2018版高中數(shù)學第二章數(shù)列25等比數(shù)列前n項和二學案新人教A版

2.5等比數(shù)列的前n項和（二）[學習目標]1.嫻熟應用等比數(shù)列前n項和公式的相關性質(zhì)解題.2.應用方程的思想解決與等比數(shù)列前n項和相關的問題．知識點一等比數(shù)列前n項和的變式1．等比數(shù)列nnna1（1－qn）a1（qn－1）a1－anq{a}的前n項和為S，當公比q≠1時，S＝1－q＝q－1＝1－q＝1na1q－1－q－1；當q＝1時，Sn＝na1．a(chǎn)1（1－n）1nqa2．當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝1－q，它能夠變形為Sn＝－1－q·qaan11＋1－q，設A＝1－q，上式可寫成Sn＝－Aq＋A．因而可知，特別數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由對于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和組成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．當公比q＝1時，因為a≠0，因此S＝na是n的正比率函數(shù)(常數(shù)項為0的一次函數(shù))．1n1思慮在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))且前n項和Sn＝3n－1＋k，則實數(shù)k等于________．答案1－3分析由題{an}是等比數(shù)列，∴3n的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)，n而3的系數(shù)為

13，1∴k＝－3.知識點二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1．連續(xù)m項的和(如S，S－S，S－S)仍組成等比數(shù)列．(注意：q≠－1或m為奇數(shù))m2mm3m2m2mnmmnn}的公比)．．S＋＝S＋qS(q為數(shù)列{a3．若{an}是項數(shù)為偶數(shù)、公比為q的等比數(shù)列，則S偶＝q．S奇思慮在等比數(shù)列{a}中，若a1＋2＝20，3＋4＝40，則6等于( )nA．140B．120C．210D．520答案A分析S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.題型一等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)例1(1)等比數(shù)列{an}中，S2＝7，S6＝91，則S4＝______．等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋＋a2n－1)－(a2＋a4＋＋a2n)＝80，則公比q＝____．答案(1)28(2)2分析(1)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也是等比數(shù)列，即7，S4－7，91－S4也是等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)＞0，∴S4＝28.(2)由題S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，偶∴q＝S奇＝2.反省與感悟解決相關等比數(shù)列前n項和的問題時，若能適合地使用等比數(shù)列前n項和的相關性質(zhì)，經(jīng)常能夠避繁就簡．不單能夠減少解題步驟，并且能夠使運算簡易，同時還能夠避免對公比q的議論．解題中掌握好等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的使用條件，并聯(lián)合題設條件找尋使用性質(zhì)的切入點，方可使“英豪”實用武之地．追蹤訓練1(1)設等比數(shù)列{n}的前n項和為n，若S6S9＝3，則等于( )aSSS367A．2B.38D．3C.3答案B分析方法一因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，因此S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是S6（1＋q3）S333＝＝3，即1＋q＝3，因此q＝2.SS33于是S91＋q3＋q61＋2＋47＝1＋q3＝＝.61＋23SS6方法二由S3＝3，得S6＝3S3.因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且由題意知q≠－1，因此S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，因此97(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3，因此S＝.6(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求通項公式．解設數(shù)列{a}的首項為1，公比為q，所有奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記為S奇、S偶，由題意n知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．偶1∵數(shù)列nq＝S＝.S奇233，即a1＝12.又a1·a1q·a1q＝64，∴a1·q＝64故所求通項公式為an＝12·1n－13.題型二等比數(shù)列前n項和的實質(zhì)應用例2小華準備購置一臺售價為5000元的電腦，采納分期付款方式，并在一年內(nèi)將款所有付清．商場提出的付款方式為：購置2個月后第1次付款，再過2個月后第2次付款，，購置12個月后第6次付款，每次付款金額同樣，商定月利率為0.8%，每個月利息按復利計算，求小華每期付款金額是多少．解方法一設小華每期付款x元，第k個月底付款后的欠款本利為Ak元，則：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，1212－(1.00810＋1.00882A＝5000×1.008＋＋1.008＋1)x＝0，5000×1.00812解得x＝1＋1.0082＋1.0084＋＋1.008105000×1.008121－（1.0082）6≈880.8.1－1.0082故小華每期付款金額約為880.8元．方法二設小華每期付款x元，到第k個月時已付款及利息為Ak元，則：A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋1.00824＋x＝x(1＋1.008)；A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年末付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋＋1.00810)，∴x＝5000×1.0081210≈880.8.241.0081＋1.008＋1.008＋＋故小華每期付款金額約為880.8元．反省與感悟分期付款問題是典型的求等比數(shù)列前n項和的應用題，此類題目的特色是：每期付款數(shù)同樣，且每時期距同樣．解決這種問題有兩種辦理方法，如此題中方法一是按欠款數(shù)計算，由最后欠款為0列出方程求解；而方法二是按付款數(shù)計算，由最后付清所有欠款列方程求解．追蹤訓練2從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資本進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅800萬元，此后每年投入將比上年減少1游家產(chǎn)．依據(jù)規(guī)劃，今年度投入5，今年度當?shù)芈眯惺杖牍烙嫗?00萬元，因為該項建設對旅行業(yè)的促使作用，估計此后的旅行業(yè)收入每年會比上1萬元，旅行業(yè)總收入為b萬元，寫出a，b4nnnn的表達式．11n－1解第1年投入800萬元，第2年投入800×1－5萬元，，第n年投入800×1－5萬元，n1因此總投入a＝800＋800×5＋＋800×1－1n－14n(萬元)．5＝4000×1－511n－1同理，第1年收入400萬元，第2年收入400×1＋1＋4萬元，，第n年收入400×4萬元．1因此總收入bn＝400＋400×1＋4＋＋400×1n－15n1＋4＝1600×4－1.綜上，a＝4000×1－4n5nn5n4題型三新情境問題例2{an}中，a13定義：若數(shù)列{An}知足An＋1＝An，則稱數(shù)列{An}為“平方數(shù)列”．已知數(shù)列＝2，點(n，n＋1)在函數(shù)f(x)＝22＋2的圖象上，此中n為正整數(shù)．a(chǎn)axx(1)證明：數(shù)列{2a＋1}是“平方數(shù)列”，且數(shù)列{lg(2a＋1)}為等比數(shù)列；nn設(1)中“平方數(shù)列”的前n項之積為Tn，則Tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)··(2an＋1)，求數(shù)列{an}的通項及Tn對于n的表達式；(3)對于(2)中的T，記b＝log2a＋1T，求數(shù)列的前n項和S，并求使S＞4024的nnnnnnnn的最小值．(1)證明由條件得an＋1＝22n，n＋2aa2an＋1＋1＝2＋4an＋1＝(2an＋1)2.4an∴數(shù)列{2an＋1}是“平方數(shù)列”．lg(2an＋1＋1)＝lg(2an＋1)2＝2lg(2an＋1)，且lg(2a1＋1)＝lg5≠0，lg（2an＋1＋1）lg（2an＋1）＝2，{lg(2an＋1)}是首項為lg5，公比為2的等比數(shù)列．(2)解∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴l(xiāng)g(2an＋1)＝2n－1lg5.n－11n－1∴2an＋1＝52，∴an＝(52－1)．∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋＋lg(2an＋1)lg5（1－2n）＝1－2(2n－1)lg5，∴Tn＝52n－1.(3)解lgn（2n－1）lg5lg（2a＋1）2lg5nnnTn－12n－11n－1＝2n－1＝2－2，∴S＝2n－1121n－1n222n1－2＝2n－11－2n2n－2＋22.1n由Sn＞4024，得2n－2＋22＞4024，n即n＋2＞2013.n當n≤2012時，n＋2＜2013；1n當n≥2013時，n＋2＞2013.∴n的最小值為2013.反省與感悟數(shù)列創(chuàng)新題的特色及解題重點特色：表達復雜，關系條件許多，難度較大．解題重點：讀清條件要求，理清關系，逐一剖析．追蹤訓練3記＝{1，2，，100}．對數(shù)列{n}(∈N*)和U的子集，若＝?，定義T＝UanTTS0；若T＝{t，t，，t}，定義S＝at1＋at＋＋at.比如：T＝{1，3，66}時，S＝a＋12kT2kT1a＋a.現(xiàn)設{a*3的等比數(shù)列，且當T＝{2，4}時，S＝30.366nT求數(shù)列{an}的通項公式；(2)對隨意正整數(shù)k(1≤k≤100)，若T?{1，2，，k}，求證：ST＜ak＋1；設C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC＋SC∩D≥2SD.解當T＝{2，4}時，ST＝a2＋a4＝a2＋9a2＝30，21a2n1n－1＝3n－1.∴a＝3，a＝3＝1，故a＝aq(2)證明對隨意正整數(shù)k(1≤k≤100)．因為T?{1，2，，k}，則ST≤a1＋a2＋a3＋＋ak＝1＋3＋32＋＋(3)證明設＝?C(∩)，＝?D(∩)，ACDBCD則A∩B＝?，SC＝SA＋SC∩D，S＝S＋S∩，S＋S∩－2S＝S－2，DBCDCCDDAB

k－13k－1k＝ak＋1.3＝2＜3SC＋SC∩D≥2SD等價于SA≥2SB.由條件SC≥SD可得SA≥SB.①若B＝?，則SB＝0，因此SA≥2SB建立，②若B≠?，由SA≥SB可知A≠?，設A中的最大元素為I，B中的最大元素為m，若m≥I＋1，則由(2)得SA＜SI＋1≤am≤SB，矛盾．又∵A∩B＝?，∴I≠m，∴I≥m＋1，∴SB≤a1＋a2＋＋am＝1＋2m－1am＋1aISA3＋3＋＋3＜2≤2≤2，即A＞2B建立．綜上所述，A≥2B.SSSS故SC＋SC∩D≥2SD建立．1．等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，則a2＋a4＋a6＋＋a2n等于( )n4n－1A．2－1B.31－（－4）n1－（－2）nC.D.35答案B3＝1，分析由a1a2a3＝1得a2＝1，∴a2a4又∵a4＝4，∴a2＝4.∴數(shù)列2，4，6，，a2n是首項為1，aaa公比為4的等比數(shù)列．nn∴a2＋a4＋a6＋＋a2n＝1－44－11－4＝3.2．某住所小區(qū)計劃植樹許多于100棵，若第一天植2棵，此后每日植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于( )A．3B．4C．5D．6答案D分析設每日植樹棵數(shù)為{an}，則{an}是等比數(shù)列，an＝2n(n∈N*，n為天數(shù))．由題意得2＋22＋23＋＋2n≥100，2n－1≥50，∴2n≥51，∴n≥6.∴需要的最少天數(shù)

n＝6.3．等比數(shù)列

{an}的前

m項和為

4，前

2m項和為

12，則它的前

3m項和是

(

)A．28B．48C．36D．52答案

A分析

易知

Sm＝4，S2m－Sm＝8，S3m－S2m＝16，S3m＝12＋16＝28.4．已知數(shù)列{a}是等比數(shù)列，S是其前n項的和，1，7，4成等差數(shù)列．求證：23，6，nnS－S成等比數(shù)列．126證明設等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意得2a7＝a1＋a4，即2a1·q6＝a1＋a1·q3，∴2q6－q3－1＝0.令q3＝t，則2t2－t－1＝0，1∴t＝－2或t＝1，313＝1.即q＝－或q2當q3＝1時，2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1，2∴S6＝2S3·(S12－S6)，∴2S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．321×3311a23a1當q＝＝，＝－時，23＝2×2S1－q1－q1－q63a11）4S6＝a（1－q1－q＝1－q，a13761664×4，12－6＝a（1－q）＝a·q（1－q）＝SS1－q1－q1－q2∴S6＝2S3·(S12－S6)，∴2S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．綜上可知，2S3，S6，S12