【名師導學】數(shù)學(江蘇理,提高版)大一輪復習練習：16.3重要不等式及其應用(含答案解析)

第81課重要的不等式及其應用【自主學習】第81課重要的不等式及其應用自主學習回歸教材1.(選修4-5P24例2改編)求函數(shù)y=1-x+42x的最大值.【解答】由于y21-x22x2222=(+·))]·(1-x+2+x)=9，因此y≤3，當且僅當+(121-x=2x，即x=0時取“=”，故ymax=3.42.(選修4-5P38習題6改編)求函數(shù)f(x)=x+x2(x>1)的最小值.4xx43xx4x4【解答】由于x>1，因此f(x)=x+x2=2+2+x2≥322xx=3，當且僅當2=x2，即x=2時取等號，故f(x)min=3.3.(選修4-5P37習題6改編)已知正數(shù)a，b，c知足a+2b+3c=6，求證：a1+2b2+3c3≤6.【解答】由于a+2b+3c=6，因此(a+1)+(2b+2)+(3c+3)=12.由柯西不等式，得[(a+1)+(2b+2)+(3c+3)](12+12+12)≥(a1+2b2+3c3)2，則a1+2b2+3c3≤6，當且僅當a1=2b2=3c3時取等號，此時a=3，1b=1，c=3.a4b4c44.(選修4-5P37習題11改編)設a，b，c均為正實數(shù)，求證：a+b+c≤abc.【解答】設a≥b≥c，右邊a4b4c4111111111abc3bc3ac3ab3ac3ab3bc2a2b2c==a·+b·+c·≥a+c·≥a·+c·=a+b+c=左側.·+b··+b柯西不等式：設n為大于1的自然數(shù)，ai，bi(i=1，2，3，，n)為隨意實數(shù)，則nnn2b1b2bnaibi22i1aii1bii1，此中等號當且僅當a1a2==an時建立(當ai==0，i=1，時，商定b=02，3，，n).2.排序不等式：設兩組實數(shù)，a，，a與b，b，，b，且a≤a≤≤a，b≤b≤≤b，a12n12n12n12n若記c1，c2，，cn為b1，b2，，bn的隨意一個擺列，則和數(shù)a1c1+a2c2++ancn在a1，a2，，an與b1，b2，，bn同序時最大，反序時最小，即1122++ann≥a1122++ann≥a1n2bn-1++an1，等號當且僅當a12==an或ab+abbc+accb+ab=ab1=b2==bn時建立.a1a2an3.均值不等式：若a1，a2，，an均為正數(shù)，則

n≥na1a2a3an，等號當且僅當a1=a2==an時建立.【重點導學】重點導學各個擊破利用柯西不等式證明不等式2a2b2c例1已知ad231，d，d均大于零，求證：d1d2d32+++bd+cd=2，且a，b，c，d.【思維引導】利用ad1+bd2+cd3=2變形為2a2b2cabcabcd1+d2+d3=2d1d2d3=(ad1+bd2+cd3)d1d2d3，結構切合柯西不等式的形式，再利用柯西不等式進行證明.【解答】已知ad1+bd2+cd3=2，因此由柯西不等式，得2a2b2cabcd1+d2+d3d1d2d3=2abc=(ad1+bd2+cd3)d1d2d3222abcad12+(bd22+(cd32d1d2d3=[()))]·++2≥(a+b+c).故原不等式得證.變式(2015·蘇州期末)設實數(shù)x，y，z知足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此時x，y，z的值.【解答】由于6=x+2y+3z=(1，2，3)·(x，y，z)≤122232·x2y2z2，18因此x2+y2+z2≥7，xyz當且僅當1=2=3時，取等號.又x+2y+3z=6，369因此x=7，y=7，z=7.36918綜上所述，當x=7，y=7，z=7時，x2+y2+z2獲得最小值7.利用排序不等式證明不等式例2已知a，b，c均為正實數(shù)，求證：333222a+b+c≥ab+bc+ca.【思想指引】題目中沒有給出a，b，c三個數(shù)的大小次序，且a，b，c在不等式中的“地位”是平等的，不如設a≥b≥c，再利用排序不等式加以證明.【解答】由于a，b，c均為正實數(shù)，不如設222a≥b≥c>0，則a≥b≥c，>0由排序不等式，333222a.得a+b+c≥ab+bc+c【精重評論】運用排序不等式證明的重點點在于：(1)不要忘掉使用排序不等式的前提條件，即不要忘掉“不如設”；(2)要創(chuàng)建出兩個數(shù)相乘的項之和的形式；(3)在證明過程中一直記著“同序和最大，亂序和其次，反序和最小”.利用均值不等式證明不等式11例3若a>0，b>0，且2ab+b1=1，求a+2b的最小值.11【思想指引】利用“1的”代換，將a+2b湊成2a+4b+3，再將2a+4b+3乘以2ab+b1=1，而后再利用均值不等式求解.11【解答】由于a>0，b>0，且2ab+b1=1，113(b1)2ab因此2a+4b+3=(2a+4b+3)2ab+b1=4+2ab+b1≥4+23，133當且僅當a=2+3，b=3時取等號，231因此a+2b的最小值為2.【精重評論】運用均值不等式證明不等式，當題目中未顯然給出組成均勻值的n個正數(shù)時，需要作拆項、添項等辦理，學會創(chuàng)建條件再利用均值不等式解題.變式222222(2015·常州期末)已知a>0，b>0，求證：(a+b+ab)(ab+ab+1)≥9ab.【解答】由于a>0，b>0，因此a2+b2+ab≥33a2?b2?ab=3ab>0，ab2+a2b+1≥33ab2·a2b·1=3ab>0，當且僅當a=b時上式取等號，因此(a2222b+1)22+b+ab)(ab+ab.幾個重要不等式的綜合應用例4(2015·陜西卷)已知對于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}.務實數(shù)a，b的值；求at12+bt的最大值.-b-a2，b-a4，解得a=-3，b=1.(2)由(1)知-3t12+t=34-t+t≤[(3)212]?[(4-t)2(t)2]=24-tt=4，4-tt當且僅當3=1，即t=1時等號建立，故(-3t12+t)max=4.【精重評論】此題先經(jīng)過代數(shù)變形，將問題轉變，再兩次靈巧運用柯西不等式，進而使問題獲解，對于一些表達式較為復雜的不等式，這樣的辦理方法值得我們好好地加以領會.要注意運用柯西不等式證題的重點是可以創(chuàng)建“模型”：(a12+a22++an2)(b12+b22++bn2)，領會了這一點，解題時就能靈巧自如，駕輕就熟.變式(2015·泰州二模)已知不等式a+b+2對于知足條件222=1的隨意實2c≤|x-1|a+b+c數(shù)a，b，c恒建立，務實數(shù)x的取值范圍.【解答】由于(a+b+22222c)≤(1+1+2)(a+b+c)=4，因此a+b+2c≤2.2222=1的隨意實數(shù)a，b，c恒建立，又a+b+2c≤|x-1|對于知足條件a+b+c故|x2-1|≥(a+b+2c)max=2，解得x≤-3或x≥3，故x的取值范圍是{x|x≤-3或x≥3}.1.(2014陜·西卷改編)設a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，求m2n2的最小值.【解答】由柯西不等式可知2222222(a+b)(m+n)≥(ma+nb)，因此m+n≥5，當且僅當an=bm時等號建立，故m2n2的最小值為5.2.(2015南·京調(diào)研)已知a，b是正數(shù)，且a+b=1，求證：(ax+by)(bx+ay)≥xy.【解答】由于a，b是正數(shù)，且a+b=1，因此(ax+by)(bx+ay)=abx2222+(a+b)xy+aby=ab(x2+y2)+(a2+b2)xy2ab·2xy+(a+b)xy=(a+b)2xy=xy.即(ax+by)(bx+ay)≥xy建立.3.(2015南·京、鹽城、徐州二模)已知x，y，z都是正數(shù)且xyz=1，求證：(1+x)(1+y)(1+z)≥8.【解答】由于x為正數(shù)，因此1+x≥2x.同理1+y≥2y，1+z≥2z.xy·2z=8xyz.因此(1+x)(1+y)(1+z)≥2·2由于xyz=1，因此(1+x)(1+y)(1+z)≥8.1114.(2014無·錫一模)已知a，b，c均為正數(shù)，且a+2b+4c=3，求a1+b1+c1的最小值，并指出獲得最小值時a，b，c的值.【解答】由于a+2b+4c=3，因此(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.由于a，b，c為正數(shù)，因此由柯西不等式得111[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]a·1+b1+c1≥(1+2+2)2，當且僅當(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2時等號建立，1111162因此a1+b1+c1的最小值是10，取最小值時8-52152-1723-1022(c+1)+22(c+1)+4(c+1)=10，因此c=7，b=7，a=7.一鼓作氣，事半功倍.請同學們實時達成《配套檢測與評估》中的練習第161~162頁.【檢測與評估】第81課重要的不等式及其應用111.(2015蘇·北四市期末)若a>0，b>0，且a+b33=ab，求a+b的最小值.12.(2015南·京三模)已知實數(shù)x，y知足x>y，求證：2x+x2-2xyy2≥2y+3.8(2015南·通、揚州、淮安、連云港二調(diào))已知實數(shù)a，b，c知足a+2b+3c=4，求證：a2+b2+c2≥7.4.(2015·南通、揚州、泰州、淮安三調(diào))已知實數(shù)a，b，c，d知足a>b>c>d，求證：14936a-b+b-c+c-d≥a-d.5.(2014蘇·北四市期末)已知a，b，c均為正數(shù)，求證：222a+b+c+

2111abc≥63.bca6.(2015泰·州期末)已知正實數(shù)a，b，c知足a+b+c=3，求證：a2+b2+c2≥3.7.(2015蘇·州、無錫、常州一調(diào))求函數(shù)y=1-x+3x2的最大值.(2015?！そň?已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值；1求4a2+9b2+c2的最小值.【檢測與評估答案】第81課重要的不等式及其應用1121.由于a>0，b>0，因此a+b≥ab.11又由于a+b=ab，因此ab≥2，當且僅當a=b=2時取等號，因此a3+b3≥2a3b3≥42，當且僅當a=b=2時取等號，因此a3+b3的最小值為42.2.由于x>y，因此x-y>0，進而1左側=(x-y)+(x-y)+(x-y)2+2y3(x-y)1(x-y)2≥3(x-y)+2y=2y+3=右側，因此原不等式得證.22222223.由柯西不等式得(a+b+c)(1+2+3)≥(a+2b+3c).由于a+2b+3c=4，8因此a2+b2+c2≥7，abc當且僅當1=2=3，246即a=7，b=7，c=7時取等號.4.由于a>b>c>d，因此a-b>0，b-c>0，c-d>0，a-d>0，149故[(a-b)+(b-c)+(c-d)]a-b+b-c+c-d

2≥(1+2+3)=36，14936因此a-b+b-c+c-d≥a-d.25.方法一：由于a，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得222)3a+b+c≥3(abc.111-1)3，由于a+b+c≥3(abc1112-2因此abc)3≥9(abc，222故a+b+c+

11122-2abc3(abc)33+9(abc)≥.-2又3(abc)3+9(abc)3

≥227=63，因此原不等式建立.方法二：由于a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得222222a+b≥2ab，b+c≥2bc，c+a≥2ca，因此a2+b2+c2≥ab+bc+ca.111111同理a2+b2+c2≥ab+bc+ca，111233343時取等號，因此a2+b2+c2+abc≥ab+bc+ca+ab+bc+ca≥63，當且僅當a=b=c=因此原不等式建立.由于正實數(shù)a，b，c知足a+b+c=3，因此3=a+b+c≥33abc，因此abc≤1，bca3bca13因此a2+b2+c2≥3a2b2c2=3abc≥3，當且僅當a=b=c時取等號.123-3x3x2111201-x+3x2)2=37.由于(≤(3-3x+3x+2)3=3，215因此y=1-x+3x2≤3.3-3x13x2當且僅當3=1，7即x=12時等號建立，215因此y的最大值