大學(xué)專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案(四)

123x1ax31123x1ax31aa0a0a大學(xué)專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案（四）．填空題（1若齊次方程組

333

只有零解，則參數(shù)應(yīng)滿足

解x

只有零解

AR

；x

有非零解

AR

；1

1

1

1（2若方程組

24

有解，則常數(shù)

a,,2

滿足

a234

解：

m

x

有解

RA

1001

100110a011001a

1000

0010a1101

1000

1001100110034

則

R124

（3若方程組

2

無(wú)解，則

a

32

解：

R

1

1

11

1

1

2331

2a0a

13，則當(dāng)2

時(shí)，

R

，此時(shí)

無(wú)解

11a131100000011111a131100000011111103100012313431A（4若方程組

1

有無(wú)窮多解，則

a

解：

x，則AAx

有一解；A

有，解

RR

；a11a111當(dāng)a

時(shí)，

1111

111

，

R

，故無(wú)解；當(dāng)a

時(shí)，

11

1r1

，R

，故有無(wú)窮解；綜上所述：a

（5若方程組

有惟一解，則,b滿足

2,R

解：

A

，對(duì)

無(wú)要求，即

R

（6

n階陣的一行元之和為零

()

則齊次線性方程組Ax

的基礎(chǔ)解系為

(1,1,,1)

nj解：為Axnj

的非零解向量

SA的解空間，則

A

關(guān)的解向量均是

的基礎(chǔ)解系，從而

的基礎(chǔ)解系是

(1,1,

,1)

12121121212（7）

為非齊次線性方程組

Ax

的兩個(gè)不同解，其中

A

為

矩陣，且()，則Ax通解為x或者x(R22

解：記為

的解空間，則

A

線性無(wú)關(guān)的解向量均是的礎(chǔ)解系，

為非齊次線性方程組兩個(gè)不同解，則

是Ax

的一個(gè)非零解而

線性無(wú)關(guān)么

是

的基礎(chǔ)解系，則Ax通為：

x()2

或者

x(R12

（）設(shè)A為矩陣，則非齊次線性方程組一解充要條件是()(A

)

解：

m

x

有唯一解

R

；m

x

無(wú)解

R

；m

x

有無(wú)窮解

R

（9

A

為

n

階方陣次性方程組

的解都是齊次線性方程組

的解，則

R(A)

R(B)

解：記

S的空間，SBx

的解空間，由已知

S

，則

A

B

（10）若

a3

b11b,Ba22ba33

b1b2b3

123

，且三條不同直線

axyiiii相交于一點(diǎn)，則矩陣A的秩滿足

()()

解：三條不同直線

axyiiii

x1相交于一點(diǎn)xya33

有唯一解R

，

aa3

b1b2b3

3

，令

B

123

則

A

1

2

3

，則

,與13

等價(jià)，從而R

A

．選擇題（1齊次線性方程組

僅有零解的充要條件(A)（A矩陣（B矩陣（C矩陣（）矩陣

AAAA

的列向量組線性無(wú)關(guān)；的列向量組線性相關(guān)；的行向量組線性無(wú)關(guān)；的行向量組線性相關(guān).解：Ax只零解R,1

n1n

線性無(wú)關(guān)A（2A是陣，與非齊次線性方程組Ax對(duì)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是D)（A若Ax

僅有零解，則

Ax

有惟一解；（B若Ax

有非零解，則Ax無(wú)多解；（C若Ax無(wú)多解，則僅零解；（）若

Ax

有無(wú)窮多解，則Ax

有非零解：

x只零解

x有零解

；對(duì)

m

x

若

Rm

xAx唯解，

有無(wú)窮解；對(duì)

m

xR

有零解或唯一可無(wú)解

R

A

Ax無(wú)解或零解（可能無(wú)解，當(dāng)

R

）（A（B

僅有零解Ax有非零解

有零解或唯一解，故A錯(cuò)誤；有無(wú)窮解或零解，故B錯(cuò)誤；（）Ax無(wú)解

R

有非零解，故（）正確設(shè)A是矩陣，且

()r

，則(A)(A)

r

時(shí)，非齊次線性方程組

Ax

有解；(B)rn時(shí)非齊次線性方程組惟一解；

121211221212112214011，2(C)

時(shí)，非齊次線性方程組

Ax

有解；(D)

rn

時(shí)，非齊次線性方程組

Ax

有無(wú)窮解.解A）（A正確；

有解，故（BAx

有零解或唯一解；（C當(dāng)R

Ax

無(wú)解；（）

A

Ax無(wú)解或零.設(shè)

為非齊次線性方程組Ax兩個(gè)不同解，(B)Ax解(A)

；(B)

21；33

；(D)

kk,i1,212i

解：

AA2（A1

2

；（B3

1A3

，故選（B（C

1

2

（）1

2

2

AA1

2

1

2

k1

1

0

當(dāng)矩陣等于(A時(shí)，

1

都是齊次線性方程組Ax

的解(A)

(2,1,1)

；(B)

；(C)

2

；(D)

解：顯然

線性無(wú)關(guān)，記

S的空間，則AdimnA

，故（A正

111，211m1111，211m11mmmnmnm

1

0

可簡(jiǎn)單驗(yàn)證：

設(shè)矩陣的秩為()mE為m階位矩陣下結(jié)論正的((A)矩的任意

個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)；(B)矩陣的任意階子式必不等于；(C)若矩陣滿，必有(D)矩陣通過(guò)初等行變換，必可化成

(E

的形式.解

Am

m

，

n

則

RRm

,

m線性無(wú)關(guān)，R1

n1

n

線性相（AB）R

A

m存在m階子式不等于設(shè)此子式應(yīng)矩陣為A，A1

,i

im

，則,,1i1

im

線性無(wú)關(guān)；（）

A

E

行最簡(jiǎn)形

E

標(biāo)準(zhǔn)形；（C方法一：由R

，不妨設(shè)

1

n2

，且可，k

m

1

2k

1

B1

k

；方法二：

k

m

k

，則

111

m1j

1jjkjjR,1

m

線性無(wú)關(guān)bj,mBO1jkj

；方法三：由書(shū)16題

R，則B，R

mA

AA

即

T

可逆，

BAAOAT

（兩邊右乘AT

）

（兩邊右乘

）.

2211212122112121綜上）正確設(shè)

A

為

n

階方陣，且

()

，而

為非齊次線性方程組

Ax

的兩個(gè)不同解，

k

為任意實(shí)數(shù)，則齊次線性方程組Ax

的通解為(C)(A)k；(B)；k()212

；

k(

解：dimA

Ax

的任何一個(gè)非零解向量均為

Ax

的基礎(chǔ)解系，由

是

Ax

的兩個(gè)不同解

是

Ax

的非零解，則

是Ax

的基礎(chǔ)解系，的解為：k）1設(shè)

2

為非齊次線性方程組Ax兩個(gè)不同解，而

為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax

的基礎(chǔ)解系，

kk

為任意實(shí)數(shù)，則

Ax

的通解為()(A)

112

；

(B)

11112

；(C)

(11

12

1

2；(D)k(22

2

解：非齊次方程組通=齊次方程組特+齊次方程組通解非齊次方程組特解可選：

1

,2

12

2

（

1A1A22

）齊次方程組通解可選擇：111

2

1

2

11

2

1

2

注意：1

2

1

2

不一定是Ax的解，因?yàn)?/p>

能與相關(guān)21綜上：選（A）.設(shè)

A

為

矩陣，

B

為

n

矩陣對(duì)齊次線性方程組

()x

以結(jié)論正確的是D)(A)當(dāng)(B)當(dāng)

nn

時(shí)僅有零解；時(shí)必有非零解；(C)當(dāng)mn時(shí)有零解；(D)當(dāng)時(shí)必有非零解解

m

m

m

有非零解

R

，零（A）誤；

有非零解或者只有零解均有可能，故（D）

R

m

m

有非零解，故（）正確．求解以下方程組

11001100001115500044000，224302

1212124

1x131xx123

x13x1x1xxx141231342x1342xxx134

x13xx24x13xxx24xx13xx35xx3

x23x311x

x4xzxzxy

yy22xy

13xx124xx123

111110

解）

rrR

，

方程組有無(wú)窮多解同解方程組為

1xx00即得通解Rx33x1004

；

（2

11

44R

，

方程組無(wú)解；

x2123411x2123411143413（3

211315112314

rrrr1r2rr

120120

112129212

112016000000

2000

0021001000

R

，

方程組有唯一解

2

；

1

（4

112120

231

00200

310205100100000000

，同解方程組為

3xx4251x66x4

12即得通解

06

,

；（5

1222

1120004

51103000400

4030

同解方程組為

4x3244x3x4

，通解為

24

k

；

36005100001023600510000102238（8010000z22110110000yy1w03401145

121

12

12

（6

同解方程組為

xx12x223x44

，通解為

,k,k0

；（7

22

125225002

2

R

5

4

003

10

1001R

解

3

；（9

111

rr2rr3

314030

111433

310147000040

，同解方程組為，解為,Rz

；

21

05

（）

rr

50013423450013423424

同解方程組為

611x7759xx77x3x44

，通解為

,7

．參數(shù)

,

取何值時(shí)，下列方程組有惟一解、無(wú)解或有無(wú)窮多個(gè)解當(dāng)無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求其一般解.

ax1313bx13

2xx2xx2

2x13124x12

x132xx123xx(5123

131234xxx245xxxx1234a11

x(xxx22解）

1b112

b12bb101101100011101b400b12bb101101100011101b400b001000121310311033101000,k，通解為：00000013

1

當(dāng)a且b時(shí)A，克萊姆法則方程組有唯一解：

1x3bab

；當(dāng)

時(shí)，

11

1

，

R

當(dāng)

時(shí)，

1114rr

10b1b若

1

bb

，即

b

12

時(shí)，R若

b

12

時(shí)，R

無(wú)多解時(shí)

140100

，通解為：

2,

（2

1rr

1000當(dāng)

，即

時(shí)，無(wú)解.當(dāng)

，即

時(shí)，有無(wú)窮多解，且：

時(shí)，

1102

；

101201,k，通解為：000001312101201,k，通解為：000001312421711057000012121205000000000000

時(shí)，

14022

；

2111

12

2

（3

當(dāng)

時(shí)，R234當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解同解方程組為734

，

通解為：

x

,,k

；（4

25

rrrr2

2

10

當(dāng)時(shí)R

221

當(dāng)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)

，通解為：

0,k,kR100

；當(dāng)時(shí)有唯一解，此時(shí)：510

2

1313000b30001110000000110110002方程組解為：

；

111

（5

263

126

1

11

rr

rrrr

00a當(dāng)a0

或2

時(shí)，

R

0

當(dāng)a且b時(shí)有無(wú)窮多解，

00

，

通解為：

k,kkR12

；（6

2當(dāng)

且

時(shí)，有唯一解；101

110

當(dāng)

時(shí)，

R2當(dāng)時(shí)011，A，解；

0003000301311000當(dāng)

02時(shí)，05

1015有無(wú)窮多解，通解為：

x,Rx

．于向量組

11,2

；試討論參數(shù)

滿足什么條件時(shí)，由,

線性表出，且表示方式惟一；

可由

,

線性表出，但表示方式不惟一；

能由

線性表出.解：

AAx

有唯一解由,

,

線性表出，且表達(dá)式唯一；AAx

有無(wú)窮解或無(wú)解；Ax

有無(wú)窮解

由,,3

線性表出，且表達(dá)式不唯一；Ax解能由3

線性表出；

11

1

1

且

1

1

（1由,

線性表出，且表達(dá)式唯一

且

；110（2當(dāng)時(shí)A11

1000，R

，此時(shí)Ax

有無(wú)窮解，可3

線性表出，且表達(dá)式不唯一；

1900061900061235，211222,0313（3當(dāng)

時(shí)，1

1

1

113

R不由,,3

線性表出.．設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是2并已知該方程組的三個(gè)解向量是求該方程組的通.解：

dimS

，則Ax

的任何兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量均是它的一組基礎(chǔ)解系；由

2

為非齊次方程組

Ax

的三個(gè)解向量知：

1

為Ax

的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，故為Ax的一組基礎(chǔ)解系；故Ax通為

,R41

．設(shè)三元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為1且已知它的三個(gè)解

2

滿足：1求該方程組的通.解：

dimS

A

，故

的任何兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量均是它的一組基礎(chǔ)解系；

，121213

，

2125222125224t331131b0b0則

1123123

，又

0，33213

為非齊次方程組特解；，121132的一組基礎(chǔ)解系；解向量，故為故為通解.11

為Ax

的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的注意：此題中非齊次方程組的特解、齊次方程組的基礎(chǔ)解系找法不唯.

1

．設(shè)矩陣

，矩陣

B

為3階非零矩陣，且AB

，求

t

的值解：

，由例9知

，

，R；14

2t3t31

a1

．設(shè)矩陣

1b1

，

B

為三階非零矩陣，且滿足AB

，求

,b

及

R(B)

解：

，由例9知

R

A

，又是零矩陣

，R不秩，則；a

1

1

1

b

11

b

1b1b2ba

或

；當(dāng)a

時(shí)，

111110

，

b

與b

不能同時(shí)為0，R

A

，時(shí)1

，R

；

11101011010000111010110100001arrrrr34a1513134

a1

a11

10

1

當(dāng)b

時(shí)，

rarR

10．設(shè)

s

是非齊次線性方程組Ax的s個(gè)解，

k,

為實(shí)數(shù)，滿足ks

，證明

x

ss

也是方程組Ax

的解證明：由已知：

is,i1

b1ss故

x

2

ss

也是方程組Ax

的解.1122．試證方程組3455

有解的充要條件是

a0234

，并在有解的情況下，求出它的全部證明：A

1

12345

有

1125

；當(dāng)

a34

時(shí)，

A1

rrrrr

a1a24340

1232534同解方程組為34555

，通解為

234xa1

,R

12設(shè)*為元齊次線性方程組Ax一個(gè)解，

是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax

的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：向量組,12

,

n

線性無(wú)關(guān)；向量組

,

1

2

,

n

線性無(wú)關(guān).證明）

0

1

n

n

0

，則

0

11

nn

，k0

1

n

A

n

，,

為Ax

的基礎(chǔ)解系，有

A

i

in

，A0

0

0

，Ax

是非齊次方程組，即0代入有11

，,

線性無(wú)關(guān)，k

，即

k1

，

,1

,

n

線性無(wú)關(guān)；（2設(shè)

0

1

1

n

n

，則

1

n

，由（1）：

,

,1

n

線性無(wú)關(guān)，1

k2

,

n線性無(wú)關(guān).．設(shè)n元齊次線性方程組Ax系數(shù)矩陣的秩為r，

,,2

是它的

個(gè)解，證明：

n

n

,

是齊次方程組

的一個(gè)基礎(chǔ)解系；

Ax通為1

2

，其中

n

ki

i證明）先我們證明

n

n

,