全等三角形輔助線做法講義

全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線 倍長中線【夯實根底】例：AABC中，AD是/BAC的平分線，且BD=CD,方法1:作DE^AB于E,作DF^AC于F,證明二次全等方法2:輔助線同上，利用面積D方式1:延長AD到E,使D方式1:延長AD到E,使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長CEANC作CFXAD于F,延長MD到N,使DN=MD,作BEXAD使DN=MD,連接BE連接連接BE.word.zl.且BE=AC,延長BE且BE=AC,延長BE交AC于F,【經(jīng)典例題】例1：4ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值圍例2：在4ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BBC于F，且DF=EF，求證：BD=CE例3:在4ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點,求證：AF=EF提示：倍長AD至G,連接BG,證明ABDGWACDA三角形BEG是等腰三角形例4：：如圖，在AABC中，AB豐AC，D、E在BC上，且DE=EC，過口作DF//BA交AE于點F,DF=AC.求證：AE平分/BAC

提示：方法1:倍長AE至G,連結(jié)DG方法2:倍長FE至H,連結(jié)CHAA例5:CD=AB,/BDA=/BAD,AE是4人8口的中線,求證：/C=/BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF證明AABEWAFDE〔SAS〕進而證明AADFWAADC〔SAS〕【融會貫穿】1、在四邊形ABCD中，AB//DC,E為BC邊的中點，/BAE=/EAF,AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系提示：延長AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC.word.zl.2、如圖，AD為AABC的中線，DE平分/BDA交AB于E,DF平分3、：如圖，AABC中，ZC=90°,CMLAB于M,AT平分/BAC交CM于D,交BC于T，過D作ABCDE//AB交BC于E,求證：CT=BE.ABC提示：過T作TN，AB于N證明ABTNWAECD截長補短法引輔助線思路：當或求證中涉及到線段a、b、c有以下情況時：值士白二匚，如直接證不出來，可采用截長法:在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補短法。通過線段的截長補短，構造全等把分散的條件集中起來。例1.如圖，4ABC中，/ACB=2/B,/1=/2。求證：AB=AC+CD.word.zl.

CD證法二〔截長法〕延長AC至點F,使得AF=AB，AB=AC+CD在4ABD和4AFD中在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE??./ACB=2/B/.△AED^AACD[SAS]+/距氏CD證法二〔截長法〕延長AC至點F,使得AF=AB，AB=AC+CD在4ABD和4AFD中在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE??./ACB=2/B/.△AED^AACD[SAS]+/距氏ZAC￡=2Z5而/ACB=/F+/FDC，/F=/FDC.'.AB=AE+EB=AC+DC「,2/3=&十/EUB：.ZB=Z.EDB"HR=ED=DC例2.如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,/BAC=90°,/1=/2,而AF=AC+CF，AF=AC+CD在AAED和AACD中/.△ABD^AAFD[SAS].??/B=/FZl=Z2??./ACB=2/F：.DE=DC,/AED=/C證法一〔補短B法〕Zl=Z2AD=AD.word.zl.CE^BD交BD的延長線于E,證明：BD=2CE。分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構造線段2CE,轉(zhuǎn)化為證兩線段相，再證△ABDW^ACF,等的問題，分別延長BA，CE交于F,證，再證△ABDW^ACF,#BD=CFO1、如圖，AABC中,AB=2AC,AD平分/BAC，且AD=BD求證：1、如圖，AABC中,AB=2AC,AD平分/BAC，且AD=BD求證：CDXAC2、如圖，AC//BD,EA,EB分別平分/CAB,/DBA,CD過點求證;AB=AC+BDC3、4、.word.zl..:如圖，4ABC中，AD平分/BAC,假設/C=2/B,證明：AB=AC+CD..:如圖，4ABC中，/A=60°,/B與/C的平分線BE,CF交于點1,求證：BC=BF+CE..:如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分/CBE交CD于F,求證：BE=CF+AE.向截其向截其與角平分線有關的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：3、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點兩邊作垂線；②利用角平分線，構造對稱圖形〔如作法是在一側(cè)的長邊上取短邊〕。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線;

它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和條件。〔1〕截取構全等F,并連接D如圖1-1,/AOC=/BOC,如取F,并連接D如圖1-1,/AOC=/BOC,如取OE=OE、D我等那么有AOEOFD，從而為明線段、角相了條件。例1.如圖1-2,AB//CD,BE平分例1.如圖1-2,AB//CD,BE平分/ABC,CE平分/BCD,點E在AD上，求證：BC=AB+CD。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而到達證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2.:如圖1-3,AB=2AC,/BAD=/CAD,DA=DB,求證DC,AC分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。圖1-4

圖1-4例3.:如圖1-4,在4ABC中，/C=2/B,AD平分/BAC,求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。練習.在4ABC中，AD平分/BAC,/B=2/C,求證：AB+BD=AC.:在4ABC中，/CAB=2/B,AE平分/CAB交BC于E,AB=2AC,求證：AE=2CE.：在4ABC中，AB>AC,AD為/BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC.：D是4ABC的/BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接D圖2-1圖2-2B、DC。求證：BD+CD>AB+AC。圖2-1圖2-2〔2〕、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1.如圖2-1,AB>AD,/BAC=/FAC,CD=BC。求證：/ADC+/B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ADC與/B之和為平角。例2.如圖2-2,在4ABC中，/A=90,AB=AC,/ABD=/CBD。.word.zl.

求證：BC=AB+AD分析：過D作DE，BC于E,那么AD=DE=CE,那么構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3.如圖2-3,4ABC的角平分線8乂、相交于點口。求證：/BAC的平分線也經(jīng)過點口。分析：連接AP,證AP平分/BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等練習:圖2-4D.如圖2-4/AOP=/BOP=15,PC//OA,PD^OA,如果P圖2-4DC=4,那么PD=〔 〕A4B3c2D1.在AABC中，/C=90,AD平分/CAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。.：如圖2-5,/BAC=/CAD,AB>AD,CE±AB,1AE=2〔AB+AD〕.求證：/D+/B=180。.:如圖2-6，在正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，/FAE=/DAE。求證：AF=AD+CF。.word.zl.

.:如圖2-7,在Rt^ABC中，/ACB=90?？冢?,垂足為口，人日平分/CAB交CD于F,過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。DEB圖2-6DEB圖2-6F圖2-7〔3〕、作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，那么截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)?！踩绻}目中有垂直于角平分線的線段，那么延長該線段與角的另一邊相交〕。例1.:如圖3-1,/BAD=/DAC,AB>AC,CD，AD于D,H是〔3〕、作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，那么截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)?！踩绻}目中有垂直于角平分線的線段，那么延長該線段與角的另一邊相交〕。例1.:如圖3-1,/BAD=/DAC,AB>AC,CD，AD于D,H是BC中1點。求證：DH=1〔AB-AC〕2分析：延長CD交AB于點日，那么可得全等三角形。問題可證。例2.:如圖3-2,AB=AC,/BAC=90,AD為/ABC的平分線，CELBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。例3.:如圖3-3在4ABC中，AD、AE分別/BAC的、外角平分線，過頂點B作BN垂直AD,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是/BAC外角平分線，可得EA，AF,從.word.zl.而有BF//AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.:如圖3-4,在4ABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM1LAD交AD延長線于M。而有BF//AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.:如圖3-4,在4ABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM1LAD交AD延長線于M。求證：AM=1〔AB+AC〕2分析：題設中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變1換，作4人8口關于AD的對稱△人日口，然后只需證DM=1日*另外21由求證的結(jié)果AM=1〔人8+人^,即2AM二人8+人*也可嘗試作△ACM關于CM的對稱AFCM,2然后只需證DF=CF即可。練習:1.:在4ABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點，AE是/BAC的平分線，且CELAE于E,連接DE,求DE。2.BE、BF分別是AABC的/ABC的角與外角的平分線，AFLBF于F,AELBE于日，連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=1BC2〔4〕、以角分線上一點做角的另一邊的平行線B圖4-2而也例4如圖，AB>AC,/1=/2,求證：AB—AC>BD—CD.word.zl.

例5如圖，BC>BA,BD平分/ABC,且AD=CD,求證：/A+/C=180。A例6如圖，AB//CD,AE、DE分別平分/BAD各/ADE,A求證：練習：求證：.，如圖，/C=2/A,AC=2BC。求證：4ABC是直角三角形。.:如圖，AB=2AC,/1=/2,DA=DB,求證：DC±AC.CE、AD是4ABC的角平分線，/B=60°4.:如圖在4ABC中，/A=90°分線，求證：BC=AB+AD,AB=AC,BD是/ABC的平(5)、且垂直一線段，應想到、角平分線等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90°,BD平分/ABC交AC于點D,CE垂直于BD,交BD的延長線于點日。求證：BD=2CE。證明：延長BA,CE交于點F，在ABEF和ABEC中，.「/1=/2,BE=BE,/BEF=/BEC=90°,??.△BEFWABEC,，EF=EC,從而CF=2CE。又/1+/F=/3+/F=90°,故/1=/3。在AABD和??.AACF中，???/1=/3,AB=AC,/BAD=/CAF=90°,AABDWAACF,，BD=CF,，BD=2CE。注：此例中BE是等腰△BCF的底邊CF的中線?！擦场⒔柚瞧椒志€造全等1：如圖，在4ABC中，/B=60°,4ABC的角