結(jié)構(gòu)力學(xué)之三鉸拱講義

第四章三鉸拱§4-1三鉸拱的支座反力和內(nèi)力§4-0簡(jiǎn)介§4-2三鉸拱的壓力線§4-3三鉸拱的合理拱軸線1按計(jì)算特點(diǎn)拱結(jié)構(gòu)分為“靜定拱”和“超靜定拱”兩種形式?！叭q拱”是典型的靜定拱(下圖為三鉸拱的兩種形式)。ABfHBYBHAYAlPiP2P1C(a)PBAC(b)帶拉桿的三鉸拱特點(diǎn)：當(dāng)僅有豎向荷載作用時(shí)，仍具有水平支座反力，且HA=HB。當(dāng)支座不能可靠的抵抗水平推力時(shí)，在兩支座間加拉桿，將水平支座反力轉(zhuǎn)化為拉桿的內(nèi)力(軸力)。具有水平推力的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為“拱結(jié)構(gòu)”。2三鉸拱的幾何組成A、B鉸—拱趾；C鉸—拱頂鉸；l—拱跨；f—拱高；、ACBC—拱桿。主要參數(shù)：高跨比f(wàn)/l—與拱的受力狀態(tài)密切相關(guān)。軸線形式：拋物線、圓弧線、懸鏈線。拱分為“平拱”和“斜拱”；在此主要研究“平拱”(A、B鉸在同一水平線上)。3§4-1三鉸拱的支座反力和內(nèi)力以下的分析是將三鉸拱與同跨度的簡(jiǎn)支梁受相同荷載時(shí)的受力情況比較而進(jìn)行的。1、支座反力的計(jì)算特點(diǎn)：有四個(gè)支座反力VA、VB、HA、HB，求解時(shí)需要四個(gè)方程。拱的整體有三個(gè)方程，此外C鉸增加一個(gè)靜力平衡方程，即：MC=0。四個(gè)方程可解四個(gè)未知量。BADCfyP1P2VBVAl1l2lHBHAa1b1d1a2b2(a)為比較方便，考慮同跨度、同荷載的簡(jiǎn)支梁，豎向荷載下，簡(jiǎn)支梁沒(méi)有水平反力，只有豎向反力VA0和VB0。而VA0和VB0的求解是簡(jiǎn)單的。4BADCfyP1P2VBVAl1l2lHBHAa1b1d1a2b2(a)BAP1P2DCVA0VB0(b)考慮整體平衡：∑MA=0，∑MB=0有下式成立：)(12211aPaPlVB+=)(12211bPbPlVA+=與簡(jiǎn)支梁比較有：0BBVV=0AAVV=即：拱的豎向反力與簡(jiǎn)支梁的豎向反力是相同的。由∑X=0，得：HA=HB=H即：A、B兩點(diǎn)的水平推力方向相反，數(shù)值相等。5求水平推力H。利用∑MC=0，考慮C左邊所有外力，則0111=--HfdPlVA是C點(diǎn)左邊所有豎向力對(duì)C點(diǎn)的力矩代數(shù)和，111-dPlVA0CM等于簡(jiǎn)支梁相應(yīng)截面C的彎矩。用表示簡(jiǎn)支梁截面C的彎矩。則有：00=-HfMC所以有fMHC0=分析H的表達(dá)式可知：①推力H與拱軸的曲線形式無(wú)關(guān)，而與拱高f成反比，拱愈低推力愈大。②荷載向下時(shí)，H為正值，推力是向內(nèi)的。③當(dāng)f0時(shí)，H，此時(shí)三鉸共線，稱(chēng)為幾何瞬變體系。62、內(nèi)力計(jì)算公式若簡(jiǎn)支梁截面D的彎矩用M0表示，剪力用Q0表示，試求拱上相應(yīng)截面D的內(nèi)力。對(duì)D點(diǎn)取矩，有M=M0-Hy

AHVADyHMP1Q0(d)VA0ADP1Q0M0(c)式中：y是拱上D截面到AB直線的垂直距離。彎矩M以使拱的內(nèi)側(cè)受拉時(shí)為正。由上式可知，由于H的存在，拱與簡(jiǎn)支梁受同荷載時(shí)相比較，拱相應(yīng)截面上的彎矩M小于簡(jiǎn)支梁相應(yīng)截面上的彎矩M0。AHVADP1MQ(e)N剪力Q和軸力N的計(jì)算公式j(luò)jcossin0HQN--=jjsincos0HQQ-=(f)Q0cosQ0sinHsinHQ07式中，Q0是相應(yīng)簡(jiǎn)支梁D截面的剪力；是拱上D截面處軸線的切線與水平線所成的銳角，在左半拱，取正號(hào)，在右半拱，取負(fù)號(hào)。剪力與軸力的符號(hào)規(guī)定：Q同前；N以拉力為正。3、受力特點(diǎn)(1)在豎向荷載作用下，梁沒(méi)有水平反力，而拱則有水平推力(三鉸拱的基礎(chǔ)比簡(jiǎn)支梁的基礎(chǔ)要堅(jiān)固)。(2)由于水平推力的存在，三鉸拱截面上的彎矩比簡(jiǎn)支梁的彎矩小(使拱更能充分發(fā)揮材料的作用，適用于較大的跨度和較重的荷載)。(3)在豎向荷載作用下，梁的截面內(nèi)沒(méi)有軸力，而拱的截面內(nèi)軸力較大，且一般為壓力(利用受壓性能好的材料)。8例4-1三鉸拱及其所受荷載如圖所示，拱的軸線為拋物線：)(42xlxlfy-=。求支座反力，并繪內(nèi)力圖。解：(1)反力計(jì)算kNVVBB)(516124480=+==kNVVAA)(716128440=+==kNfMHC6444850=-==(2)內(nèi)力計(jì)算為了繪制內(nèi)力圖，將拱沿跨度方向分成八等分，算出每個(gè)截面的彎矩、剪力和軸力的數(shù)值。現(xiàn)以x=12m的截面D為例來(lái)說(shuō)明計(jì)算步驟。l=16m4m8m4mBDCAxyP=4kNq=1kN/mf=4m例4-1圖9①截面D的幾何參數(shù)根據(jù)拱軸線方程可得：3)1216(121644)(422=-=-=mxlxlfy5.0)12216(1644)2(422-=-=-==xllfdxdytgj因此可得出：894.0cos,447.0sin,4′326-=-=-=jjjo②截面D的內(nèi)力mkNHyMM=-=-=236450因?yàn)樵诩泻奢d處，Q0有突變，所以要算出左右兩邊的剪力和軸力。kNHQN81.5894.06)447.0()1(cossin0-=----=--=

左左kNHQQ79.1)447.0(6894.01sincos0=---=-=

左左10kNHQN60.7894.06)447.0()5(cossin0-=----=--=右右kNHQQ79.1)447.0(6894.05sincos0-=---=-=

右右具體計(jì)算算時(shí)，可可列出下下面表格格。截面幾何參數(shù)Q0彎矩計(jì)算剪力計(jì)算軸力計(jì)算xytgsincosM0-HyMQ0cos-HsinQ-Q0sin-HcosN00145o0.7070.70770004.95-4.240.71-4.95-4.24-9.1921.750.7536o52′0.6000.800512-10.51.54.00-3.600.40-3.00-4.80-7.8043.000.5026o34′0.4470.894320-18.022.68-2.680-1.34-5.36-6.7063.750.2514o2′0.2340.970124-22.51.50.97-1.46-0.49-0.24-5.82-6.0684.000001-124-24.00-1.000-1.000-6.00-6.00103.75-0.25-14o2′-0.2340.970-122-22.5-0.5-0.971.460.49-0.24-5.82-6.0612-1-0.891.79-0.45-5.813.00-0.50-26o34′-0.4470.894-520-18.02-4.472.68-1.79-2.24-5.36-7.60141.75-0.75-36o52′-0.6000.800-510-10.5-0.5-4.003.60-0.40-3.00-4.80-7.80160-1-45-0.7070.707-5000-3.544.240.70-3.54-4.24-7.7811根據(jù)上頁(yè)頁(yè)表格可可繪出此此三鉸拱拱的內(nèi)力力圖。(a)CAB1.52.01.52.0-0.5-0.52m2m2m2m2m2m2m2mM圖(kNm)0.70-0.40-1.79-11.790.49-0.4900.400.71CABQ圖(kN)(b)-7.78N圖(kN)BCA-9.19-7.80-6.70-6.06-6.00-6.06-5.81-7.60-7.80(c)特別注意意：拱的內(nèi)力力圖全部部都是曲曲線圖。。能否利用用拱的反反力和內(nèi)內(nèi)力計(jì)算算公式求求三鉸剛剛架的反反力和內(nèi)內(nèi)力？12242420127kN5kN2024.5P=4kNq=1kN/mACDB(d)M0圖(kN·m)為了將拱與梁進(jìn)行比較，在圖(d)中用實(shí)線畫(huà)出了同跨度、同荷載的簡(jiǎn)支梁的彎矩圖(M0圖)，圖中還用虛線畫(huà)出了三鉸拱的Hy曲線。虛實(shí)兩曲線的縱坐標(biāo)差值(M0-Hy)即為三鉸拱的彎矩值，因此兩曲線之間所圍的狹窄圖形即代表三鉸拱的彎矩圖。由此看出，三鉸拱與對(duì)應(yīng)的的簡(jiǎn)支梁相比，彎矩要小得多(簡(jiǎn)支梁的最大彎矩為24.5kN·m，而三鉸拱的最大彎矩則下降為2kN·m)。還可看出，三鉸拱彎矩的下降完全是由于推力造成的。因此在豎向荷載作用下存在推力，是拱式結(jié)構(gòu)的基本特點(diǎn)。由于這個(gè)緣故，拱式結(jié)構(gòu)也叫推力結(jié)構(gòu)。13例4-2求圖示拋物線三鉸拱的支座反力，并求截面k的內(nèi)力。拱軸方程為：。()xxllfy-=24kCBAf=4m4m4m8mVAVB80kN·m解：1、、支反力力計(jì)算(與簡(jiǎn)支支梁比擬擬)4m4m8mVA0VB0kCBAkCA80kN·mQC0MC05kNMC0=40kN·mkNfMHC10440===kNVVBB500==kNVVAA50-==2、求截截面內(nèi)力力()()=-=-====5.042161644242424xxkxllfdxdytgj=′=565.263326kj14894.0cos447.0sin34=====kkxkmyyjj，，。MMkMykzkk。和點(diǎn)左右兩側(cè)不同，分為在mkNHyMMkkzzk50310200-=--=-（外拉）＝kAQk0Mkz05kNMkz0＝-20kN·mQk0＝-5kNmkNHyMMkkyyk30310600=-=-（內(nèi)拉）＝Mky0Qk0kB5kNMky0=60kN·mkNHQQkkkk94.8447.010894.05sincos0-=--=-=jjkNHQNkkkk705.6894.010447.05cossin0-=-=--=jj注意：1、在集集中力偶偶作用的的截面上上，求其其截面兩兩側(cè)的彎彎矩。2、在集集中力作作用截面面上，應(yīng)應(yīng)分別求求其截面面兩側(cè)的的剪力和和軸力。。15§4-2三三鉸鉸拱的壓壓力線如果三鉸鉸拱中某某截面D左邊(或或右邊)所有外外力的合合力RD已經(jīng)確定定(如右右圖a)，那么么由此合合力便可可確定該該截面的的彎矩、、剪力、、軸力(如右圖圖b)如下：：DDDRNacos=DDDRQasin=DDDrRM=這里rD是由截面面形心到到合力RD的垂直距距離，aD是合力RD與D點(diǎn)拱軸切切線間的的夾角。。(a)RDDrDDQDDMDND16可以看出出，確定定截面內(nèi)內(nèi)力的問(wèn)問(wèn)題可歸歸結(jié)為確確定截面面一側(cè)所所有外力力的合力力的問(wèn)題題(合力力的大小小、方向向和作用用線)?！，F(xiàn)在以下下圖為例例說(shuō)明求求截面合合力的圖圖解法。。第一步，，確定各各截面合合力的大大小和方方向。首先，用用數(shù)解法法求支座座A、B的豎向和和水平反反力及其其合力RA、RB。(b)RARBP1P2P3O1223(a)RBRA12P1P2P323ADCEHBGFK2K2K117然后，按按RA、P1、P2、P3、RB的順序畫(huà)畫(huà)出閉合合力多邊邊形。最后，以以RA和RB的交點(diǎn)O為極點(diǎn)，，畫(huà)出射射線12和23(由極極點(diǎn)到力力多邊形形頂點(diǎn)的的連線叫叫做射線線)，如如上頁(yè)圖圖b所示。各射線的的意義：：例如，在在拱的AK1段中，任任一截面面左邊只只有一個(gè)個(gè)外力RA，因此，，射線RA表示AK1段中任一一截面左左邊外力力的合力力。射線線12表表示K1K2段中任一一截面左左邊所有有外力RA與P1的合力，，同時(shí)也也代表該該截面右右邊所有有外力P2、P3、RB的合力。?？傊?，，四個(gè)射射線RA、12、、23、、RB分別表示示AK1、K1K2、K2K3、K3B四段中任任一截面面所受的的合力，，即截面面左邊(或右邊邊)所有有外力的的合力。。顯然，，射線只只表示合合力的大大小和方方向，并并不表示示合力的的作用線線。第二步，，確定各各截面合合力的作作用線。。18由圖b已經(jīng)知道道四個(gè)合合力RA、12、、23、、RB的方向，，如果再再分別確確定一個(gè)個(gè)作用點(diǎn)點(diǎn)，則每每個(gè)合力力的作用用線就確確定了。?，F(xiàn)參照照a圖說(shuō)明作作法如下下：首先，RA應(yīng)通過(guò)支支點(diǎn)A，故由A點(diǎn)作射線線RA的平行線線，即為為合力RA的作用線線。(b)RARBP1P2P3O1223(a)RBRA12P1P2P323ADCEHBGFK2K2K119其次，RA與P1的作用線線相交于于F點(diǎn)，它們們的合力力12也也應(yīng)通過(guò)過(guò)F點(diǎn)。因此此，由F點(diǎn)作射線線12的的平行線線FG，即為合合力12的作用用線。再次，12與P2的作用線線交于G點(diǎn)，因此此，由G點(diǎn)作射線線23的的平行線線GH，即為合合力23的作用用線。最后，由由23與與P3作用線的的交點(diǎn)H作射線RB的平行線線，即為為合力RB的作用線線。顯然然此線應(yīng)應(yīng)當(dāng)通過(guò)過(guò)支座B點(diǎn)。這個(gè)個(gè)性質(zhì)可可作為校校核條件件，用以以檢驗(yàn)作作圖的精精確程度度。以上得出出的四個(gè)個(gè)合力的的作用線線組成一一個(gè)多邊邊形AFGHB，稱(chēng)作索多邊形形，其中每每個(gè)邊稱(chēng)稱(chēng)作索線。四個(gè)索索線RA、12、、23、、RB分別表示示AK1、K1K2、K2K3、K3B各段中任一截截面左邊(或或右邊)所有有外力的合力力作用線。因因此這個(gè)索多邊形又叫叫做合力多邊邊形。在拱中，由由于截面的軸軸力一般均為為壓力，故又又叫做壓力多邊形或壓力線。20利用壓力線和和力多邊形這這兩個(gè)圖形，，即可確定拱拱中任一截面面一邊外力的的合力(大小小和方向由力力多邊形中的的射線確定，，合力的作用用線由壓力線線中的索線確確定)。合力力確定之后即即可求出截面面的內(nèi)力。以上圖的截面面D為例，它的合合力RD由索線12和和射線12共共同表示。(b)RARBP1P2P3O1223(a)RBRA12P1P2P323ADCEHBGFK2K2K121求彎矩MD時(shí)，可先在b圖中量出射線線12的長(zhǎng)度度得出合力RD的大??；然后后在圖a中量出截面形形心D到索線12的的垂直距離rD；最后根據(jù)兩兩者