量子力學(xué)基礎(chǔ)簡答題經(jīng)典

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔量子力學(xué)基礎(chǔ)簡答題簡述波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋；對“軌道”和“電子云”的概念，量子力學(xué)的解釋是什么？力學(xué)量G?在自身表象中的矩陣表示有何特點(diǎn)？簡述能量的測不準(zhǔn)關(guān)系；電子在位置和自旋S?z表象下，波函數(shù)1((xx,,yy,,zz))如何歸一化？解釋各項(xiàng)的幾率意義。2何為束縛態(tài)？ (r,t) (r,t)當(dāng)體系處于歸一化波函數(shù) 所描述的狀態(tài)時，簡述在 狀態(tài)中測量力學(xué)量F的可能值及其幾率的方法。設(shè)粒子在位置表象中處于態(tài)(r,t),采用Dirac符號時，若將(r,t)改寫為(r,t)有何不妥？采用Dirac符號時，位置表象中的波函數(shù)應(yīng)如何表示？簡述定態(tài)微擾理論。Stern—Gerlach實(shí)驗(yàn)證實(shí)了什么？一個物理體系存在束縛態(tài)的條件是什么？兩個對易的力學(xué)量是否一定同時確定？為什么？測不準(zhǔn)關(guān)系是否與表象有關(guān)？在簡并定態(tài)微擾論中，如H(0)的某一能級E(0)，對應(yīng)f個正交歸一本征函數(shù)i（i=1，2，…，nf），為什么一般地i不能直接作為H?H?0H?的零級近似波函數(shù)？在自旋態(tài)1(sz)中，Sx和Sy的測不準(zhǔn)關(guān)系(Sx)2?(Sy)2是多少？2在定態(tài)問題中，不同能量所對應(yīng)的態(tài)的迭加是否為定態(tài)Schrodinger方程的解？同一能量對應(yīng)的各簡并態(tài)的迭加是否仍為定態(tài)Schrodinger方程的解？兩個不對易的算符所表示的力學(xué)量是否一定不能同時確定？舉例說明。18說明厄米矩陣的對角元素是實(shí)的，關(guān)于對角線對稱的元素互相共軛。19何謂選擇定則。能否由Schrodinger方程直接導(dǎo)出自旋？敘述量子力學(xué)的態(tài)迭加原理。厄米算符是如何定義的？據(jù)[a?，a?]=1，N?a?a?，N?nnn，證明：a?nnn1。非簡并定態(tài)微擾論的計(jì)算公式是什么？寫出其適用條件。自旋S，問是否厄米算符？是否一種角動量算符？2波函數(shù)的量綱是否與表象有關(guān)？舉例說明。動量的本征函數(shù)有哪兩種歸一化方法？予以簡述。知Gexex，問能否得到Gd？為什么？dx簡述變分法求基態(tài)能量及波函數(shù)的過程。簡單Zeemann效應(yīng)是否可以證實(shí)自旋的存在？不考慮自旋，當(dāng)粒子在庫侖場中運(yùn)動時，束縛態(tài)能級E的簡并度是多少？若粒子自旋為s，問E n n的簡并度又是多少?[Fdtti根據(jù)dFF?1?,H?]說明粒子在輳力場中運(yùn)動時，角動量守恒。對線性諧振子定態(tài)問題，舊量子論與量子力學(xué)的結(jié)論存在哪些根本區(qū)別？簡述氫原子的一級stark效應(yīng)。寫出Jjm的計(jì)算公式。由2d1，說明波函數(shù)的量綱。F?、G?為厄米算符，問[F?，G?]與i[F?，G?]是否厄米算符？據(jù)[a?，a?]=1，N?a?a?，N?nnn證明：a?nn1n1。利用量子力學(xué)的含時微擾論，能否直接計(jì)算發(fā)射系數(shù)和吸收系數(shù)？什么是耦合表象？不考慮粒子內(nèi)部自由度，宇稱算符P?是否為線性厄米算符？為什么？寫出幾率密度與幾率流密度所滿足的連續(xù)性方程。已知x?212a?a?，p?x1i212a?a?，且a?nnn1，a?nn1n1，試推出線性諧振子波函數(shù)的遞推公式。寫出一級近似下，躍遷幾率的計(jì)算式。何謂無耦合表象？給出線性諧振子定態(tài)波函數(shù)的遞推公式。G?，G?是否線性算符？在什么樣的基組中，厄米算符是厄米矩陣？何謂選擇定則？寫出J?jm公式。何為束縛態(tài)？p?p寫出位置表象中x，?，x?和r?的表示式。對于定態(tài)問題，試從含時Schrodinger 方程推導(dǎo)出定態(tài)Schrodinger 方程；對于氫原子，其偶極躍遷的選擇定則對主量子數(shù)n是否存在限制？為什么？在現(xiàn)階段所學(xué)的量子力學(xué)中，電子的自旋是作為一個基本假定引入的，還是由其它假定自然推出的？假如波函數(shù)應(yīng)滿足的方程不是線性方程，波函數(shù)是否一定能歸一化？x?r?p?p?試寫出動量表象中，，x，的表式幺正算符是怎樣定義的？我們知道，平面單色波的電場能和磁場能相等，而在用微擾論計(jì)算發(fā)射系數(shù)和吸收系數(shù)時，我們?yōu)槭裁春雎粤舜艌鰧﹄娮拥淖饔?？對于自旋?/2的粒子，其自旋本征函數(shù)應(yīng)是幾行一列的矩陣？寫出德布羅意關(guān)系式及自由粒子的德布羅意波。一維線性諧振子基態(tài)歸一化波函數(shù)為e122x2，試計(jì)算0ex2dx；0當(dāng)體系處于歸一化波函數(shù)ψ所描述的狀態(tài)時，簡述在ψ態(tài)中測量力學(xué)量F的可能值及其幾率的方法；已知?dú)湓訌较騍chrodinger 方程無簡并，微擾項(xiàng)只與r有關(guān)，問非簡并定態(tài)微擾論能否適用？自旋是否意味著自轉(zhuǎn)？光到底是粒子還是波；兩個對易的力學(xué)量是否一定同時具有確定值？在什么情況下才同時具有確定值？不考慮自旋，求球諧振子能級En的簡并度；我們學(xué)過，氫原子的選擇定則l1，這是否意味著l3的躍遷絕對不可能發(fā)生？克萊布希－高豋系數(shù)是為解決什么問題提出的？）在球坐標(biāo)系下，波函數(shù)r,,為什么應(yīng)是進(jìn)動角的周期函數(shù)？設(shè)當(dāng)x＜a和y＜b時，勢能為常數(shù)U，試將此區(qū)域內(nèi)的二維Schrodinger 方程分離0變量(不求解)；何謂力學(xué)量完全集？定性說明為什么在氫原子的Stark效應(yīng)中，可將H?e?r視為微擾項(xiàng)？?Pauli算符 是否滿足角動量的定義式？簡述量子力學(xué)產(chǎn)生的背景；寫出位置表象中直角坐標(biāo)系下L?、L?、L?、L?2的表示式；x y zRnl為有心力場中的徑向波函數(shù)，問RnrlRnrlr2drllnrnr是否成立？為什么？r0定態(tài)微擾論是否適用于主量子數(shù)n很大的氫原子情況？為什么？有關(guān)角動量的定義，我們學(xué)過哪兩種？哪一種更廣泛？自旋角動量是按哪一種定義的？說明x的量綱；說明在定態(tài)問題中，定態(tài)能量的最小值不可能低于勢能的最低值；簡述占有數(shù)表象；試說明對易的厄米算符的乘積也是厄米算符；何為偶極近似？量子力學(xué)克服了舊量子論的哪些不足？寫出L?的本征值及對應(yīng)本征函數(shù)；zi一個物理體系存在束縛態(tài)的條件是什么？簡述態(tài)的表象變換的方法；已知總角動量J?J?J?，試說明[J?2,J?2]0。 1 2 1舊量子論存在哪些不足？對于舊量子論中氫原子的“軌道”，量子力學(xué)的解釋是什么？兩個不對易的力學(xué)量一定不能同時確定嗎？舉例說明；簡述變分法的思想；寫出電子在S?表象下的三個Pauli矩陣。z簡述波函數(shù)的Born統(tǒng)計(jì)解釋；設(shè)是定態(tài)Schrodinger 方程的解，說明也是對應(yīng)同一本征能級的解，進(jìn)而說明無簡并能級的波函數(shù)一定可以取為實(shí)數(shù)；引入Dirac符號的意義何在？定態(tài)微擾論的適用范圍是什么？簡述兩個角動量耦合的三角形關(guān)系。答案波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。電子云：用點(diǎn)的疏密來描述粒子出現(xiàn)的幾率。軌道：電子徑向分布幾率最大之處。力學(xué)量G?在自身表象中的矩陣是對角的，對角線上為G?的本征值。能量測不準(zhǔn)關(guān)系的數(shù)學(xué)表示式為E?t/2，即微觀粒子的能量與時間不可能同時進(jìn)行準(zhǔn)確的測量，其中一項(xiàng)測量的越精確，另一項(xiàng)的不確定程度越大。利用x,y,z2x,y,z2d1進(jìn)行歸一化，其中：x,y,z2表示粒子在x,y,z處121S1的幾率密度，x,y,z2表示粒子在x,y,z處S1的幾率密度。 z22z 2束縛態(tài):無限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)。能量小于勢壘高度，粒子被約束在有限的空間內(nèi)運(yùn)動。首先求解力學(xué)量F對應(yīng)算符的本征方程：?F?F，然后將r,t按F的本征態(tài)展開：n nn r,tccd，則F的可能值為,,,,，F(xiàn)的幾率為c2，F(xiàn)在nn12nnnn~d范圍內(nèi)的幾率為c2dDirac符號是不涉及任何表象的抽象符號。位置表象中的波函數(shù)應(yīng)表示為r。 求解定態(tài)薛定諤方程HE時，若可以把不顯含時間的H分為大、小兩部分HH(0)H，其中（1）H(0)的本征值E(0)和本征函數(shù)(0)是可以精確求解的，或已有確定的結(jié)果 n n H(0)(0)E(0)(0)，（2）H很小，稱為加在H(0)上的微擾，則可以利用(0)和E(0)構(gòu)造出和n n n n nE。10.SteinGerlack實(shí)驗(yàn)證明了電子自旋的存在。條件：①能量比無窮遠(yuǎn)處的勢??；②能級滿足的方程至少有一個解。不一定，只有在它們共同的本征態(tài)下才能同時確定。無關(guān)。因?yàn)樽鳛榱慵壗频牟ê瘮?shù)必須保證H?0E01H?1E10有解。 n n n n415、。16不是，是不一定，如L?,L?,L?互不對易，但在Y態(tài)下，L?L?L?0。 x y z 00 x y z厄米矩陣的定義為矩陣經(jīng)轉(zhuǎn)置、共軛兩步操作之后仍為矩陣本身，即Anm＝Amn，可知對角線上的元素必為實(shí)數(shù)，而關(guān)于對角線對稱的元素必互相共軛。原子能級之間輻射躍遷所遵從的規(guī)則。選擇定則表明并非任何兩能級之間的輻射躍遷都是可能的，只有遵從選擇定則的能級之間的輻射躍遷才是可能的。不能。如果和是體系的可能狀態(tài)，那么，它們的線性疊加cc（c、c是復(fù)數(shù)）也是這個1 2 11 22 1 2體系的可能狀態(tài)。如果對于兩任意函數(shù)和，算符F?滿足下列等式?Fd?Fd，則稱F?為厄米算符。?a,?a1即?a?a?a?a1又N??a?aNa??na?aa??naa??1a?naN??a?naN??na?nan?na?na?n-1nn-1a?n?ancn-1又nN?nnnnn且nN?nn?a?annc2nc22'nmHc2n取cn得?annn-12'nmH24、EE0H'n n nn E0E0m n m0H'mn0 n n E0E0m m n mH' 適用條件： mn 1E0E0 n m25、?是厄米算符，但不是角動量算符。 26．有關(guān)，例如?r在位置表象和動量表象下的本征態(tài)分別為r1eirP和PPP，?它們的量綱顯然不同。 P 32 P?0 027．坐標(biāo)表象下動量的本征方程為rCeiPr，它有兩種歸一化方法：①歸一化為函數(shù)：由rrdPP得出C1；②箱歸一化：假設(shè)粒子被限制在一個立方體中， P P 232邊長為L，取箱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，要求波函數(shù)在箱相對面上對應(yīng)點(diǎn)有相同的值，然后由rrd1得出C1。 P P 3L228．不能，因?yàn)樗饔玫牟ê瘮?shù)不是任意的。29．第一步:寫出體系的哈密頓算符；第二步:根據(jù)體系的特點(diǎn)(對稱性,邊界條件和物理直觀知識),尋找嘗試波函數(shù),λ為變分參數(shù),它能夠調(diào)整波函數(shù)(猜一個)；第三步:計(jì)算哈密頓在態(tài)中的平均值*()H()()dH()*()()d第四步:對H求極值,即令dH0,求出H,則dminEH， 0 min 0 H30．不可以。 min31不考慮自旋時，當(dāng)粒子在庫侖場中運(yùn)動時，束縛態(tài)能級可表示為E，其簡并度為n2。若考慮粒子的自n旋為s，則E的簡并度為(2s1)n2。n 21L?2 r，則有：32粒子在奏力場中運(yùn)動時，Hamilton算符為：H? r2 U2r2rr2r2L?,H?L?2,H?0，又因角動量不顯含時間，得dF0、角動量守恒。 dt133舊量子論給出線性諧振子的基態(tài)能量為零而量子力學(xué)認(rèn)為其基態(tài)有能量，為；另外，量子力學(xué)表2明，在舊量子論中粒子出現(xiàn)區(qū)域以外也有發(fā)現(xiàn)粒子的可能。34在氫原子外場作用下，譜線（n2n1）發(fā)生分裂（變成3條）的現(xiàn)象。J?j,mjj1mm1j,m1。3536波函數(shù)的量綱由坐標(biāo)的維數(shù)來決定。對一維、二維、三維，的量綱分別為[L]、[L]2、[L]3，則波函數(shù)的量綱依次為L12、L1、L32。[F?，G?]不是厄米算符，i[F?，G?]是厄米算符。因?yàn)?iF?,G?)iF?,G?證明：可證明算符a?,a?對于能量本征態(tài)的作用結(jié)果是：a?nnn1a?nnn1(1),為待定系數(shù)。上式的共軛方程是：na?nn1na?nn1(2)式(1)和(2)相乘（取內(nèi)積）并利用已知條件，即得：na?a?nnna?a?nna?a?1nn1適當(dāng)選擇態(tài)矢量n的相因子(ei)，總可使和為非負(fù)實(shí)數(shù)。因此，nn,nn1故得證。利用量子力學(xué)的含時微擾論，可以直接計(jì)算出受激發(fā)射系數(shù)和受激吸收系數(shù)；但由于沒有考慮到電磁場的量子化（即量子力學(xué)中的二次量子化），自發(fā)躍遷系數(shù)不能直接被推導(dǎo)出來，可在量子電動力學(xué)（QED）中計(jì)算出。以J?表示J?與J?之和：J?J?J?；算符J?,J?,J?2,J?2相互對易、有共同本征矢j,j,j,m， 1 2 1 2 z 1 21 2j和m表明J?2和J?的對應(yīng)本征值依次為jj12和m。j,j,j,m組成正交歸一完全系，以它們?yōu)?z1 2基矢的表象稱為耦合表象。41、是。P?Cux,y,zCvx,y,zCP?ux,y,zCP?vx,y,z且 1 2 1 2ux,y,zP?vx,y,zdxdydzux,y,zv-x,y,zdxdydz u-X,-Y,-ZvX,Y,ZdXdYdZ令X-x,Y-y,Z-zuX,Y,ZvX,Y,ZdXdYdZP?uX,Y,ZvX,Y,ZdXdYdZP?ux,y,zvz,y,zdzdydzP?是線性厄米算符。i幾率流密度J(**)與幾率密度*滿足的連續(xù)性2m方程為：J0t1112?a?22a?n22a?nx2a nn 1 122nn-122n1n1 x2a?a?a?a?n2 n a?a?a?a?a?a?a?a? 2n n n nnn1n1nn1n2 2 n-2 n nn2nn12n1n1n2 2 n-2 nn2di?p12a?a?dxnxn2 n12nn1 2 n-1n1d2i?p2a?a?a?a?dx2 nxn 2 n a?a?a?a?a?a?a?a? 2 n n n n nn1n1nn1n2 2n-2 n nn2nn12n1n1n2 2n-2 nn2一級近似下，由初態(tài)躍遷到終態(tài)的幾率為：W 1tHeimktdt2其中， k m km imk0HH?d，1。 mk m k mkm k?J2,?J,?J2,?J相互對易，有共同的本征態(tài)jmjmjmjm，則該本征態(tài)對應(yīng)的表象1 1z 2 2z1 12 21 12 2為無耦合表象。 1n1n 46線性諧振子定態(tài)波函數(shù)的遞推公式：x?2n12n1，ndip?12a?a?12nn1，其中，為線性諧振子定態(tài)dxnxn2 n2 n-1n1 n波函數(shù)，。47不是，因?yàn)镚?CCG?CG?。48在本征值分立的基組中，厄米算符是厄米矩陣。49為了使越遷幾率不為零，一定對量子數(shù)做了某些限止，這些限止即為選擇定則。J?jmjj1mm1jm1。。5051．束縛態(tài):能量小于勢壘高度，粒子被約束在有限的空間內(nèi)運(yùn)動，它的波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處為零。52．P?，P?，?xx，r?xiyjzk xixi 53．當(dāng)U(r)不顯示時間t，設(shè)(r,t)(r)f(t)代入含時薛定諤方程 (r,t) 2i2(r,t)U(r)(r,t)，分離變量得： t 2 idf(t) 1 2 ?[2(r)U(r)(r)]f(t)dt(r)2 這個等式左邊只是t的函數(shù)，右邊只是r的函數(shù)，而t和r是相互獨(dú)立的變量，所以只有當(dāng)兩邊都等于同一常量時，等式才能滿足。以Ｅ表示這個常量，由等式右邊等于Ｅ，有： 2 2(r)U(r)(r)E(r)2此即為定態(tài)薛定諤方程。5４．對于氫原子，其偶極躍遷的選擇定則對主量子數(shù)n沒有限制，因?yàn)樵谟?jì)算躍遷幾率時，與主量子數(shù)有關(guān)的積分R(r)R(r)r3dr在n和n取任何整數(shù)值時均不恒等于零。 nl nl5５．在初等量子學(xué)中，自旋是作為一個基本假定引入的。56不一定能歸一化，因?yàn)椴ê瘮?shù)滿足的方程不是線性方程時，與C表示的就不一定是同一態(tài)。?57在動量表象中：?xi，ri，?pp，P?P p p x xx58滿足F?F?1的算符為幺正算符。159因?yàn)楣獠ㄖ械拇艌鰧﹄娮幼饔玫哪芰考s為電場對電子作用能量的，所以忽略了磁場對電子的作用。13760四行一列。h。61德布羅意關(guān)系：Pnk自由粒子的德布羅意波：Ae dxe2x2dx1得：e2x2dx1e2x2dx62由00 0 2 2ex2dx1令2得 0 2首先求解力學(xué)量F的本征方程：F??F，然后將r,t按F的本征態(tài)展開：n nn r,tccd，則F的可能值為,,,,，F(xiàn)的幾率為c2，F(xiàn)在~dnn 1 2 n nnn范圍內(nèi)的幾率為c2d。可以適用。65自旋是一種內(nèi)稟角動量，并不是自轉(zhuǎn)。66光是粒子和波的統(tǒng)一。67不一定，只有在它們共同的本征態(tài)下才能同時確定。68球諧振子能級En3，(nnnn；n,n,n0,1,2,)n2 1 2 3 1 2 3(n1)n2E的簡并度為。 n 269不一定。偶極近似下的結(jié)果才為l1，在多極近似下或精確解時l3也可能會實(shí)現(xiàn)。70克萊布希－高豋系數(shù)是為了實(shí)現(xiàn)無耦合表象和耦合表象之間的變換而提出的。71、與2在球坐標(biāo)系下為同一點(diǎn),根據(jù)波函數(shù)的單值性,同一點(diǎn)應(yīng)具有同一值,故球坐標(biāo)系下波函數(shù)r,,為進(jìn)動角的周期函數(shù). 22 2 二維定態(tài)薛定諤方程:2x2y2U0E.令,EEE,UUU. xy x y 0 x y2d22dx2xUxxExx可得2d2yUE 2dy2 yy yy設(shè)有一組彼此獨(dú)立而又相互對易的厄米算符A?A?,A?,,它們的共同本征函數(shù)記為(k是一組量子1 2 k數(shù)的籠統(tǒng)記號).若給定k之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài),則A?A?,A?,構(gòu)成體系的一組力學(xué)量 1 2完全集.力學(xué)量完全集中厄米算符的數(shù)目與體系的自由度數(shù)相同.氫原子在外電場作用下所產(chǎn)生的譜線分裂現(xiàn)象,稱為氫原子的stark效應(yīng).加入外電場后,勢場的對稱性受到破壞,能級發(fā)生分裂,使簡并部分被消除,可用簡并情況下的微擾理論來處理.在一級stark效應(yīng)中,由于通常情況下,外電場強(qiáng)度比起原子內(nèi)部的電場強(qiáng)度要小得多,故可以把外電場看作微擾.將S??代入自旋角動量定義式S?S?iS?得??2i?i?,即算符?不滿足角動量定義2式.經(jīng)典物理無法解釋近代物理出現(xiàn)的黑體輻射，光電效應(yīng)，原子光譜與原子結(jié)構(gòu)等問題。在Plank,Einstein,Bohr,deBroglie等的基礎(chǔ)上，Heisenberge,Schrodinger,分別提出矩陣力學(xué)、波動力學(xué)，經(jīng)Dirac,Pauli等人的完善發(fā)展形成了當(dāng)今的量子力學(xué)。，L?zp?xp?izixy x z x zL?xp?yp?ixiy，z y x y xL?22yzzy2zxxz2xyyx278不一定成立，僅當(dāng)ll時成立。因?yàn)榻莿恿康谋菊鲬B(tài)（對應(yīng)量子數(shù)l）是關(guān)于角向正交歸一的。H79不適用，n很大時，E(0)E(0)可能很小， mn1不成立， n m E0E0 n mH不能看作微擾。對定態(tài)簡并情形也一樣。80L?r??p，J?J?iJ?，自旋按后者定義S?S?iS?81．由xdx1x量綱為[L]知，x的量綱為[L]-1。82．在定態(tài)問題中，H?T?U?，p2ETUUUU，2 min即定態(tài)能量的最小值不可能低于勢能的最小值。83．一維線性諧振子能量本征值方程H?E，其中 n nn1Enn22x2xNexp2Hnn nii引入產(chǎn)生、消滅算符a?2xp?a?2xp?因H??p212x2故H?a?a?1N?1，以Dirac符號n表示，則 22 2 2nN?nnn，算符N?的本征值為n,以n為基矢的表象稱為占有數(shù)表象。 84．令A(yù)?A?,B?B?,C?A?B?,則C?A?B?B?A?B?A?,若A?,B?0則A?B?B?A?,有C?A?B?A?B?C?,即C?為厄米算符。85．在量子躍遷問題中，一級近似時忽略光波中磁場對原子的作用能，并假設(shè)光波長遠(yuǎn)大于原子線度， 得出躍遷幾率er2，其中er為電子偶極矩，故稱此種近似處理方法為偶極近似。舊量子理論有下列足：其動量量子化的假設(shè)很生硬；比氫原子稍復(fù)雜的體系解釋的不好；即使是氫原子，對其譜線強(qiáng)度也無能為力。量子力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)：量子化是解方程得出的很自然的結(jié)果；可以解釋比氫原子更復(fù)雜的原子；對于氫原子不僅可以給出譜線的位置，也可以給出譜線的強(qiáng)度。設(shè)L?i的本征值為m，本征函數(shù)1eim，其中m0,1,2,. z m 2一個物理體系存在束縛態(tài)的條件是：存在能量值，其大小小于無窮遠(yuǎn)處的勢能，且對應(yīng)該能量的方程存在滿足無窮遠(yuǎn)處為零的邊界條件的解。一個抽象的希爾伯特空間中的矢量可以按照不同的完備基展開,稱為不同的表象.設(shè)力學(xué)量完全集A的共同正交歸一本征函數(shù)組為,,,，力學(xué)量完全集B的共同正交歸一本征函數(shù)組為 1 2 3 m,,,,將{}用{}展開得到基矢的變換規(guī)則：S，以S為矩陣元的矩陣S 1 2 3 m n n nn n為變換矩陣滿足SS1。把矢量用兩組基展開,ab,坐標(biāo)分量的變換規(guī)則為n nn nnaSb,b(S1)a,力學(xué)量在不同表象下的矩陣元之間的變換規(guī)則為n n k knn k knn n nFB(S1)FAS,即FBS1FAS. ijjJ?2J??2J?2J?J?J?J? 1 2 1 21221由于J?和J?對易，故J?2J?J?2J?2J?22J?J? 1212 12 1 2J?2,J?2J?2,J?2J?2,J?22J?2,J?J? 1 1 1 211 12002J?J?2,J?2J?2,J?J? 1 1 2 1 1 2091．舊量子論即玻爾(Bohr)的量子論（穩(wěn)恒軌道＆定態(tài)躍遷＆量子化條件）加上索末菲(Sommerfeld)在此基礎(chǔ)上的推廣，故亦稱玻爾理論或玻爾與索末菲的理論.由于經(jīng)典理論在兩者的頭腦中已根深蒂固，這使得他們把量子力學(xué)的研究對象——微觀粒子（電子，原子等）看作經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，進(jìn)而把經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用在微觀粒子上.這樣，就造成了舊量子論存在以下幾點(diǎn)不足：①“角動量是的整數(shù)倍”這一量子化條件很生硬.②只能很好解釋氫原子或較好解釋只有一個價電子（Li,Na,K等）的光譜結(jié)構(gòu)，而對于稍復(fù)雜例如簡單程度僅次于氫原子的氦原子，則已無能為力.③即使對于氫原子，也只能求其譜線頻率，而不能求其強(qiáng)度.92．由于量子力學(xué)在描述微觀粒子的運(yùn)動時，認(rèn)為它沒有確定的軌道，而是用波函數(shù)絕對值的平方表示粒子在空間各處出現(xiàn)的（相對）幾率.因此在解釋原子中電子的運(yùn)動時，量子力學(xué)可用電子云圖形象地表示出電子在空間各處出現(xiàn)的幾率.基于此，對于舊量子論中氫原子的“軌道”，量子力學(xué)解釋為電子在原子核周圍運(yùn)動的徑向幾率密度最大處.93．由[L?,L?]iL?知，算符L?,L?不對易.但在態(tài)中，由①L?0得到L0；②L?,L?,L?x y z x y 00 z00 z x y z在此態(tài)中地位平等，得LL?0.即兩個不對易的力學(xué)量不一定不能同時確定. x y實(shí)際上“在角動量J?的任何一個直角坐標(biāo)分量(J?)的本征態(tài)下，J?的另外兩個分量(J?,J?)z x y的平均值均為0.”——參見錢伯初與曾謹(jǐn)言所著《量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析》(第二版)第165頁.94．在量子力學(xué)的近似方法中,微擾法有一定的適用范圍,即當(dāng)其中的H?(0)部分的本征值與本證函數(shù)未知,或H?不是很小時,微擾法就不再適用.變分法不受上述條件的制約,但在求解基態(tài)以上近似時則相當(dāng)麻煩,故只常用來求解基態(tài)能級與基態(tài)波函數(shù).其基本思想是:對于某一確定體系,用任意波函數(shù)計(jì)算出的H?的平均值總是大于體系的基態(tài)能量E,而只有當(dāng)0恰好是體系的基態(tài)波函數(shù)時,H?的平均值才等于基態(tài)的能量,相應(yīng)的波函數(shù)為基態(tài)波函數(shù).這樣,0我們可以選取許多并計(jì)算出相應(yīng)H?的平均值,這些平均值中最小的一個最接近于E.0基于此,用變分法求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)的步驟為:取含參量,歸一化,且有物理意義的嘗試波函數(shù)r,,求平均值HH?d,dH求極小值:0,0d得基態(tài)能量EH, 0 0基態(tài)波函數(shù),r. 0 0需要注意的是,在選嘗試波函數(shù)時,需要許多技巧.95．在S?表象下.電子的三個泡利(Pauli)矩陣為：z010i1010,yi0,z01.x96．同人們理解所有基本概念的過程一樣,人們對物質(zhì)粒子波動性的理解也并非一帆風(fēng)順：由于深受經(jīng)典概念的影響,包括波動力學(xué)的創(chuàng)始人在內(nèi),他們把電子衍射實(shí)驗(yàn)中的電子波看成三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包,波包的大小即電子的大小,波包的群速度即電子的運(yùn)動速度.但這種觀點(diǎn)連自由粒子的運(yùn)動都無法解釋:隨著時間的推移,與自由粒子對應(yīng)的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散,即導(dǎo)致粒子越來越“胖”,這與實(shí)際相矛盾;物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動性的一面,抹殺了粒子性的一面,帶有片面性;與物質(zhì)波包相反的另一種看法是,波動性是由于有大量粒子分布于空間而形成的疏密波.但電子衍射實(shí)驗(yàn)表明:即使是單個電子也具有波動性.這種觀點(diǎn)夸大了粒子性的一面,而抹殺了粒子具有波動性的一面.以上觀點(diǎn)的局限在于試圖用經(jīng)典的觀點(diǎn)給予解釋.經(jīng)典力學(xué)中說到一個“粒子”時,意味著一個具有一定質(zhì)量和電荷等屬性的客體,物質(zhì)粒子的這種“原子性”是實(shí)驗(yàn)證實(shí)了的.而粒子具有完全確定軌道的看法在宏觀世界里則只是一個很好的近似,無限精確的軌道概念從來也沒有為實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證過;經(jīng)典力學(xué)中說到一個“波動”時,總是意味著某種實(shí)在的物理量的周期性空間分布.但實(shí)際上,更本質(zhì)的在于波的相干疊加性.分析電子衍射實(shí)驗(yàn)可知,電子所呈現(xiàn)出來的粒子性,只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性”,而并不與“粒子具有確定的軌道”的概念相聯(lián)系;電子所呈現(xiàn)的波動性，也只不過是波動最本質(zhì)的東西——波的疊加性，而不與某種實(shí)在的物理量在空間的波動相聯(lián)系.把粒子性與波動性統(tǒng)一起來,更確切的說,把微觀粒子的“原子性”與波的“疊加性”統(tǒng)一起來的是M.Born(1928),他在用薛定諤方程處理散射問題時為解決散射粒子的角分布而提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成比例.即描寫粒子的波為幾率波. 2 97．定態(tài)薛定諤方程:2UE.2 2 取其復(fù)共軛:22UE,(E為實(shí)數(shù),且UU)即也是對應(yīng)同一本征能級的解.如果能級不兼并,則與是同一量子態(tài),故可設(shè)c(c為常數(shù)).取復(fù)共軛:cc2c1cei,為實(shí)數(shù),取相位0,則即可以取為實(shí)數(shù).98．我們知道,幾何中的矢量,經(jīng)典力學(xué)中的規(guī)律,都和所選坐標(biāo)系無關(guān).同樣量子力學(xué)的規(guī)律也應(yīng)和所選用的表象無關(guān),態(tài)和力學(xué)量的描述可以不涉及具體表象,為此Dirac最先引入了狄拉克符號.99．前提是H?H?(0)H?中:①H?(0)(0)E(0)(0)已解出,②H?是小量. n n nH理論適用條件: mn1E(0)E(0).E(0)E(0)nmn m即不僅決定于矩陣元H的大小,還決定于能級間的距離E(0)E(0),實(shí)際上,這一條件即mnn mH?是小量的明確表示.100．兩個角動量可以是:①兩個軌道角動量;②兩個自旋角動量;③一個軌道角動量與一個自旋角動量.統(tǒng)??一用J,J表示.兩個角動量耦合時: 1 2mmm, 1 2jjj,jj1,jj. 1 21 212j和j所滿足的關(guān)系稱三角關(guān)系j,j,j. 1 2 1 2河北大學(xué)課程考核試卷一、概念題：（共20分，每小題4分）一個物理體系存在束縛態(tài)的條件是什么？兩個對易的力學(xué)量是否一定同時確定？為什么？測不準(zhǔn)關(guān)系是否與表象有關(guān)？在簡并定態(tài)微擾論中，如H(0)的某一能級E(0)，對應(yīng)f個正交歸一本征函數(shù)i（i=1，2，…，nf），為什么一般地i不能直接作為H?H?0H?的零級近似波函數(shù)？在自旋態(tài)1(sz)中，Sx和Sy的測不準(zhǔn)關(guān)系(Sx)2?(Sy)2是多少？2二（20分）求在三維勢場Ux,y,z 其它區(qū)域中運(yùn)動的粒子的定態(tài)能量和波函數(shù)。0當(dāng)xa且yb三（20分）求氫原子基態(tài)的最可幾半徑。 c 0ai四（20分）已知哈密頓算符H?在某表象下H0 5 0