已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)第一頁，共124頁。第4章根軌跡法4-1根軌跡的基本概念4-2繪制根軌跡的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第二頁，共124頁?；疽?/p>

1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導(dǎo)極點、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。4.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。

第三頁，共124頁。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。第四頁，共124頁。定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。4－1根軌跡法的基本概念當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時，對應(yīng)的軌跡為零度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。1、根軌跡概念第五頁，共124頁。例4-1如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：第六頁，共124頁。開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點。

沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為第七頁，共124頁。從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設(shè)K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞第八頁，共124頁。如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。第九頁，共124頁。穩(wěn)定性

當(dāng)K由0→∞，根軌跡不會進入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)特性坐標(biāo)原點有一個開環(huán)極點，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點取值范圍。動態(tài)特性當(dāng)0<K1<0.5時，閉環(huán)極點位于實軸上，為過阻尼狀態(tài)；當(dāng)K1=0.5時，兩個閉環(huán)實極點重合，為臨界阻尼系統(tǒng)；當(dāng)K1>0.5時，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點，為欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。

2、根軌跡與系統(tǒng)性能第十頁，共124頁。3、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－1）第十一頁，共124頁。將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－2）第十二頁，共124頁。為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益式中為反饋通道的根軌跡增益。（4－4）（4－3）第十三頁，共124頁。（4－5）問：f與l、q與h有什么關(guān)系？第十四頁，共124頁。閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點。式中：（4－6）第十五頁，共124頁。比較式（4－2）和式（4－6）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)是在已知開環(huán)零、極點分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點。第十六頁，共124頁。4、根軌跡方程根軌跡方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關(guān)系。

閉環(huán)特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。第十七頁，共124頁。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，這時根軌跡方程又可以寫成：（4－8）不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。第十八頁，共124頁。相角方程（4－9）模值方程（4－10）第十九頁，共124頁。注意在實際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的值。模值方程不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關(guān)。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。第二十頁，共124頁。例4-2它們應(yīng)滿足相角方程（4－9）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):試證明復(fù)平面上點是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。若系統(tǒng)閉環(huán)極點為證明：該系統(tǒng)的開環(huán)極點第二十一頁，共124頁。例4－1開環(huán)零、極點分布圖第二十二頁，共124頁。(k=0)以為試驗點，可得以為試驗點，觀察右圖，可得第二十三頁，共124頁。證畢可見，都滿足相角方程，所以，點是閉環(huán)極點。第二十四頁，共124頁。例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)變化時其根軌跡如圖4-2所示，求根軌跡上點所對應(yīng)的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程第二十五頁，共124頁。根據(jù)圖可得所以第二十六頁，共124頁。上面兩個例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應(yīng)的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。返回第二十七頁，共124頁。根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。法則1、根軌跡的起點與終點由根軌跡方程有：4－2繪制根軌跡的基本法則第二十八頁，共124頁。

若開環(huán)零點數(shù)m<開環(huán)極點數(shù)n(有個開環(huán)零點在無窮遠(yuǎn)處)則有()條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)點→→

起點→→終點第二十九頁，共124頁。一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點數(shù)

＝開環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點為實數(shù)→在實軸上復(fù)數(shù)→共軛→對稱于實軸法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性三、根軌跡具有連續(xù)性第三十頁，共124頁。法則3、根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為：漸近線與實軸相交點的坐標(biāo)為：第三十一頁，共124頁。例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近線。極點解：零點第三十二頁，共124頁。按照公式得第三十三頁，共124頁。以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線第三十四頁，共124頁。第三十五頁，共124頁。對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)第三十六頁，共124頁。法則4、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。第三十七頁，共124頁。在實軸上任取一試驗點代入相角方程則所以相角方程成立，即是根軌跡上的點。第三十八頁，共124頁。一般，設(shè)試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關(guān)系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當(dāng)然L+h也為奇數(shù)。第三十九頁，共124頁。例4-5設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式第四十頁，共124頁。最后繪制出根軌跡圖。法則1，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、－2，一條終于有限零點－1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。法則2，有兩條根軌跡法則4，在負(fù)實軸上，0到－1區(qū)間和－2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：第四十一頁，共124頁。例4－4根軌跡第四十二頁，共124頁。法則5、根軌跡的分離點與分離角定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個分離點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)零點之間，則此二極點之間至少存在一個會合點。第四十三頁，共124頁。分離點的坐標(biāo)d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點的數(shù)值，為各開環(huán)極點的數(shù)值。第四十四頁，共124頁。法則5、分離角與會合角所謂分離角是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。分離角計算公式（4－45）第四十五頁，共124頁。所謂會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。第四十六頁，共124頁。會合角計算公式第四十七頁，共124頁。分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進入d點，必有條根軌跡離開d點；條進入d點的根軌跡與條離開d點的根軌跡相間隔；任一條進入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2、法則4或取試驗點用相角條件來驗證。第四十八頁，共124頁。法則6、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。第四十九頁，共124頁。終止角計算公式：起始角計算公式：第五十頁，共124頁。例4-6設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點畫在圖4－4的根平面上，逐步畫圖：第五十一頁，共124頁。n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(-2-j),(-2+j)確定起始角,終止角。如圖例4－6所示。第五十二頁，共124頁。例4－6根軌跡第五十三頁，共124頁。例4－6根軌跡的起始角和終止角第五十四頁，共124頁。例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。第五十五頁，共124頁。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠(yuǎn)零點實軸上根軌跡位于有限零點－1和無窮零點之間，因此判斷有分離點第五十六頁，共124頁。離開復(fù)平面極點的初始角為第五十七頁，共124頁。漸近線（舍去）6、求分離點坐標(biāo)d第五十八頁，共124頁。此系統(tǒng)根軌跡如圖所示第五十九頁，共124頁。法則7、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實部和虛部為零求得。第六十頁，共124頁。例4-8設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。第六十一頁，共124頁。解：按步驟畫圖有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠(yuǎn)實軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線第六十二頁，共124頁。確定分離點d解方程得（舍去）第六十三頁，共124頁。確定起始角第六十四頁，共124頁。確定根軌跡與虛軸的交點。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為第六十五頁，共124頁。例4－7根軌跡第六十六頁，共124頁。例4-9已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。第六十七頁，共124頁。解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處；實軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，它們的漸近線與實軸的交點和夾角為第六十八頁，共124頁。取第六十九頁，共124頁。根軌跡的起始角。解得分離點坐標(biāo)d。舍第七十頁，共124頁。根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程解得則兩個閉環(huán)極點令代入第七十一頁，共124頁。此時特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點第七十二頁，共124頁。例4－9根軌跡圖第七十三頁，共124頁。法則8、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)。第七十四頁，共124頁。Tips在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在s平面上向左移動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。第七十五頁，共124頁。常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖返回第七十六頁，共124頁。4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-26)閉環(huán)特征方程為(4-27)等效變換成第七十七頁，共124頁。令（4－29）顯然，利用式4－29就可以畫出關(guān)于零點變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。第七十八頁，共124頁。二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)上式可畫出變化時的廣義根軌跡。第七十九頁，共124頁。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制當(dāng)開環(huán)增益K為時，時間常數(shù)變化時的根軌跡。例4-10解：題目顯然是求廣義根軌跡問題。第八十頁，共124頁。系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，即0，0，-1；2個極點，不同K值可計算出不同極點。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡圖。第八十一頁，共124頁。例4-10根軌跡圖第八十二頁，共124頁。分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。三、零度根軌跡第八十三頁，共124頁。特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路第八十四頁，共124頁。從而相角方程及模值方程相應(yīng)為第八十五頁，共124頁。使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關(guān)的某些法則要修改實軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。根軌跡的漸近線計算公式不變。第八十六頁，共124頁。根軌跡的起始角與終止角分離角與會合角除上述四個法則外，其他法則不變第八十七頁，共124頁。例4-11正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時的根軌跡。其中第八十八頁，共124頁。解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當(dāng)變化時的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。終止于開環(huán)零點實軸根軌跡在區(qū)間內(nèi)。起始于開環(huán)極點第八十九頁，共124頁。例4-11根軌跡圖返回第九十頁，共124頁。4－4系統(tǒng)性能的分析由開環(huán)→閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能主要任務(wù)：第九十一頁，共124頁。一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應(yīng)表達式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：第九十二頁，共124頁。設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)(s)中無重極點，上式分解為部分分式第九十三頁，共124頁。第九十四頁，共124頁。將C(s)表達式進行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點分布有關(guān)。第九十五頁，共124頁。二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點位于s平面的左半部；復(fù)數(shù)極點設(shè)置在s平面中與負(fù)實軸成夾角線附近；平穩(wěn)性第九十六頁，共124頁。快速性閉環(huán)極點遠(yuǎn)離虛軸；動態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點之間間距大,零點與極點間間距小。第九十七頁，共124頁。三、主導(dǎo)極點和偶極子主導(dǎo)極點：就是對動態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點，一般是離虛軸最近的極點。第九十八頁，共124頁。偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。第九十九頁，共124頁。四、利用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)既然主導(dǎo)極點在動態(tài)過程中起主要作用，那么，計算性能指標(biāo)時，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點對應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計算性能指標(biāo)的公式和曲線。第一百頁，共124頁。例4-12試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個閉環(huán)極點其零、極點分布如圖所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第一百零一頁，共124頁。極點離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為，而其他兩個極點可以忽略。第一百零二頁，共124頁。這時系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為式中：T=0.67s根據(jù)時域分析可知一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間第一百零三頁，共124頁。例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計系統(tǒng)的性能指標(biāo)。第一百零四頁，共124頁。解：閉環(huán)零、極點分布如圖所示第一百零五頁，共124頁。系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對應(yīng)性能指標(biāo)第一百零六頁，共124頁。例4-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導(dǎo)極點具有阻尼比0.5時的性能指標(biāo)。第一百零七頁，共124頁。解：圖4-27根軌跡圖

根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。第一百零八頁，共124頁。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出時的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個極點，用長除法求出第三個極點。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是第一百零九頁，共124頁。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能