現(xiàn)代控制理論演示文稿

現(xiàn)代控制理論演示文稿當(dāng)前1頁，總共22頁。優(yōu)選現(xiàn)代控制理論當(dāng)前2頁，總共22頁。4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性定理通過分析系統(tǒng)能量的變化來確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性！系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)能量函數(shù)（應(yīng)該是正定的）：沿狀態(tài)軌線，系統(tǒng)能量的變化率：如果它是負(fù)定的，則沿狀態(tài)軌線，系統(tǒng)能量是減少的。當(dāng)前3頁，總共22頁。抽象總結(jié)成以下的一般結(jié)論定理

對非線性系統(tǒng)，原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)1。是正定的；2。沿系統(tǒng)的任意軌線，關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)負(fù)定則系統(tǒng)在原點(diǎn)這個(gè)平衡狀態(tài)處是漸近穩(wěn)定的。進(jìn)而，當(dāng)，若，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。滿足條件（1）和（2）的函數(shù)V(x,t)稱為是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。當(dāng)前4頁，總共22頁。定理的說明給出的判據(jù)是充分的，即若能找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，則可斷定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；若找不到，則沒有結(jié)論；如何尋找李雅普諾夫函數(shù)呢？仍未解決，只有試湊；對于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定；若半負(fù)定，表明系統(tǒng)的能量不會(huì)增加，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的；定理適合于線性、非線性、時(shí)變、定常系統(tǒng)。當(dāng)前5頁，總共22頁。例分析以下系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性解原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。選?。ㄗ詈唵蔚亩涡秃瘮?shù)）它是正定的。沿系統(tǒng)的任意軌線，上式是負(fù)定的。因此V(x)是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，且V(x)是徑向無界的。故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。當(dāng)前6頁，總共22頁。對系統(tǒng)能量函數(shù)沿系統(tǒng)軌線的負(fù)定性表明系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，能量是減少的，給出的是以原點(diǎn)為中心的一族同心圓，隨時(shí)間推移，C不斷減小，從而狀態(tài)不斷趨向于零。當(dāng)前7頁，總共22頁。條件負(fù)定性的降低。定理

對非線性系統(tǒng)，原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)1。是正定的；2。沿系統(tǒng)任意軌線，關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)半負(fù)定3。在系統(tǒng)任意軌線上，不恒等于零4。當(dāng)，則系統(tǒng)在原點(diǎn)這個(gè)平衡狀態(tài)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。能量函數(shù)的值不能老停留在一處，要不斷下降。好處：可以簡化穩(wěn)定性分析。當(dāng)前8頁，總共22頁。例分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為，選取（1）是正定的；（2）沿系統(tǒng)的任意軌線，是半負(fù)定的。當(dāng)前9頁，總共22頁。系統(tǒng)模型李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)定理的條件（3）：若即

由第2個(gè)狀態(tài)方程得，是系統(tǒng)的零狀態(tài)

由第2個(gè)狀態(tài)方程得但不滿足第1個(gè)方程，故不是系統(tǒng)的軌線。故在系統(tǒng)的任意非零軌線上，不可能恒等于零。根據(jù)定理，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)前10頁，總共22頁。針對以上例子，對可以驗(yàn)證故該函數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。表明：針對一個(gè)平衡狀態(tài)，可以有多個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。當(dāng)前11頁，總共22頁。定理

設(shè)原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若存在標(biāo)量函數(shù)，滿足（1）在原點(diǎn)附近的某個(gè)鄰域內(nèi)是正定的；（2）在同樣鄰域內(nèi)也是正定的。則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是不穩(wěn)定的。例分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性選取正定函數(shù)

不穩(wěn)定！當(dāng)前12頁，總共22頁。李雅普諾夫穩(wěn)定性系統(tǒng)針對初始擾動(dòng)的恢復(fù)能力針對特定的平衡點(diǎn)利用能量的概念來描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)衰減的狀況穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定等概念能量函數(shù)：正定、關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)負(fù)定函數(shù)定性的概念對一般的系統(tǒng)：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只是一個(gè)充分條件，而且沒有給出李雅普諾夫函數(shù)的尋找方法！不足：充分條件、沒有給出系統(tǒng)性的方法問題：對特殊的系統(tǒng)，是否有更好的結(jié)論呢？當(dāng)前13頁，總共22頁。4.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性時(shí)不變系統(tǒng)：一類特殊的預(yù)選李雅普諾夫函數(shù)：李雅普諾夫函數(shù)：本身是正定，時(shí)間導(dǎo)數(shù)負(fù)定！正定矩陣P是正定的。沿系統(tǒng)軌線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)當(dāng)前14頁，總共22頁。

是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)的條件是：存在一個(gè)對稱正定矩陣P，使得以下矩陣不等式成立：即以上的矩陣不等式有正定解，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定！反之，可以證明：若系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則它一定有正定解定理線性時(shí)不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的的充分必要條件是存在一個(gè)對稱正定矩陣P，使得特點(diǎn)：條件是充分必要的；給出了李雅普諾夫函數(shù)的具體構(gòu)造方法。關(guān)鍵的問題：如何求解矩陣不等式：當(dāng)前15頁，總共22頁。李雅普諾夫方程處理方法轉(zhuǎn)化成方程來處理。對任意選定的對稱正定矩陣Q，若（李雅普諾夫方程）有一個(gè)對稱正定解P，則矩陣P

一定滿足矩陣不等式（李雅普諾夫不等式）定理線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是李雅普諾夫方程存在對稱正定解矩陣。說明：李雅普諾夫方程的可解性不依賴矩陣Q的選取，故一般可以選Q＝I；李雅普諾夫方程是一個(gè)線性方程組；若李雅普諾夫方程可解，則其中矩陣Q的含義是當(dāng)前16頁，總共22頁。例應(yīng)用李雅普諾夫方程方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡點(diǎn)。解方程系統(tǒng)是二階的，故

求解方程組，可得當(dāng)前17頁，總共22頁。驗(yàn)證矩陣P的正定性根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，對矩陣P是正定的，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是當(dāng)前18頁，總共22頁。MATLAB函數(shù)P=lyap(A,B,Q)求解矩陣方程：P=lyap(A’,Q)求解矩陣方程：作業(yè)：應(yīng)用MATLAB函數(shù)求解李雅普諾夫方程。例確定增益K的范圍，以使得系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。在工業(yè)應(yīng)用中常常需要根據(jù)工況，給出一些參數(shù)的在線調(diào)節(jié)范圍。當(dāng)前19頁，總共22頁。解首先給出系統(tǒng)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)：針對自治系統(tǒng)，考慮穩(wěn)定性。解以下方程，可得原