高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明221綜合法與分析法同步學(xué)案新人教B版選修12

綜合法與剖析法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解綜合法、剖析法的意義，掌握綜合法、剖析法的思想特色.2.會用綜合法、剖析法解決問題．知識點一直接證明直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，依據(jù)已知的定義、公義、定理，直接推證結(jié)論的真切性．常用的直接證明方法有綜合法與剖析法．知識點二綜合法閱讀以下證明過程，已知實數(shù)x，y知足x＋y＝1，求證：xy2＋2≥22.xyxyx＋y1證明：因為x＋y＝1，所以2＋2≥22·2＝22＝22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時，等號成立．故2x＋2y≥22建立．思慮該題的證明次序是什么？答案從已知利用基本不等式到待證結(jié)論．梳理綜合法定義：綜合法是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐漸的推理，最后達到待證結(jié)論．邏輯關(guān)系：P0(已知)?P1?P2??Pn?Q(結(jié)論)．特色：從“已知”看“可知”，逐漸推向“未知”，其逐漸推理，其實是找尋它的必需條件．知識點三剖析法思慮閱讀證明基本不等式的過程，試剖析證明過程有何特色？a＋b已知a，b>0，求證2≥ab.a＋b證明：要證≥ab，2只需證a＋b≥2ab，只需證a＋b－2ab≥0，1只需證(a－b)2≥0，因為(a－b)2≥0明顯建立，所以原不等式建立．答案從結(jié)論出發(fā)開始證明，找尋使證明結(jié)論建立的充分條件．梳理剖析法定義：剖析法是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步追求結(jié)論建立的充分條件，最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實．邏輯關(guān)系：B(結(jié)論)?B1?B2??Bn?A(已知)．特色：從“未知”看“需知”，逐漸聚攏“已知”，其逐漸推理，其實是要找尋它的充分條件．證明格式：要證×××，只需證×××，只需證×××，，因為×××建立，所以×××建立．1．綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法．(×)2．剖析法就是從結(jié)論推向已知．(×)3．剖析法與綜合法證明同一問題時，一般思路恰巧相反，過程相逆．(√)種類一綜合法的應(yīng)用例1在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．π證明在△ABC中，A＋B＋C＝π，由A，B，C成等差數(shù)列，得2B＝A＋C，所以，B＝3，由a，b，c成等比數(shù)列，得b2＝ac.又∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，所以a＝c.故△ABC是等邊三角形．反省與感悟用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐漸推向結(jié)論．其合用范圍為定義明確的問題，如證明函數(shù)的單一性、奇偶性等．(2)已知條件明確，而且簡單經(jīng)過剖析和應(yīng)用各樣條件逐漸迫近結(jié)論的題型．在使用綜合法證2明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達雜亂．追蹤訓(xùn)練1已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)．求證：b＋c－ac＋a－b＋a＋b－c>3.a＋bc證明因為b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－cabcbacbac＝a＋b＋b＋c＋c＋a－3，又a，b，c為不全相等的正實數(shù)，bacbac而a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，且上述三式等號不可以同時建立，bacbac所以a＋b＋b＋c＋c＋a－3>6－3＝3，b＋－ac＋－ba＋－c即a＋b＋c>3.種類二剖析法的應(yīng)用222例2設(shè)a，b為實數(shù)，求證：a＋b≥2(a＋b)．證明當(dāng)a＋b≤0時，因為a2＋b2≥0，222所以a＋b≥(a＋b)建立．當(dāng)a＋b>0時，用剖析法證明以下：222要證a＋b≥2(a＋b)，只需證(a＋b)≥22a＋b，222222122即證a＋b≥2(a＋b＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.因為a2＋b2≥2ab對一確實數(shù)恒建立，222所以a＋b≥2(a＋b)．綜上，對隨意實數(shù)，，2＋22＋)．b≥(aaba2b反省與感悟(1)當(dāng)已知條件簡單而證明的結(jié)論比較復(fù)雜時，一般采納剖析法，在表達過程中“要證”“只需證”“即證”這些詞語必不行少，不然會出現(xiàn)錯誤．(2)逆向思慮是用剖析法證題的主題思想，經(jīng)過反推，逐漸找尋使結(jié)論建立的充分條件，正確掌握轉(zhuǎn)變方向，使問題順利獲解．3追蹤訓(xùn)練2求證：a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．證明要證a－a－1<a－2－a－3，只需證a＋a－3<a－2＋a－1，只需證(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，只需證2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，22只需證a－3a<a－3a＋2，所以a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．種類三綜合法與剖析法的綜合應(yīng)用例3已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxa＋bb＋ca＋c＋logx2＋logx<logxa＋logxb＋logxc.22證明要證logxa＋b＋logxb＋c＋logxa＋c<logx＋logx＋logx，222abc只需證loga＋bb＋ca＋c<logx(abc)．x2··22a＋bb＋ca＋c由已知0<x<1，只需證2·2·2>abc.＋bb＋ca＋c由公式知2≥ab>0，2≥bc>0，2≥ac>0.因為a，b，c不全相等，上邊三式相乘，得a＋bb＋c＋c2222·2·2>abc＝abc，a＋bb＋ca＋cabc建立．即2·2·>2所以logxa＋b＋logxb＋c＋logxa＋c<logxa＋logxb＋logxc建立．222引申研究若本例條件不變，改為求證：a＋b≥12＋1)＋12＋1)(a＋b>0)．log1(2log1(2log1()222要證log1(a＋b)≥1log1212＋1)證明2(a＋1)＋log1(b建立，2222只需證2log1(a＋b)≥log122(a＋1)＋log1(b＋1)，222只需證log1(a＋b)2≥log1(a2＋1)(b2＋1)(a＋b>0)．224因為函數(shù)y＝log1x在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，2所以只需證(a＋b)2≤(a2＋1)(b2＋1)，即證a2＋2ab＋b2≤a2b2＋a2＋b2＋1，即證a2b2－2ab＋1≥0，即證(ab－1)2≥0，上式明顯建立，所以原不等式建立．反省與感悟綜合法和剖析法各有優(yōu)弊端，從追求解題思路來看，綜合法由因?qū)Ч饰龇▓?zhí)果索因．就表達證明過程而論，綜合法形式簡短，條理清楚；剖析法表達煩雜，文辭冗長．也就是說剖析法宜于思慮，綜合法宜于表述．所以，在實質(zhì)解題時，經(jīng)常把剖析法和綜合法結(jié)合起來使用，先利用剖析法追求解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程．追蹤訓(xùn)練3設(shè)實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，c求證：x＋y＝2.證明由已知條件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②ac要證x＋y＝2，只需證ay＋cx＝2xy，只需證2ay＋2cx＝4xy.由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命題得證.1．若a>b>0，則以下不等式中不正確的選項是()A．a(chǎn)2>abB．a(chǎn)b>b21122C.>D．a(chǎn)>bab答案C分析若>11>0，則<.abab52．要證2－3<6－7建立，只需證()A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2考點剖析法及應(yīng)用題點找尋結(jié)論建立的充分條件答案C分析依據(jù)不等式性質(zhì)，當(dāng)a>b>0時，才有a2>b2，只需證2＋7<6＋3，即證(2＋7)2<(3＋6)2.13．設(shè)0<x<1，則a＝2x，b＝x＋1，c＝1－x中最大的是()A．cB．bC．a(chǎn)D．隨x取值不一樣而不一樣答案A分析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，11－1－x2x2∵1－x－(x＋1)＝1－x＝1－x>0，∴c>b>a.4．要證明3＋7<25，可選擇的方法有好多，最合理的應(yīng)為________．答案剖析法1－tanα5．已知2＋tanα＝1，求證：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．證明要證cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，cosα－sinα1－tanα只需證cosα＋sinα＝3，只需證1＋tanα＝3，1只需證1－tanα＝3(1＋tanα)，只需證tanα＝－2，1－tanα＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.2＋tanα1tanα＝－明顯建立，∴結(jié)論得證．261．綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?；剖析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因．2．剖析法證題時，必定要適合地運用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語．3．在解題時，常常把綜合法和剖析法聯(lián)合起來使用.一、選擇題1．若實數(shù)x，y知足不等式xy>1，x＋y≥0，則( )A．x>0，y>0B．x<0，y<0C．x>0，y<0D．x<0，y>0答案A分析x＋y≥0，x>0，xy>1?y>0.2．在非等邊三角形ABC中，A為鈍角，則三邊a，b，c知足的條件是( )A．b2＋c2≥a2B．b2＋c2>a22＋c22222C．b≤aD．b＋c<a答案D分析由余弦定理的推論，得b2＋c2－a2cosA＝，2bcA為鈍角，∴cosA<0，則b2＋c2<a2.3．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證明( )A．2－1－22≤0ababB．a(chǎn)2＋b2－1－4＋4ab≤02a＋b222C.－1－ab≤02D．(a2－1)(b2－1)≥0考點剖析法及應(yīng)用題點利用剖析法解決不等式問題答案D分析a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.74．設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有()a2＋b2a2＋b2A．1≤ab≤2B．a(chǎn)b<1<2C．a(chǎn)2＋b2D.a2＋b2<1<<1<22答案B分析因為a≠，所以(＋2＝a2b2，a2＋b2a2＋b2a2＋b2a2＋b2)＋＋2>4<1.又＝＋>＋babababab24442aba＋b24＝4＝1，故B正確．5．剖析法又叫執(zhí)果索因法，若使用剖析法證明：設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：b2－ac<3a索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案C分析要證b2－ac<3a，只需證b2－ac<3a2，只需證b2－ac－3a2<0.∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，∴只需證(a＋c)2－ac－3a2<0，即(a－c)(2a＋c)>0，即證(a－c)(a－b)>0.6．若A，B為△ABC的內(nèi)角，則A>B是sinA>sinB的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件答案C分析由正弦定理知a＝b＝2(為△的外接圓半徑)，又，為三角形的內(nèi)角，sinAsinBRRABCABsinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.7．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)單一遞減．若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒為負B．恒等于零C．恒為正D．沒法確立正負考點綜合法及應(yīng)用8題點利用綜合法解決函數(shù)問題答案A分析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單一遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.二、填空題8．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程為“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx求導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＝－lnx>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決函數(shù)問題答案綜合法9．設(shè)a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，則a，b，c的大小次序是________．答案a>b>c1，b＝11分析∵a＝，c＝，∴a>b>c.3＋26＋57＋6以下圖，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F.求證：AF⊥SC.證明：要證AF⊥SC，只需證SC⊥平面AEF，只需證AE⊥SC(因為____________)，只需證____________，只需證AE⊥BC(因為____________)，只需證BC⊥平面SAB，只需證BC⊥SA(因為______________)．由SA⊥平面ABC可知，上式建立．答案EF⊥SCAE⊥平面SBCAE⊥SBAB⊥BC分析要證線線垂直，可先證線面垂直，要證線面垂直，還需線線垂直，經(jīng)過證明BC⊥平面9SAB，可得AE⊥BC，從而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，問題得證．111．設(shè)a>0，b>0，則下邊兩式的大小關(guān)系為ln(1＋ab)________2[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案≤分析∵(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝2ab－(a＋b)≤0，(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，則lg(1＋ab)2≤lg(1＋a)(1＋b)，1即lg(1＋ab)≤2[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．三、解答題ab12．假如a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：＋>a＋b.ba證明方法一(綜合法)a＋b－a－＝aa＋bb－ab－bababab＝a－ba－b＝a－b2a＋b>0，abab故ab>a＋b.＋ab方法二(剖析法)ab要證＋>a＋b，baa2b2只需證b＋a＋2ab>a＋b＋2ab，3322即證a＋b>ab＋ab，只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，即需證a2－ab＋b2>ab，只需證(a－b)2>0，因為a≠b，所以(a－b)2>0恒建立，ab所以＋>a＋b建立．ba2C2A313．在△ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列，求證：acos2＋ccos2≥2b.證明∵左側(cè)＝a1＋cosCc1＋cosA2＋2＝1(a＋)＋1(cos＋cos)2c2aCcA1011a2＋b2－c2b2＋c2－a2＝2(a＋c)＋a·2＋c·22ab