已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)第一頁，共124頁。第4章根軌跡法4-1根軌跡的基本概念4-2繪制根軌跡的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第二頁，共124頁?；疽?/p>

1.正確理解開環(huán)零、極點(diǎn)和閉環(huán)零、極點(diǎn)以及主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運(yùn)用模方程計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運(yùn)用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡。4.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點(diǎn)和方法。

第三頁，共124頁。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)求出閉環(huán)極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定出閉環(huán)極點(diǎn)位置是十分有意義的。第四頁，共124頁。定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。4－1根軌跡法的基本概念當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時(shí)，對(duì)應(yīng)的軌跡為零度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。1、根軌跡概念第五頁，共124頁。例4-1如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：第六頁，共124頁。開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)。

沒有零點(diǎn)，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為第七頁，共124頁。從特征根的表達(dá)式中看出每個(gè)特征根都隨K的變化而變化。例如，設(shè)K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞第八頁，共124頁。如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。第九頁，共124頁。穩(wěn)定性

當(dāng)K由0→∞，根軌跡不會(huì)進(jìn)入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)特性坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點(diǎn)取值范圍。動(dòng)態(tài)特性當(dāng)0<K1<0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)位于實(shí)軸上，為過阻尼狀態(tài)；當(dāng)K1=0.5時(shí)，兩個(gè)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)重合，為臨界阻尼系統(tǒng)；當(dāng)K1>0.5時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點(diǎn)，為欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。

2、根軌跡與系統(tǒng)性能第十頁，共124頁。3、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－1）第十一頁，共124頁。將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－2）第十二頁，共124頁。為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益式中為反饋通道的根軌跡增益。（4－4）（4－3）第十三頁，共124頁。（4－5）問：f與l、q與h有什么關(guān)系？第十四頁，共124頁。閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點(diǎn)。式中：（4－6）第十五頁，共124頁。比較式（4－2）和式（4－6）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)是在已知開環(huán)零、極點(diǎn)分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點(diǎn)。第十六頁，共124頁。4、根軌跡方程根軌跡方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。

閉環(huán)特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）閉環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。第十七頁，共124頁。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)，并假定n≥m，這時(shí)根軌跡方程又可以寫成：（4－8）不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。第十八頁，共124頁。相角方程（4－9）模值方程（4－10）第十九頁，共124頁。注意在實(shí)際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的值。模值方程不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。第二十頁，共124頁。例4-2它們應(yīng)滿足相角方程（4－9）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):試證明復(fù)平面上點(diǎn)是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。若系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為證明：該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)第二十一頁，共124頁。例4－1開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖第二十二頁，共124頁。(k=0)以為試驗(yàn)點(diǎn)，可得以為試驗(yàn)點(diǎn)，觀察右圖，可得第二十三頁，共124頁。證畢可見，都滿足相角方程，所以，點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)。第二十四頁，共124頁。例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)變化時(shí)其根軌跡如圖4-2所示，求根軌跡上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程第二十五頁，共124頁。根據(jù)圖可得所以第二十六頁，共124頁。上面兩個(gè)例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點(diǎn)是否是閉環(huán)極點(diǎn)以及確定根軌跡上一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。返回第二十七頁，共124頁。根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。法則1、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)由根軌跡方程有：4－2繪制根軌跡的基本法則第二十八頁，共124頁。

若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m<開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n(有個(gè)開環(huán)零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處)則有()條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)→→

起點(diǎn)→→終點(diǎn)第二十九頁，共124頁。一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點(diǎn)數(shù)

＝開環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)→在實(shí)軸上復(fù)數(shù)→共軛→對(duì)稱于實(shí)軸法則2根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性三、根軌跡具有連續(xù)性第三十頁，共124頁。法則3、根軌跡的漸近線漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為：漸近線與實(shí)軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為：第三十一頁，共124頁。例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近線。極點(diǎn)解：零點(diǎn)第三十二頁，共124頁。按照公式得第三十三頁，共124頁。以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線第三十四頁，共124頁。第三十五頁，共124頁。對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)第三十六頁，共124頁。法則4、根軌跡在實(shí)軸上的分布實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。第三十七頁，共124頁。在實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)代入相角方程則所以相角方程成立，即是根軌跡上的點(diǎn)。第三十八頁，共124頁。一般，設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)右側(cè)有L個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，h個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，則有關(guān)系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當(dāng)然L+h也為奇數(shù)。第三十九頁，共124頁。例4-5設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式第四十頁，共124頁。最后繪制出根軌跡圖。法則1，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－2，一條終于有限零點(diǎn)－1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。法則2，有兩條根軌跡法則4，在負(fù)實(shí)軸上，0到－1區(qū)間和－2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：第四十一頁，共124頁。例4－4根軌跡第四十二頁，共124頁。法則5、根軌跡的分離點(diǎn)與分離角定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間，則此二極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸兩相鄰開環(huán)零點(diǎn)之間，則此二極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)會(huì)合點(diǎn)。第四十三頁，共124頁。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值，為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。第四十四頁，共124頁。法則5、分離角與會(huì)合角所謂分離角是指根軌跡離開分離點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。分離角計(jì)算公式（4－45）第四十五頁，共124頁。所謂會(huì)合角是指根軌跡進(jìn)入重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。第四十六頁，共124頁。會(huì)合角計(jì)算公式第四十七頁，共124頁。分離角與會(huì)合角不必經(jīng)公式計(jì)算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進(jìn)入d點(diǎn)，必有條根軌跡離開d點(diǎn)；條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與條離開d點(diǎn)的根軌跡相間隔；任一條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與相鄰的離開d點(diǎn)的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點(diǎn)附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點(diǎn)附近所有的根軌跡方向，而確定d點(diǎn)附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2、法則4或取試驗(yàn)點(diǎn)用相角條件來驗(yàn)證。第四十八頁，共124頁。法則6、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在該點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角。第四十九頁，共124頁。終止角計(jì)算公式：起始角計(jì)算公式：第五十頁，共124頁。例4-6設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點(diǎn)畫在圖4－4的根平面上，逐步畫圖：第五十一頁，共124頁。n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(diǎn)(-2-j),(-2+j)確定起始角,終止角。如圖例4－6所示。第五十二頁，共124頁。例4－6根軌跡第五十三頁，共124頁。例4－6根軌跡的起始角和終止角第五十四頁，共124頁。例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點(diǎn)坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。第五十五頁，共124頁。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點(diǎn)按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)實(shí)軸上根軌跡位于有限零點(diǎn)－1和無窮零點(diǎn)之間，因此判斷有分離點(diǎn)第五十六頁，共124頁。離開復(fù)平面極點(diǎn)的初始角為第五十七頁，共124頁。漸近線（舍去）6、求分離點(diǎn)坐標(biāo)d第五十八頁，共124頁。此系統(tǒng)根軌跡如圖所示第五十九頁，共124頁。法則7、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)如根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實(shí)部和虛部為零求得。第六十頁，共124頁。例4-8設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。第六十一頁，共124頁。解：按步驟畫圖有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠(yuǎn)實(shí)軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線第六十二頁，共124頁。確定分離點(diǎn)d解方程得（舍去）第六十三頁，共124頁。確定起始角第六十四頁，共124頁。確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為第六十五頁，共124頁。例4－7根軌跡第六十六頁，共124頁。例4-9已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)。第六十七頁，共124頁。解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計(jì)算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點(diǎn)0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處；實(shí)軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，它們的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角為第六十八頁，共124頁。取第六十九頁，共124頁。根軌跡的起始角。解得分離點(diǎn)坐標(biāo)d。舍第七十頁，共124頁。根軌跡與虛軸交點(diǎn)。系統(tǒng)特征方程解得則兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)令代入第七十一頁，共124頁。此時(shí)特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)第七十二頁，共124頁。例4－9根軌跡圖第七十三頁，共124頁。法則8、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項(xiàng)系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)。第七十四頁，共124頁。Tips在開環(huán)極點(diǎn)已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動(dòng)使某些閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上向左移動(dòng)時(shí)，則必有另一些極點(diǎn)向右移動(dòng)，這樣才能保證極點(diǎn)之和為常值。這對(duì)于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項(xiàng)。第七十五頁，共124頁。常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖返回第七十六頁，共124頁。4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-26)閉環(huán)特征方程為(4-27)等效變換成第七十七頁，共124頁。令（4－29）顯然，利用式4－29就可以畫出關(guān)于零點(diǎn)變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。第七十八頁，共124頁。二、開環(huán)極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)上式可畫出變化時(shí)的廣義根軌跡。第七十九頁，共124頁。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制當(dāng)開環(huán)增益K為時(shí)，時(shí)間常數(shù)變化時(shí)的根軌跡。例4-10解：題目顯然是求廣義根軌跡問題。第八十頁，共124頁。系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即0，0，-1；2個(gè)極點(diǎn)，不同K值可計(jì)算出不同極點(diǎn)。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡圖。第八十一頁，共124頁。例4-10根軌跡圖第八十二頁，共124頁。分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個(gè)控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點(diǎn)。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。三、零度根軌跡第八十三頁，共124頁。特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路第八十四頁，共124頁。從而相角方程及模值方程相應(yīng)為第八十五頁，共124頁。使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時(shí)，對(duì)于與相角方程有關(guān)的某些法則要修改實(shí)軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。根軌跡的漸近線計(jì)算公式不變。第八十六頁，共124頁。根軌跡的起始角與終止角分離角與會(huì)合角除上述四個(gè)法則外，其他法則不變第八十七頁，共124頁。例4-11正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時(shí)的根軌跡。其中第八十八頁，共124頁。解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當(dāng)變化時(shí)的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。終止于開環(huán)零點(diǎn)實(shí)軸根軌跡在區(qū)間內(nèi)。起始于開環(huán)極點(diǎn)第八十九頁，共124頁。例4-11根軌跡圖返回第九十頁，共124頁。4－4系統(tǒng)性能的分析由開環(huán)→閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡求閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要任務(wù)：第九十一頁，共124頁。一、用閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：第九十二頁，共124頁。設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)(s)中無重極點(diǎn)，上式分解為部分分式第九十三頁，共124頁。第九十四頁，共124頁。將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。第九十五頁，共124頁。二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半部；復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成夾角線附近；平穩(wěn)性第九十六頁，共124頁?？焖傩蚤]環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；動(dòng)態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點(diǎn)之間間距大,零點(diǎn)與極點(diǎn)間間距小。第九十七頁，共124頁。三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)：就是對(duì)動(dòng)態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是離虛軸最近的極點(diǎn)。第九十八頁，共124頁。偶極子：就是一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。第九十九頁，共124頁。四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)既然主導(dǎo)極點(diǎn)在動(dòng)態(tài)過程中起主要作用，那么，計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計(jì)算性能指標(biāo)的公式和曲線。第一百頁，共124頁。例4-12試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)其零、極點(diǎn)分布如圖所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第一百零一頁，共124頁。極點(diǎn)離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。第一百零二頁，共124頁。這時(shí)系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為式中：T=0.67s根據(jù)時(shí)域分析可知一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間第一百零三頁，共124頁。例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。第一百零四頁，共124頁。解：閉環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示第一百零五頁，共124頁。系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)第一百零六頁，共124頁。例4-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比0.5時(shí)的性能指標(biāo)。第一百零七頁，共124頁。解：圖4-27根軌跡圖

根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。第一百零八頁，共124頁。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出時(shí)的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個(gè)極點(diǎn)，用長除法求出第三個(gè)極點(diǎn)。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是第一百零九頁，共124頁。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的性能