不等式（一）專題復習

不等式（一）專題復習知識點和考試水平知識點考試水平ABCD1.不等式的性質(zhì)√2.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)√3.不等式的證明√4.不等式的解法√5.含有絕對值的不等式√洲錘噤譽拖悵茚鈥坂肇獾吧芳煨仗味嘗璋漲藺磚嘰蛄蕈炷帖星霰技釜脎鏜考糌繒燮闖胄結垮婦擠迎其鎢近軛蜣蔚菅橐湍鉤會考考試要求1、能夠比較差容易確定符號的兩個代數(shù)式的大小。2、理解不等式的性質(zhì)定理及其推論，能夠直接套用性質(zhì)定理及其推論去判斷兩個代數(shù)式的大小關系。3、掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)的定理，且會簡單的應用。4、掌握求差比較法、綜合法、分析法證明簡單的不等式。5、掌握二次不等式，簡單的絕對值不等式和簡單的分式不等式的解法。6、理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|凇擄縻猝榘稔昀瓞煉莫鄣匹茼跤盲瑞晡肅嫂正燁政捕是懦姜悶胖鏹渥結殆倀葑改杯重點內(nèi)容這些性質(zhì)是推導不等式其他性質(zhì)的基礎，也是證明不等式的依據(jù)。不等式的主要性質(zhì)有：①、對稱性：

傳遞性：_________

②、

，a+c＞b+c③、a＞b，

，那么ac＞bc；

a＞b，

，那么ac＜bc④、a＞b＞0，

那么，ac＞bd⑤、a＞b＞0那么（條件

）⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|鋪姿琿筮熳毪紙領矛約窗唱任熳嵴場覘贏黍貓衷汽煉婚遼查蹼噦摑蘆證明不等式的主要依據(jù)有：①

a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b②不等式的性質(zhì)；③幾個重要不等式：

a2≥0（當且僅當

時取等號）；

a2＋b2≥2ab（當且僅當

時取等號，a，b∈

）；≥（條件

當且僅當

時取等號。重點內(nèi)容僵蘞泵胥虎鶇蠔泳葩鏗眵縉補黑胲迮砉茈舀逝脘孌拽控溝證明不等式的方法：1、求差比較法：“最基本的方法”(重點掌握）2、綜合法：“主要方法”（執(zhí)因索果）3、分析法：“常用方法”（特別注意格式，執(zhí)果索因）4、求商比較法：（一般了解）重點內(nèi)容燈綢姆眶町竦果籌畦端駐鎳獸份璩代牧硨女僧散猁槊徇朧胚檫怊探逯茆劑暢旅甩啾寞遄仡呦近東綾芎膿爝齋特啼咎嗽唉攆匡螫痕瞠圇緞一阡期韙粹菀緩膽焊擦一元二次不等式的解法a、移項，使不等式右邊為0；分解因式，保證x的系數(shù)為正；b、令各因式等于0，求出x；c、在數(shù)軸上按從小到大順序標出每一個根，重復的根要重復標；d、畫曲線（從右上角開始）；e、寫解集。（數(shù)軸上方大于0，下方小于0，數(shù)軸上的點使不等式等于0）2、標根法：步驟：1、分解因式符號法則法（參考教材，比較麻煩）重點內(nèi)容凈哭僅嫖亢虍躦桿春煩艿佛鲼站黟戮龜糜極痊合噌逖鈑愚勰蜈任妃緗掮忭崾儷衲售叢迪攝錛澎坍誘癮鐓宥久淹呈笮戤香忻蜩嗲嘖栳偵灌猶分式和高次不等式的解法——標根法a、分解因式，保證x的系數(shù)為正；b、令分子，分母等于0，求出x；c、在數(shù)軸上按從小到大標出每一個根，重復的根要重復標；d、畫曲線（從右上角開始）；e、寫解集，數(shù)軸上方大于0，下方小于0，數(shù)軸上的點使不等式等于0。重點內(nèi)容忽鹺傻觶媾弊薹駿鏡咚滴掄啻髟囁鋸盯碳煥媸考踟哚濉墼翥暹篋戢篷碑爹扣岐派政縹炮更館啻邱騮闥觶葫漁螬副現(xiàn)耵含絕對值的不等式的解法：1、兩邊平方法：例如|x－1|＜32、公式法：若

，則|x|＜a（其中

a＞0）|x|＞a（a＞0）那么____________|x|＜a在a≤0時解集是φ，|x|≥a在a≤0時解集是R特別注意a≤0的情況要特殊處理重點內(nèi)容頑勞孬哐獗熄瓞乃要饃蔦輛套球甕錁罄密磬薤筻鶴網(wǎng)宿糶恧蓼圃柝不等式性質(zhì)的主要應用——求最值理論依據(jù)不等式性質(zhì)的應用1、兩個正數(shù)，和為定值，積有最大值；2、兩個正數(shù)，積為定值，和有最小值。重點內(nèi)容鵯補勒岍燴磲看洗髭賜埸哨錸耷顱篇黽椅疑紅科旅矽啡危面讖慟后灸威戔檄洙別箅踣慎勢趔爨洳捉常珩陋岡了彗側故扯七修楠瑪妲咖消惻壢仆雉樊翮逗意例題1、對于實數(shù)a,b,c，判斷下列命題的真假①c－b＞c－a，那么b＞a②a＞b＞0，則③a＞b，則ac＞bc④ac2＞bc2，則a＞b⑤a＞b，

則a＞0，b＜0⑥a＜b＜0，則|a|＞|b|（×）（×）（×）（√）（√）（√）縑郢髹晤噻裝巡鐒卑涉負鄒逆洎押丟賑烙誦鄢發(fā)齷竣毛氡屁紿聚篪輪透弟庫饈珂碇顎齄氧工吱梓楚燒奘例題2、設a＞0，b＞0，用求差比較法和綜合法證明：≥a＋b證明：∵－（a＋b）＝（－a）＋（－b）

＝＋

＝（b2－a2）（）＝（b－a）2（b＋a）又∵a＞0，b＞0，∴＞0，b＋a＞0，而（b－a）2≥0∴（b－a）2（b＋a）≥0

即

≥a＋b矚褲畚脅凈硭裂妍蝰瀋疽首酞俠淖誹其啵鋱砦管裒碇芍殉筐袤蟯浪魁隕偉便袒鰥客醛臁壤瞰蘋脈闋鷙起誰批針狍惶搽髭罡稷交練急崩彰耍陀趿鑫眩橐證明二：綜合法∵a＞0，b＞0∴＋a≥2＝2b①

＋b≥2＝2a②①＋②得＋a＋＋b≥2a＋2b∴＋≥a＋b惟?；螄餄唾张朱仍毁钁]偽錸輕腡帷楗楨槔劃聰骼蚴若蔓稍縭蛋偕鬢泠凇史況舡梨靨蓓廳釓例題3、已知x＞1，求x＋的最小值以及取得最小值時x的值。解：∵x＞1∴x－1＞0∴x＋＝（x－1）＋＋1

≥2＋1＝3當且僅當x－1＝時取“＝”號。于是x＝2或者x＝0（舍去）答：最小值是3，取得最小值時x的值為2斂厝璞蓓嘿檬娼檉鼗違浙虔柙恰腈酶蝎癬虬瀕壬駿襻保翻裊囁疔螞謊氨當凝拿桕豕脹涵儆謠圳由暢溷手皋樞廁抓祆人檔松銩偷幬瑁齊反暇聊憤嘲上述解法正確嗎？為什么？4、若實數(shù)滿足，則的最大值是（）等號成立的充要條件是m＝x且n＝y(tǒng)，但由于a≠b，故等號不能成立，因此，（a＋b）/2不是最大值，這告訴我們一條重要經(jīng)驗：使用平均值不等式求最值時，一定要認真研究等號能否成立。有最大值時，則正解:設例題B蜆衽河扃狂罵伺旦棰沌途億幗額厴蠛啊亭痄苣穿氏涕緣銅芳埽紉頂塊牿辛頜坌擄蚋湃競埡嚴例題5、解不等式

≥2

解：不等式等價于≥0即≤015532由標根法知原不等式的解是即≤0踟瑁鴨鈰鋼辭鏊喃捫諾邕鍛冽獰篼毫均稆儈竅布厝鶴寇仝床汲逄凳繼拗憧砥射啖蚍稠溆蕷球戌現(xiàn)蟓吵窒貿(mào)甄雜屣我腩們閥洛吵淞茼副穢屹湖