2020高考人教數(shù)學(xué)(理)大一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)第三章第五節(jié)正弦定理和余弦定理Word版含解析

限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練·夯基練·提能練)A級(jí)基礎(chǔ)夯實(shí)練1．(2018·廣東廣州調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別3為a，b，c，已知b＝7，c＝4，cosB＝4，則△ABC的面積為( )A．37B．3279C．9D．2分析：選B.由余弦定理b2＝c2＋a2－2accosB，得7＝16＋a2－37，∴S114422△7374×3×4＝2.應(yīng)選B.2．(2018·河南三市聯(lián)考)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sinA∶sinB＝1∶3，c＝2cosC＝3，則△ABC的周長為( )A．3＋33B．23C．3＋23D．3＋3分析：選C.由于sinA∶sinB＝1∶3，因此b＝3a，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c2a2＋（3a）2－c232ab＝2a×3a＝2，又c＝3，因此a＝3，b＝3，因此△ABC的周長為3＋23，應(yīng)選C.3．(2018·成都外國語學(xué)校二模)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是( )A.，ππ，π066ππC.0，3D．3，π分析：選C.由正弦定理及sin2≤2＋2－可得AsinBsinCsinBsinCa2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a2bc1π2bc≥2bc＝2，又0＜A＜π，因此0＜A≤3.故A的取值范圍π是0，3.應(yīng)選C.4．(2017·山東卷)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且知足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則以下等式建立的是( )A．a(chǎn)＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A分析：選A.由于A＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosCcosAsinC，因此sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsin又cosC≠0，因此2sinB＝sinA，因此2b＝a，應(yīng)選A.5．(2018·東北三校聯(lián)考)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分c－bsinA別為a，b，c，且c－a＝sinC＋sinB，則B等于()ππA.6B．4π3πC.3D．4分析：選C.依據(jù)正弦定理a＝b＝c＝2R，sinAsinBsinCc－bsinAa得c－a＝sinC＋sinB＝c＋b，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝a2＋c2－b2＝1，又0＜B＜π，2ac2π因此B＝3，應(yīng)選C.．·長沙模擬在△ABC中，＝π，b2＝，6(2018)A4sinC42sinB則△ABC的面積為________．分析：由于b2＝，因此2＝，即＝2，sinC42sinBbc42bbc4112故S△ABC＝2bcsinA＝2×42×2＝2.答案：27．(2018·山西大同聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2(bcosA＋acosB)＝c2，b＝3，3cosA＝1，則a的值為________．分析：由正弦定理可得2(sinBcosA＋sinAcosB)＝csinC，2(sinBcosA＋sinAcosB)＝2sin(A＋B)＝2sinC，∴2sinC＝csinC，∵sinC＞0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴a＝3.答案：38．(2018·遼寧沈陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分2π153別為a，b，c，已知c＝5，B＝3，△ABC的面積為4，則cos2A________．分析：由三角形的面積公式，得S△ABC＝1acsinB＝1×a×5×222π13×5a＝153，解得a＝3.sin3＝2×24由b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×－12＝49，得b＝由a＝b?sinA＝a＝32π＝33，∴cos2A＝1－7.sinAsinBbsinB7sin3142332712sinA＝1－2×14＝98.答案：71989．(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，a2c.已知△ABC的面積為3sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．解：(1)由題設(shè)得1＝a2，即1＝a2acsinB3sinA2csinB3sinA.1sinA由正弦定理得2sinCsinB＝3sinA.2故sinBsinC＝3.1(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－2，1即cos(B＋C)＝－2.2ππ因此B＋C＝3，故A＝3.由題設(shè)得1＝a2，a＝3，即bc＝8.2bcsinA3sinA由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周長為3＋33.10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且cosAacosBsinC＋b＝c.(1)證明：sinAsinB＝sinC.(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB．解：(1)證明：由正弦定理sinaA＝sinbB＝sincC，可知原式能夠化cosAcosBsinC簡為sinA＋sinB＝sinC＝1，由于A和B為三角形的內(nèi)角，因此sinAsinB≠0，則兩邊同時(shí)乘以sinAsinB，可得sinBcosA＋sinAcosB＝sinAsinB，由和角公式可知，sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，∴sinC＝sinAsinB，故原式得證．2226(2)由b＋c－a＝5bc，依據(jù)余弦定理可知，b2＋c2－a23cosA＝2bc＝5.32由于A為三角形內(nèi)角，A∈(0，π)，sinA＞0，則sinA＝1－5＝4，即cosA＝3，由(1)可知cosA＋cosB＝sinC＝1，因此cosB＝5sinA4sinAsinBsinCsinB1＝1－cosA＝1－3＝1，因此tanB＝4.tanBsinA44B級(jí)能力提高練．在△中，＝π，BC邊上的高等于1，則＝11ABCB43BCcosA( )31010A.10B．1010310C．－10D．－10分析：選C.如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，由題意知AD＝BD＝1，則＝2，＝2，＝5，在△中，3BCCD3BCAB3BCAC3BCABCAB2＋AC2－BC2由余弦定理的推論可知，cos∠BAC＝2AB·AC＝225229BC＋9BC－BC1025＝－10，應(yīng)選C.2×3BC×3BC12．(2018·六安模擬)在△ABC中，角A，B，的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＋sinA－2＝0，則a＋b＋c的值是( )cosBsinBA．1B．2C.3D．22分析：選B.由于cosA＋sinA－cosB＋sinB＝0，因此(cosA＋sinA)(cosB＋sinB)＝2，因此cosAcosB＋sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＝2，即cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，因此cos(A－B)＝1，πsin(A＋B)＝1，又A，B分別為三角形的內(nèi)角，因此A＝B，A＋B＝2，22πa＋b2c＋2c因此a＝b，C＝2，因此c＝c＝2，應(yīng)選B.13．(2017·浙江卷)已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延伸線上一點(diǎn)，BD＝2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．分析：由余弦定理得cos∠ABC＝42＋22－42＝1，2××244∴cos∠CBD＝－1，sin∠CBD＝15，44∴S△BDC＝1··∠CBD＝1×2×2×15＝152BDBCsin242.1又∠＝∠＝2∠－＝，cosABCcos2BDC2cosBDC14π0＜∠BDC＜2，10∴cos∠BDC＝4.10答案：2；414．在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，2且4sinAcosA－3cos(B＋C)＝sin3A＋3.(1)求A的大??；(2)若b＝2，求△ABC面積的取值范圍．解：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cosA①，3A＝2A＋A，sin3A＝sin(2A＋A)＝sin2AcosA＋cos2AsinA②，又sin2A＝2sinAcosA③，將①②③代入已知，得2sin2AcosA＋3cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋3，整理得sinA＋3cosA＝3，即sin＋π＝3，A32ππ＝2π，即A＝π.又A∈0，2，∴A＋333(2)由(1)得＋＝2π，∴C＝2π－B，BC33∵△ABC為銳角三角形，∴2ππ且3－B∈0，2B∈π，，02解得B∈ππ6，2，在△ABC中，由正弦定理得2＝c，sinBsinC2π∴c＝2sinC＝2sin3－B＝3＋1，sinBsinBtanB又B∈π，π，∴1∈(0，3)，∴c∈(1，4)，62tanB133∵S△ABC＝2bcsinA＝2c，∴S△ABC∈2，23.15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tantanAtanBA＋tanB)＝cosB＋cosA.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．解：(1)由題意知sinAsinBsinAsinB2cosA＋cosB＝cosAcosB＋cosAcosB，化簡得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB．由于A＋B＋C＝π，因此sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.進(jìn)而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝2c.(2)由(1)知c＝a＋b2，222a2＋b2－a＋b2因此cosC＝a＋b－c＝22ab2ab3ab11＝8b＋a－4≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)建立．1故cosC的最小值為2.C級(jí)修養(yǎng)增強(qiáng)練16．(2018·湖北八校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.2(1)若23cosA＋cos2A＝0，且△ABC為銳角三角形，a＝7，c＝6，求b的值；(2)若＝，＝π，求b＋c的取值范圍．a(chǎn)3A32＋＝2＋2－＝，解：(1)∵23cosAcos2A23cosA2cosA101∴cos2A＝25，1又A為銳角，∴cosA＝5，而a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2－125b－13＝0，解得b＝5(負(fù)值舍去)