與過定點(diǎn)的直線相關(guān)的最值-2023年高考數(shù)學(xué)核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

專題41與過定點(diǎn)的直線相關(guān)的最值

【方法點(diǎn)撥】

1.選擇直線方程的適當(dāng)形式，若設(shè)為截距式，實(shí)質(zhì)是引入了雙元；若設(shè)為斜截式，則是引

入了單元.無論那種形式，都有注意參數(shù)的范圍.

2.當(dāng)求線段被定點(diǎn)分成兩條線段之積的最值時(shí)，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解較簡(jiǎn)

單，也可引入角為變量，建立關(guān)于角的目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解.

【典型題示例】

例1已知直線/過定點(diǎn)P（-2,l）,且交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)3,點(diǎn)。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則\OA\+\OB\取得最小值時(shí)直線/的方程為.

【答案】x-2y+4=0

【解析一】設(shè)直線/的方程為2+2=1（其中。<0/>0）

ab

21

???直線/過點(diǎn)尸???一一+-=1

ab

???|OA|+|O5|=〃—a,

：.\OA\+\OB\=b-a=（b-a]\--+-\=3+—+—>3+2^2,

\ab）b-a

當(dāng)且僅當(dāng)a=_0_2，6=1+短時(shí)取等號(hào)，所以直線/的方程為x-近y+2+0=O.

【解析二】設(shè)直線/的方程為丁一1=々*+2）（其中k>0）

令X=0,y=2k+1；令y=0,x=---2

k

II+IOB1=\2k+1|+_；_2=2Z+J+323+2夜，

.?.當(dāng)且僅當(dāng)2Z=L,即k=立時(shí)取等號(hào)，所以直線/的方程為x—拒y+2+J5=0.

k2

例2已知直線/過定點(diǎn)。（-2,1）,且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交了軸正半軸于點(diǎn)3,則

|PA|-\PB\取得最小值時(shí)直線/的方程為.

【答案】x-y+3=O

【解析】（截距式+向量+基本不等式中的“1”的代換）

設(shè)直線/的方程為二+上=1（其中。<0乃>0）

ab

2|

???直線/過點(diǎn)P（—2,l）,--+-=1,

ab

VA-P，B三點(diǎn)共線，

：.\PA\\PB\=APPB=（-^2-a,1）-（2,b-l）=-2a+b-5

/ci\（21^12b2a..2b2a、人

——（—2.ci+Z?）-----1—|-5=-----------F4+1—5c=------------>4,

yabJabab

當(dāng)且僅當(dāng)。=-3，b=3時(shí)取等號(hào)，所以直線/的方程為x-y+3=0.

【解析二】（斜截式+向量+基本不等式）

設(shè)直線/的方程為y-l=-x+2）（其中左>0）

令x=0,y=2k+i；令y=0,x=---2

k

.,.西而=（2,2&）

VA.P，8三點(diǎn)共線，

：.\PA\-\PB\=-PA-PB=-^-^-,-\^\2,2k）=^+2k>4,

2

當(dāng)且僅當(dāng)7=2&,即2=1時(shí)取等號(hào)，所以直線/的方程為x-y+3=0.

k

【解析三】（作垂線，利用直角三角形邊角關(guān)系，三角函數(shù)有界性）

過點(diǎn)P分別向X軸、y軸作垂線，設(shè)NB4O=a（其中0<a〈生）

2

1O

則尸A二——,\PB\=------

sinacosa

7A

...仍曰尸目=-----=>4

sinacosasin2a

兀

當(dāng)且僅當(dāng)sin2c=l,即a=一時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的斜率為1

4

.?.直線/的方程為x-y+3=0.

例3已知直線/過點(diǎn)M（2』），且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),。為

原點(diǎn)，當(dāng)AAOB面積最小時(shí)，則直線/的方程是.

【答案】x+2>—4=0

【解析一)設(shè)直線/的方程為y—1=A(x—2)(其中2V0)

則可得A.)J,0),8(0,1—2r).

'??5008=/1。川一|08|=；.”廠"1-2電=如一/-4。巳4+2^(一0-軟)=4

當(dāng)且僅當(dāng)一(=—4k,即上=-g時(shí)，4408面積有最小值為4,

此時(shí)，直線/的方程為y—1=一；(x—2),即x+2y—4=0.

【解析二】設(shè)所求直線/的方程為?1(。>0,心0)，則

n

又.)2+廬12y7n呼1應(yīng)％

2111

當(dāng)且僅當(dāng)￡=g=g,即〃=4,方=2時(shí)，A4O3面積S=i仍有最小值為4.

此時(shí)，直線/的方程是今+1=1,即x+2y—4=0.

【解析三】過點(diǎn)尸分別向X軸、V軸作垂線，垂足分別是C、D

7T

設(shè)NE4O=a(其中0<a<2)

2

則|PC|=w9，|叫=2tana

/.SA()/,=SPRD+S+2=——-——+2tana+2>2J——2tana+2=4

“os,PHDVAC2tanaY2tana

當(dāng)且僅當(dāng)一1一=2tana,即tana='時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的斜率為

2tana22

...直線/的方程是x+2y-4=0.

例4已知直線/:y=Z(x-2)+3,且/與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)、.若使AAO8的

面積為機(jī)的直線/共有四條，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】m>12

【分析】由于宜線/：y=A(x-2)+3過定點(diǎn)(2,3),故直線/與第二、四象限圍成的AAOB

的面積可以取任意實(shí)數(shù)，換言之，當(dāng)“給定一正實(shí)數(shù)時(shí)，直線/與第二、四圍成的面積為

m的直線有且僅有兩條，故只需考慮/與第一象限圍成的AAO3的面積為m的直線有兩條

即可，由于/與第一象限圍成的AAO3的面積有最小值，根據(jù)對(duì)稱性，大于該最小值的直

線有兩條，故問題轉(zhuǎn)化為求/與第一象限圍成的AAO8的面積的最小值.

【解析一】??,直線y=A(x-2)+3與x軸，y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2-J0),以0,3-2外.

k

S=-x|2--|x|3-2)l|=lx(-2/-3)--

"2k2|%|

業(yè)，。14*-12k+91“，9…

l4>0H'J,S——x-----------=—x(4&H----12),

△2k2k

QI--------4

,.?4發(fā)+己..2/^=12,當(dāng)口.僅當(dāng)A:=三時(shí)取等號(hào).

k2

.?.當(dāng)S,=機(jī)＞0時(shí)，在&＞0時(shí)，氏有兩值；

*，CHC1(2Z-3)214/-12k+91,9、…

當(dāng)左＜0時(shí)，S=—x-------=-x------------=—x[r(z-44Z+——)+12,

△2|左|2-k2-k

?/^+—..2V4^9=12.當(dāng)且僅當(dāng)欠=—9時(shí)取等號(hào).

-k2

當(dāng)加=0時(shí),僅有一條直線使AAOB的面積為=；

當(dāng)0＜根＜12時(shí)，僅有兩條直線使A4O3的面積為加；

當(dāng)機(jī)=12時(shí)，僅有一:條直線使AAO8的面積為〃?；

當(dāng)相＞12時(shí)，僅有四條直線使AAOB的面積為〃？.

故答案是：加＞12.

【解析二】直線/:y=Z(x-2)+3過定點(diǎn)(2.3),

先求直線/與第一象限圍成的AA08的面積的最小值，則所求，〃大于該最小值時(shí)，滿足題

后、

VA(2--,0),8(0,3-2Q(k＞0)

k

i3i(24-3)2iaiIg

??.S.=-x|2一一|x|3—2上|=-x-^----^=_x(4攵+—一⑵…—x(2j4h3—12)=12

2k2|左|2k2VA

當(dāng)且僅當(dāng)妹=2,即左=3時(shí)取等號(hào)

k2

當(dāng)相＞12時(shí)，僅有四條直線使AAO8的面積為機(jī).

故答案是：〃?＞12.

【鞏固訓(xùn)練】

I.直線+--m+=0(m,nGR且以〃不同時(shí)為0)經(jīng)過定點(diǎn)

2.過點(diǎn)P(—2,3)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12的直線共有條.

3.已知直線/過點(diǎn)M(2』)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),

則當(dāng)|宓卜|標(biāo)I取得最小值時(shí)，直線/的方程為.

4.已知直線/：kx-y+1+2k=0（ZCR）,若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,/XAOB

的面積為S（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則S取得最小值時(shí)直線/的方程是.

5.一直線過點(diǎn)A（2,2）且與x軸、y軸的正半軸分別相交于3、C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).則

1031+1OC|-18cl的最大值為.

6.已知直線（2〃?+l）x+（l—m）y—3（l+m）=0,me與兩坐標(biāo)軸分別交于A、8兩

點(diǎn).當(dāng)AQ48的面積取最小值時(shí)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則加的值為

A.-B.--C.--D.-

3355

7.（多選題）已知直線/i：av—y+l=0>/2：x+ay+l=0,“WR,以下結(jié)論正確的是（）

A.不論。為何值時(shí)，人與/2都互相垂直

B.當(dāng)a變化時(shí)，/i與/2分別經(jīng)過定點(diǎn)40,1）和8（-10）

C.不論。為何值時(shí)，八與/2都關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

D.如果/i與/2交于點(diǎn)M，則|MO|的最大值是血

【答案或提示】

1.【答案】（一1,1）

【解析】直線過定點(diǎn)，則意味著定點(diǎn)坐標(biāo)使得參數(shù)“失去作用”一一即無論參數(shù)取何值，不

會(huì)影響表達(dá)式的值，能夠達(dá)到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線進(jìn)行

變形，將含根的項(xiàng)與含〃的項(xiàng)分別歸為一組，可得：根（x+2y—+—y+2）=0,

x+2y-l=0x=-\

若要讓以““失去作用”，則《、八，解得＜即定點(diǎn)為（一1,1）.

%一y+2=03=1

2.【分析一】宜接設(shè)點(diǎn)斜式或截距式求出.

【解析一】設(shè)過點(diǎn)P(—2,3)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12的直線的斜率為鼠則有

直線的方程為y—3=A(x+2),即依一y+2k+3=0,它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M(0,2&+3)、

2—彥，0).再由12=ToM.ON=；|2%+3|X|—2一%,可得|4k+/12|=24,即4/+.+

12=24,或以+1+12=-24.解得仁|或仁二守住或—二^^但，故滿足條件的直

線有3條.

【分析二】求出與x軸負(fù)方向、)，軸正方向所圍成三角形面積的最小值，若大于12,滿足條

件的直線有二條；若小于12,滿足條件的直線有四條；若大于12,滿足條件的直線有三條.

3.【答案】尤+y-3=0

【解析】設(shè)A(a,0),8(0,b),則AO,b>0,

直線/的方程為計(jì)/1,所以計(jì)1=1.

\MA\-\MB\=-MA-MB=-(a-2,一1>(-2,b~\)=2(a-2)+b-1=2a+b~5

=(2/竭+。-5=§+與*

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線/的方程為x+)，一3=0.

4.【答案】x-2y+4=0

【解析】由題意可知ZH0,再由/的方程，得人(一匕空，0)，僅0,1+2%).

1+2*

~<0,

依題意得J卜解得Q0.

J+2fc>0,

S=^\OA\\OB\=^?-|1+2i|=T-^-^7^-=zf4/:+T+4")^-X(2X2+4)=:4,

乙ZKZKZ\KJZ.

“=”成立的條件是Q0且以=4，即k=J,

.??Smin=4,此時(shí)直線l的方程為X-2)，+4=0.

5.【答案】8-4夜

【解析】設(shè)B(b,O),C(O,c),b>0,c>0,

則直線方程的截距式為2+上=1，

bc

由42,2)在直線上可得：-+-=1,即歷=2c+給，

bc

因?yàn)?=*+：..2后,所以應(yīng)'..24,當(dāng)且僅當(dāng)b=4,c=6時(shí)取等號(hào)，

所以|OB|+|OCT8C|i+c-衍亞5

b+c+\Jb2+c2

_2bc_2bc

b+c+?b+c￥-2bche+I(be)2~

4-

4bc

hc+y](hc)2-She

故答案為：8-40.

6.【答案】C

【解析】由直線（2機(jī)+l）x+（l-加）＞一3（1+機(jī)）=0,

可得A（小型,0）,8（0,獨(dú)處）.

2m+1

1

X3(1+tri)3(l+/w)9I+2tn+m~

.?.當(dāng)aaAB的血枳s2-______x_______——x___________

2m+12-2m2+m+1