù)列;

當(dāng)p＝1時(shí)，{an}是等差數(shù)列;

當(dāng)p＝0時(shí)，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此刻{an}既別是等差數(shù)列也別是等比數(shù)列.]

3.D[別等式組???x≥0，

y≥2x，

kx－y＋1≥0

表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若別等式組???x≥0，

y≥2x，

kx－y＋1≥0

表示的平面區(qū)域是直角三角形，惟獨(dú)直線y＝kx＋1與直線x＝0垂直(如圖①)或直線y＝kx＋1與直線y＝2x垂直(如圖②)時(shí)，平面區(qū)域

才是直角三角形.

由圖形可知歪率k的值為0或－12.]

4.B[由動(dòng)直線x＋my＝0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，由動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，且兩直線互相垂直，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝