歷年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案76套題

校自行填寫，山備課組長保管，考前30分鐘再發(fā)給考生。

四、考號安排

學(xué)校廈門一中雙十中學(xué)廈門六中外國語學(xué)校科技中學(xué)廈門二中湖濱中

學(xué)考號安排

10001——1060010601——1120011201——1180011801——1240012401—13000

13001—1320013201—13400學(xué)校考號安排松柏中學(xué)13401—13600廈門三

中13601——13800華僑中學(xué)13801—14000禾山中學(xué)14001——14200大同中學(xué)

14201—14400康橋中學(xué)14401——14600

集美中學(xué)20001——20400英才學(xué)校20401——20600灌口中學(xué)20601——28000樂

安中學(xué)20801——21000

同安一中30001——30600啟悟中學(xué)30601——30800第二外國語學(xué)校

30801——31000翔安一中40001——40400新店中學(xué)40401——4060040601——40800

詩扳中學(xué)

40801----41000

廈門十中杏南中學(xué)海滄中學(xué)海滄實驗中學(xué)

東山中學(xué)五顯中學(xué)國祺中學(xué)21001——2140021401——2160021601——21800

21801——2200031001——3120031201——3140031401——31600

五、考務(wù)：

有關(guān)考場的設(shè)置、監(jiān)考等考務(wù)工作另行安排布置。

六、獎項：

按參賽人數(shù)的5%從高分到低分確定復(fù)賽入圍者；預(yù)賽成績?yōu)楸緟^(qū)第一名經(jīng)省數(shù)學(xué)會審核

無誤后也可以直接參加復(fù)賽。

另外，符合下列條件之一者可直接進入復(fù)賽：

（1）2008年、2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建賽區(qū)）一、二等獎獲得者；（2）2010

年東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽一、二等獎獲得者；（3）2010年福建省高一數(shù)學(xué)競賽（省）

前十五名獲得者；（4）2010年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克競賽一、二等獎獲得者。

復(fù)賽試卷經(jīng)省數(shù)學(xué)會評定后，評出（省級）全國一、二、三等獎的獲獎名單報省科協(xié)、、省

教育廳審定，獲得（省級）全國一、二、三等獎的選手及指導(dǎo)教師由省科協(xié)和省教育廳聯(lián)合

頒發(fā)獲獎證書。注意：一等獎、二等獎和三等獎均按聯(lián)賽與加試的總分評定。

省數(shù)學(xué)會評出《2009年福建省高中數(shù)學(xué)競賽》一、二、三等獎后，我市在省獎之外再評出

市一等獎、二等獎、三等獎，以及表揚獎若干名。為了鼓勵各校參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的積極性,

研究決定：按報名人數(shù)給學(xué)校不低于10%的市級（以上）獲獎名額，鼓勵學(xué)生。

廈門市教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育研究室廈門市教育學(xué)會數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會

2010年5月13日

（注：報名表的指導(dǎo)教師欄請認(rèn)真填寫，賽后不得更改）

1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷

第一試

選擇題（每小題5分，共30分）

1.對于每個自然數(shù)n,拋物線y（n+n&（2n+l）x+l與x軸交于An,Bn兩點，以|AnBn|

表示該兩點的距離，則

2

2

+|A2B2|++|A1992B1992|的值是（）

-9-

（A）（B）（C）（D）

2.已知如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這?曲線的方程是（）

（A）（x+（C）（x+

y2)(y+x2)=0(B)(xy2)(yx2)=0y2)(yx2)=0(D)(xy2)(y+x2)=0

(Si)

i14

3.設(shè)四面體四個面的面積分別為SI,S2,S3,S4,它們的最大值為S,記=

(A)2<豐4(B)3<<4(C)2.5<豐4.5(D)3.5<<5.5

/S,則一定滿足()

，都是方程logx=log(4謝的根,4.在4ABC中，角A,B,C的對邊分別記為a,b,c(b1),

且則^ABCX)

b

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰

直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5.設(shè)復(fù)數(shù)zl,z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A,B,且|zl|=4,4zl2zlz2+z2=0,0為坐

標(biāo)原點，則AOAB的面積為()

(A)8

2

2

(B)4(C)6(D)12

6.設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)f(10x),f(20x)'f(20

+x),則f(x)是

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函

數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

二.填空題(每小題5分共30分)

,,xyz成等差數(shù)列，則zx的值是.

1.設(shè)x,y,z是實數(shù)，3x,4y,5z成等比數(shù)列,且

2.在區(qū)間［0,］中，三角方程cos7xcos5x的解的個數(shù)是.

3.從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是

異面直線，則k的最大值是

z4.設(shè)z,z都是復(fù)數(shù)，且|z|=3,|z|=5憶+z|=7,貝Ijarg(l)的值是.

3

1

2

1

2

1

2

5.設(shè)數(shù)列al,a2,,an,滿足ala21,a32,且對任何自然數(shù)n,都有anan+

lan+21,Xanan+lan+2an+3an+an+1

+an+2+an+3,則al+a2++al00的值是____.

6.函數(shù)f(x尸

x43x26x13x4x21的最大值是.

80

1617

k1三、(20分)求證:.

-10-

四、(20分)設(shè)1,m是兩條異面直線，在1上有A,B,C三點，且AB=BC,過A,B,C

分別作m的垂線AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,BE=2CF=,求1與m的

距離.

pinlxx五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)(x0,1),々y=x+x.

1.求證:fn+1(x)=yfh(x)fh—1(x),(n>l)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

fn(x)=yCy.(l)Cy,(l),(i1,2,?n為偶數(shù))nlnlnln2iin2i,n為奇

數(shù))yCy.(l)Cy.(l)C,(i1,2,,nlninlnln2nliinin2in2

1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

第一試

選擇題(每小題5分，共30分)

1.若乂={/，y)||tgy|+sinx0},N={(x,y)|x+y*2},則MN的元素個數(shù)是()

222

(A)4(B)5(C)8(D)9

2.已知f(x)=asinx+b+4(a,b為實數(shù))，且f(lglog310)5,則f(lglg3)的值是()

(A)5(B)3(C)3(D)隨a,b取不同值而取不同值

3.集合A,B的并集AB={al,a2,a3},當(dāng)AB時，(A,B)與(B,A)視為不同的

對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)是()

(A)8(B)9(C)26(D)27

4.若直線x=被曲線C：(x-arcsina)(x—arccosa)+(y—arcsina)(y+arccosa)=0所載的弦

長為d,當(dāng)a變化時

d的最小值是()(A)(B)(C)(D)

sincos22的值5.在AABC中，角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,若2a等于AC邊

上的高h,則

是()

(A)l(B)2(C)(D)l

-11-

(A)(B)(C)(D)

6.設(shè)tn,n為非零復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，zC,則方程|z+ni|+|z-mi|=n與z+ni|一|z

一mi|=-m在同一復(fù)平

面)

二.填空題(每小題5分，共30分)

1.二次方程(l-i)x+(+i)x+(l+i)=0(i為虛數(shù)單位，R)有兩個虛根的充分必要

條件是的取值范圍為

________.2

,min_.2.實數(shù)x,y滿足4x—5xy+4y=5,設(shè)S=x+y,則max22223.若

zC,arg(z4)=62,arg(z+4)=3,則z的值是_.2

934.整數(shù)103的末兩位數(shù)是.

logxO1993logx11993logx21993

5.設(shè)任意實數(shù)x0>xl>x2>x3>0,要使

最大值是123klogxO1993m3恒成立，則k的

6.三位數(shù)（100,101,,999）共900個，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一

個三位數(shù)，有的卡片所印的，

倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如531倒過來看是，

因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印

張卡片.

三.（本題滿分20分）

三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為

AB的中點，作與SC平行的直線DP.證明：（1）DP與SM相交；（2）設(shè)DP與SM的交點為

D，則D為三棱錐S-ABC的外接球球心.

四.（本題滿分20分）

設(shè)0<a<b,過兩定點A（a,0）和B（b,0）分別引直線1和m,使與拋物線y=x有四個不同

的交點，當(dāng)這四點共圓時，求這種直線1與m的交點P的軌跡.2

-12-

五.（本題滿分20分）

設(shè)正數(shù)列aO,al,a2,,an,滿足nn2nln22anl(nm2)且a=a=1.求｛a｝的通項公式.Oln

1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

選擇題(每小題6分，共36分)

1.設(shè)a,b,c是實數(shù)，那么對任何實數(shù)x,不等式asinxbcosxc0都成立的充要條件是

(A)a,b同時為0,且c>O(B)a2b2c(C)a2b2c

(D)a2b2c

2.給出下列兩個命題：

(1)設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果a2b2c2,則a2b2c20；

,b2c20,則a2b2c2.(2)設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù),如果a

那么下述說法正確的是2

(A)命題(1)正確，命題(2)也正確(B)命題(1)正確，命題(2)錯誤

(C)命題(1)錯誤，命題(2)也錯誤(D)命題(1)錯誤，命題(2)正確

3.已知數(shù)列{an}滿足3anl

的最小整數(shù)n是.an4(n1),且al9,其前n項之和為Sn,則滿足不等式|S而6|1125

(A)5(B)6(C)7(D)8

0b1,0a

4.已知

小關(guān)系是logbsinay(cosa)logbcosa,z(sina)logbcosa的大4,則下列三數(shù)：x(sina),

(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z

5.在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(

(A)n2nln2nl,)(,)(0,)(,)nnn2(D)n(B)(C)

-13-

|xy||ky|12a2b6.在平面直角坐標(biāo)系中，方程(a,b是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是

(A)三角形(B)正方形

(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形

二、填空題(每小題9分，共54分)

1.已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標(biāo)分別為4，1)和(2,2),若直線1：x+my

+m=0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是—_.

x3sinx2a0x,y[,],aR34ysinycosya0,貝cos(x2y)=.442.已知且

55A{(x,y)|(x3)2(y4)2()2}B{(x,y)|(x4)2(y5)2()2)223.已知點集,,則點集AB

中的整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)的個數(shù)為.

sin(lcos)024.設(shè)，則的最大值是.

5.已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sin=_

6.已知95個數(shù)al,a2,a3,,a95,每個都只能取+1或1兩個值之一，那么它們的兩兩之

積的和

ala2ala3.a94a95的最小值是_

1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

第一試

選擇題(每小題6分，共36分)

1.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a85a13且al0,Sn為其前項之和，則Sn中最大的是()

(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21

-14-

2.設(shè)復(fù)平面上單位圓)

(A)4(B)5(C)10(D)20

3.如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個小伙子中，如

果某人不亞于其他99人，就稱

他為棒小伙子，那么，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l個(B)2個(C)50個(D)100個1995,Z21995,1995,Z20所

4.已知方程反2nlk(nN)在區(qū)間(2n-l,2n+l]上有兩個不相等的實根，則k的取值范圍是

()

(A)k0(B)0k11k2nl(C)12nl(D)以上都不是

5.logsin1cos1,logsin1tg1,logcos1sin1Jogcos1tg1的大小關(guān)系是()

logsin1cos1logcoslsinllogsinItgllogcosltgl

logcoslsinllogcosltgllogsin1cos1logsinItgl

logsinItgllogcosltgllogcoslsinllogsin1cos1

logcosltgllogsinItgllogsin1cos1logcoslsinl(A)(B)(C)(D)

6.設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S,與PA,

PB的延長線分別交于Q,R,則和式11JPQPRPS

(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值

(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個與面QPS無關(guān)的常數(shù)

二、填空題(每小題9分，共54分)

1.設(shè)，為一對共物復(fù)數(shù)，若|~|23,且2

為實數(shù)，貝山|.

2.一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為.

-15-

3.用岡表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x[lgx]20的實根個數(shù)是.

y3xxy3xy1004.直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點個數(shù)是.

5.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏

色可使用，那么不同的染色方

法的總數(shù)是.

6.設(shè)乂={1,2,3,”，1995},A是M的子集且滿足條件:當(dāng)xA時，15xA,則A中

元素的個數(shù)最多是,一九九六年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽

-、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

22221.把圓x+(y-1)=1與橢圓9x+(y+1)=9的公共點，用線段連接起來的圖形是

(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形

2.等比數(shù)列｛an｝的首項al=1536,公比是q=

(A)T9(B)T11(C)T12(D)T1312.用Tn表示

它的前n項之積，則Tn(nN)最大的是

3.存在在整數(shù)n,使是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p

(A)不存在(B)只有一個(C)多于一個，但為有限個(D)有無窮多個pnn

1

4設(shè)x(-2,0).以下三個數(shù)：l=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+l)的大小關(guān)

系是.

(A)3<2<1(B)1<3<2(C)3<1<2

(D)2<3<1

225.如果在區(qū)間［1,2］上,函數(shù)f(x)=x+px+q與g(x)=x+()在同一點取相同的最小值,

那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是.4(A)

6.高為8的圓臺(B)2(C)3(D)4

二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)

1.集合國-1log()10<-,xN｝的真子集的個數(shù)是

.11512442412422(B)(C)(D)以上答案都不對

1

2.復(fù)平面上非零復(fù)數(shù)zl、z2在以i為圓心1為半徑的圓上，zlzl的實部為零，zl的輻角

主值為6,則z2=

3.曲線C的極坐標(biāo)方程是=1+cos，點A的極坐標(biāo)是(2,0).曲線C在它所在的平面

內(nèi)

繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是.

4.已知將給定的兩個全等的三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六

面體，并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠的兩個基本點頂點的距離是.

5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個正方體的六個面染色，每面恰染一種

顏色，每兩個具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有種.

(注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個正方體的上、下、

左、右、前、后六個對應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同).

6.在直角坐標(biāo)平面上，以(199,0)為圓心，以199為半徑的圓周上，整點(即橫、縱坐

標(biāo)皆為整數(shù)的點)的個數(shù)為

-16-

1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

(10月5日上午8:0010:00)

一、選擇題(每小題6分，共36分)

1.已知數(shù)列｛xn｝滿足xjilxnxnl(n=2),xa,xb,記Sx+x++x,則下列結(jié)論

正確的是nnl212

(A)xlOO=-a,S100=2b-a(B)xlOO=-b,S1002b-a

(C)xl00=-b,S100=b-a(D)xl00=-a,SlOO=b二a

2.如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB匕F在棱CD上，使得

B

(C)

(D)

(0.),記f(),其中表示EF與AC所成的角，表示EF

與BD所成的角，則f()在。)單調(diào)增加f()在。)單調(diào)減少(A)(B)f()在(0,1)單調(diào)

增加，而在(1,+)單調(diào)減少f()在(0,+)為常數(shù)

23.設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負(fù)整數(shù)，項數(shù)不少于3,且各項的和為97,則這樣的數(shù)

列共有

(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個

4.在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2y22yl)(x2y3)2

表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為

(A)(0,1)(B)(l,+)(C)(0,5)(D)(5,+)

5.設(shè)

(A)

(C)

arctg,arccos(),arcctg()f(x)xx,arcsin,，則2f()f()f()氏)

(B)f()f()f()f()f()f()f()f()(D)f()f()f()f()

6.如果空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有

(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無窮多條

-17-

二、填空題(每小題9分，共54分)

(xl)31997(x1)'13(yl.)1997(yl)1,則x+y.設(shè)x,y為實數(shù)，且滿足

y2

x1過雙曲線的右焦點作直線1交雙曲線于A、B兩點，若實數(shù)使得|AB|的直線1

恰有3條，則=.2

|2z|1已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的幅角主值范圍是

已知三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰三角形，SA=SB=SC=2,AB=2,設(shè)S、

A、B、C四點均在以O(shè)為球心的某個球面上，則點O到平面ABC的距離為.

設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之

一.若在5次之種.設(shè)algz+lg[x(yz)+1],blgx+lg(xyz+1),clgy+lg[(xyz)+

1],記a,b,c中最大數(shù)為M,則M的最小值為.Ill

一九九八年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

(10月11日上午8:00—10:00)

一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

1.若a>l,b>1且lg(a+b)=lga+lgb,則lg(al)+lg(bl)的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是與a,b無關(guān)的常數(shù)

2.若非空集合A={x|2a+1壬x豐3&5},B={x|3壬x豐22},則能使AAB成立的所有a的集合

是()

(A){a|l*a*9}(B){a|6壬a壬9}(C){a|a*9}(D)

3.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S40等于()

(A)150(B)200(C)150或200(D)400或50

abcab2c24.設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式ax+bx+c>0與ax+bx+c>0的解集相同；命

題Q：222

111222c則命題Q

(A)是命題P的充分必要條件(B)是命題P的充分條件但不是必要條件

(C)是命題P的必要條件但不是充分條件

(D)既不是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件

5.設(shè)E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點，則二面角CFGE的大小是

()(A)arcsin3(B)2arccos32

2B

D(C)2(D)6.在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中

心共27個點中，共線的三點組的個數(shù)是()

(A)57(B)49(C)43(D)372'arcctg

二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)

1.若f(x)(xR)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x[0,1]時，

的排列是.f(x)xl,則98101104f()f()f(19,17,15由小到大

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=cos.isin(0美*180),復(fù)數(shù)z,(l+i)z,2z在復(fù)平面上對應(yīng)的三個點分別

是P,Q,R，當(dāng)P,Q,R不

共線時，以線段PQ.PR為兩邊的平行四邊形的第四個頂點為S,則點S到原點距離的最大

值是.

3.從0,1,2,345,6,7,8,9這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取

法有種.

4.各項為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之和不超過100,這樣

的數(shù)列至多有項

-18-

5.若橢圓x?4(ya)24與拋物線x22y有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是.

6.△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=2,M是AB的中點，將△ACM沿CM折

起，使A,B兩點間的距離為2

.2,此時三棱錐ABCM的體積等于

CB三、(本題滿分20分)

已知復(fù)數(shù)2=[$淪+icos(2),求z的共朝復(fù)數(shù)z的輻

角主值。

四、(本題滿分20分)

設(shè)函數(shù)

f(x)ax28x3(a<0),對于給定的負(fù)數(shù)a,有一個最大的正數(shù)1(a),使得在整個區(qū)間[0,l(a)]

上,不等式|f(x)|豐5都成立。

問：a為何值時1(a)最大？求出這個最大的1(a),證明你的結(jié)論。

五、(本題滿分20分)

22(ab0,b2pa),M是拋物線上的點，設(shè)直線AM,BM與拋物線y2pxA(a,b)已知拋

物線及定點,B，a,0),

的另一交點分別為Ml,M2.

求證：當(dāng)M點在拋物線上變動時(只要Ml,M2存在且M1/M2),直線M1M2恒過一個定

點，并求出這個定點的坐標(biāo)。

1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽

選擇題(滿分36分，每小題6分)

1.給定公比為q(qrl)的等比數(shù)列{an},設(shè)bl=al+a2+a3,b2=a4