小學數(shù)學典型應用題2

小學數(shù)學典型應用題

小學數(shù)學中把含有數(shù)量關系的實際問題用語言或文字敘述

出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部

分構成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問

題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。

應用題可分為一般應用題與典型應用題。

沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應

用題。

題目中有特殊的數(shù)量關系，可以用特定的步驟和方法來解答

的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型

應用題：

1、歸一問題11、行船問題21、方陣問題

2、歸總問題12、列車問題22、商品利潤問題

3、和差問題13、時鐘問題23、存款利率問題

4、和倍問題14、盈虧問題24、溶液濃度問題

5、差倍問題15、工程問題25、構圖布數(shù)問題

6、倍比問題16、正反比例問題26、幻方問題

7、相遇問題17、按比例分配27、抽屜原則問題

8、追及問題18、百分數(shù)問題28、公約公倍問題

9、植樹問題19、“牛吃草”問題29、最值問題

10、年齡問題20、雞兔同籠問題30、列方程問題

1歸一"問題

【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后

以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關系】總量小份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量X所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量小（總量+份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所

要求的數(shù)量。

例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少

錢？

解（1）買1支鉛筆多少錢？0.6+5=0.12（元）

（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12X16=1.92（元）

列成綜合算式0.64-5X16=0.12X16=1.92（元）

答：需要L92元。

例23臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算,5臺拖拉機6天

耕地多少公頃？

解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？904-34-3=10（公

頃）

（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10X5X6=300（公

頃）

列成綜合算式90^-34-3X5X6=10X30=300（公頃）

答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。

例35輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽

車運送105噸鋼材，需要運幾次？

解（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100—4=5（噸）

（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材?5X7=35（噸）

（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105+35=3（次）

列成綜合算式105+（1004-54-4X7）=3（次）

答：需要運3次。

2歸總問題

【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據

其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨

物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、

幾小時行的總路程等。

【數(shù)量關系】1份數(shù)量義份數(shù)=總量

總量+1份數(shù)量=份數(shù)

總量+另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據題意得出所求

的數(shù)量。

例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后,

每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少

套？

解（1）這批布總共有多少米？3.2X791=2531.2（米）

（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2+2.8=904（套）

列成綜合算式3.2X791+2.8=904（套）

答:現(xiàn)在可以做904套。

例2小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小

明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書總共多少頁？24X12=288（頁）

（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288+36=8（天）

列成綜合算式24X12+36=8（天）

答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢

慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃

10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

解（1）這批蔬菜共有多少千克？50X30=1500（千克）

（2）這批蔬菜可以吃多少天？15004-（50+10）=25

（天）

列成綜合算式50X304-（50+10）=1500+60=25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天。

3和差問題

【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少,

這類應用題叫和差問題。

【數(shù)量關系】大數(shù)=（和+差）+2

小數(shù)二（和一差）?2

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜

的題目變通后再用公式。

例1甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩

班各有多少人？

解甲班人數(shù)=（98+6）+2=52（人）

乙班人數(shù)=（98-6）+2=46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求

長方形的面積。

解長=（18+2）4-2=10（厘米）

寬=（18-2）+2=8（厘米）

長方形的面積=10X8=80（平方厘米）

答：長方形的面積為80平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋

共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙

多（32—30）=2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量=（22+2）+2=12（千克）

丙袋化肥重量=（22-2）+2=10（千克）

乙袋化肥重量=32—12=20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥

重10千克。

例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到

乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

解“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多

3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14義

2+3）,甲與乙的和是97,因此甲車筐數(shù)=（97+14X2+3）

4-2=64（筐）

乙車筐數(shù)=97—64=33（筐）

答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

4和倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是

大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和

倍問題。

【數(shù)量關系】總和+（幾倍+1）=較小的數(shù)

總和一較小的數(shù)=較大的數(shù)

較小的數(shù)義幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題

目變通后利用公式。

例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的

3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？248+（3+1）=62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62X3=186（棵）

答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

例2東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧

數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？

解(1)西庫存糧數(shù)=480+(1.4+1)=200(噸)

(2)東庫存糧數(shù)=480—200=280(噸)

答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。

例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站

開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲

站的2倍？

解每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相

當于每天從甲站開往乙站(28—24)輛。把幾天以后甲站的車輛

數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)

(52+32)就相當于(2+1)倍，

那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為

(52+32)+(2+1)=28(輛)

所求天數(shù)為(52—28)+(28-24)=6(天)

答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲

的3倍多6,求三數(shù)各是多少？

解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)

的2倍；

又因為丙比甲的3倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3

倍；

這時(170+4-6)就相當于(1+2+3)倍。那么，

甲數(shù)=(170+4-6)4-(1+2+3)=28

乙數(shù)=28X2—4=52

丙數(shù)=28X3+6=90

答：甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。

5差倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是

大數(shù)的幾分之幾)，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差

倍問題。

【數(shù)量關系】兩個數(shù)的差小（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)義幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題

目變通后利用公式。

例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多

124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？124+（3-1）=62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62X3=186（棵）

答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡

的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

解（1）兒子年齡=27+（4-1）=9（歲）

（2）爸爸年齡=9X4=36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2

倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個

月盈利各是多少萬元？

解如果把上月盈利作為1倍量，則(30—12)萬元就相

當于上月盈利的(2-1)倍，因此

上月盈利=(30—12)(2-1)=18(萬元)

本月盈利=18+30=48(萬元)

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥

和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的

數(shù)量差等于原來的數(shù)量差(138-94)o把幾天后剩下的小麥看

作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)

就相當于(3-1)倍，因此

剩下的小麥數(shù)量=(138-94)+(3-1)=22(噸)

運出的小麥數(shù)量=94—22=72（噸）

運糧的天數(shù)=72+9=8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的

若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù),

這類應用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關系】總量?一個數(shù)量=倍數(shù)

另一個數(shù)量義倍數(shù)=另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求

的數(shù)。

例1100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700

千克，可以榨油多少？

解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700+100=37

（倍）

（2）可以榨油多少千克？40X37=1480（千克）

列成綜合算式40X（3700+100）=1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，

照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？48000-4-300=160（倍）

（2）共植樹多少棵？400X160=64000（棵）

列成綜合算式400X（48000+300）=64000（棵）

答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收

入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣

16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝的幾倍？8004-4=200（倍）

（2）800畝收入多少元？11111義200=2222200（元）

（3）16000畝是800畝的幾倍？16000+800=20（倍）

（4）16000畝收入多少元？2222200X20=44444000

（元）

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，

全縣16000畝果園共收入44444000元。

7相遇問題

【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途

中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關系】相遇時間=總路程+（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）X相遇時間

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的

題目變通后再利用公式。

例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一

艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開

出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？

解3924-(28+21)=8(小時)

答：經過8小時兩船相遇。

例2小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李

每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，

反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？

解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400X2

相遇時間=(400X2)+(5+3)=100(秒)

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。

例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行

15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求

兩地的距離。

解“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的

關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙

距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3X2）千米，因此,

相遇時間=（3X2）+（15-13）=3（小時）

兩地距離=（15+13）X3=84（千米）

答：兩地距離是84千米。

8追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一

地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向

運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些,

在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追

及問題。

【數(shù)量關系】追及時間=追及路程+（快速一慢速）

追及路程=（快速一慢速）義追及時間

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題

目變通后利用公式。

例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走

12天，好馬幾天能追上劣馬？

解(1)劣馬先走12天能走多少千米？75X12=900(千

米)

(2)好馬幾天追上劣馬？900+(120-75)=20(天)

列成綜合算式75X12+(120-75)=9004-45=20(天)

答：好馬20天能追上劣馬。

例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用

40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上

小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此

時小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時間，

即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑

500米用［40X(500+200)］秒，所以小亮的速度是

(500-200)+[40X(500H-200)]

=300+100=3(米)

答：小亮的速度是每秒3米。

例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16

點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點

接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙

兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？

解敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是(22—16)小

時，這段時間敵人逃跑的路程是[10義(22-6)]千米，甲乙

兩地相距60千米。由此推知

追及時間=[10X(22-6)+60]+(30-10)

=2204-20=11(小時)

答：解放軍在11小時后可以追上敵人。

例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨

車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點

16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

解這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中

可知客車落后于貨車（16X2）千米，客車追上貨車的時間就是

前面所說的相遇時間，

這個時間為16X24-（48-40）=4（小時）

所以兩站間的距離為（48+40）X4=352（千米）

列成綜合算式（48+40）X[16X2+（48-40）]

=88X4

=352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每

分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回

家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多

遠？

解要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題

中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內哥哥比妹妹多走（180

X2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90—60）米，

那么，二人從家出走到相遇所用時間為

180X2+（90-60）=12（分鐘）

家禺學校的距禺為90X12—180—900（米）

答：家離學校有900米遠。

例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的

速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分

鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，

如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求

孫亮跑步的速度。

解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速

走下去，就要遲到（10—5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校,

說明后段路程跑比走少用了（10—5）分鐘。如果從家一開始就

跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少

用［9—（10—5）］分鐘。

所以

步行1千米所用時間為1+［9-（10-5）］

=0.25（小時）

=15（分鐘）

跑步1千米所用時間為15-[9-（10-5）]=11（分鐘）

跑步速度為每小時1?11/60=5.5（千米）

答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。

9植樹問題

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個

量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植

樹問題。

【數(shù)量關系】線形植樹棵數(shù)=距離+棵距+1

環(huán)形植樹棵數(shù)=距離?棵距

方形植樹棵數(shù)=距離9棵距一4

三角形植樹棵數(shù)=距離+棵距-3

面積植樹棵數(shù)=面積+（棵距X行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以

利用公式。

例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，

一共要栽多少棵垂柳？

解136+2+1=68+1=69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

例2一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵

白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？

解4004-4=100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹。

例3一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝

一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？

解220X4^-8-4=110-4=106（個）

答：一共可以安裝106個照明燈。

例4給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板

磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板

磚？

解964-(0.6X0.4)=96+0.24=400(塊)

答：至少需要400塊地板磚。

例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若

每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安

裝多少盞路燈？

解(1)橋的一邊有多少個電桿？5004-50+1=11(個)

(2)橋的兩邊有多少個電桿？11X2=22(個)

(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22X2=44(盞)

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10年齡問題

【含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特

點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年

齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密

切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年

齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和

方法。

例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮

亮的幾倍？明年呢？

解35+5=7(倍)

(35+1)4-(5+1)=6(倍)

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，

明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是

女兒的4倍？

解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37—7=30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30+（4-1）-7

=3（年）

列成綜合算式（37—7）+（4-1）-7=3（年）

答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子

年齡的4倍，父子今年各多少歲？

解今年父子的年齡和應該比3年前增加（3X2）歲，

今年二人的年齡和為49+3X2=55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4

+1）倍，因此，今年兒子年齡為55+（4+1）=11（歲）

今年父親年齡為11義4=44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。

例4甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你

才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你

將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？

解

這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列

表分析：

過去某一今年將來某一

年年

甲口歲△歲61歲

乙4歲口歲△歲

表中兩個“口”表示同一個數(shù)，兩個表示同一個數(shù)。

因為兩個人的年齡差總相等：口—4=△一口=61—△,也就

是4,□,△,61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡

差，

因此二人年齡差為（61—4）4-3=19（歲）

甲今年的歲數(shù)為△=61—19=42（歲）

乙今年的歲數(shù)為口=42—19=23（歲）

答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。

11行船問題

【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問

題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只

在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度

是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關系】（順水速度+逆水速度）+2=船速

（順水速度一逆水速度）+2=水速

順水速=船速X2一逆水速=逆水速+水速X2

逆水速=船速X2一順水速=順水速一水速X2

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的

公式。

例1一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小

時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時?

解由條件知，順水速=船速+水速=320+8,而水速為每

小時15千米，所以，船速為每小時32098—15=25（千米）

船的逆水速為25—15=10（千米）

船逆水行這段路程的時間為320+10=32（小時）

答：這只船逆水行這段路程需用32小時。

例2甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時;

乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？

解由題意得甲船速+水速=360+10=36

甲船速一水速=360+18=20

可見（36—20）相當于水速的2倍，

所以，水速為每小時（36—20）+2=8（千米）

又因為，乙船速一水速=360+15,

所以，乙船速為360+15+8=32（千米）

乙船順水速為32+8=40（千米）

所以，乙船順水航行360千米需要

3604-40=9(小時)

答：乙船返回原地需要9小時。

例3一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時

576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，

順風飛回需要幾小時？

解這道題可以按照流水問題來解答。

(1)兩城相距多少千米？

(576-24)義3=1656(千米)

(2)順風飛回需要多少小時？

16564-(576+24)=2.76(小時)

列成綜合算式

[(576-24)X314-(576+24)

=2.76(小時)

答:飛機順風飛回需要2.76小時。

12列車問題

【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意

列車車身的長度。

【數(shù)量關系】火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）?車

速

火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）

4-（甲車速一乙車速）

火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）

+（甲車速+乙車速）

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的

公式。

例1一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度

通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車

長多少米？

解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？900X3=2700（米）

（2）這列火車長多少米？2700-2400=300（米）

列成綜合算式900X3-2400=300（米）

答：這列火車長300米。

例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋,

用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？

解火車過橋所用的時間是2分5秒=125秒，所走的路程是

（8X125）米，這段路程就是（200米+橋長），所以，橋長為

8X125-200=800（米）

答：大橋的長度是800米。

例3一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長

140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到

追過慢車需要多長時間？

解從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而

快車比慢車每秒多行(22—17)米，因此，所求的時間為

(225+140)4-(22-17)=73(秒)

答：需要73秒。

例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個

扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛

過需要多少時間？

解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車

相遇問題。

1504-(22+3)=6(秒)

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

例5一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同

樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車

速和車身長度各是多少？

解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不

同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋?88—58)秒的時間內行

駛了(2000—1250)米的路程，因此，火車的車速為每秒

(2000-1250)4-(88-58)=25(米)

進而可知，車長和橋長的和為(25X58)米，

因此，車長為25X58-1250=200(米)

答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200

米。

13時鐘問題

【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針

重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題

可與追及問題相類比。

【數(shù)量關系】分針的速度是時針的12倍，

二者的速度差為11/12o

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用

公式。

例1從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分

針重合？

解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60

格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針

比時針多走（1-1/12）=11/12格。4點整，時針在前，分針在

后，兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為20+（1-1/12）y22（分）

答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。

例2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？

解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的

時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四

點整的時候，分針在時針后（5X4）格，如果分針在時針后與它

成直角，那么分針就要比時針多走（5X4-15）格，如果分

針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5X4+15）

格。再根據1分鐘分針比時針多走(1-1/12)格就可以求出二

針成直角的時間。

(5X4-15)+(1-1/12)弋6(分)

(5X4+15)+(1-1/12)弋38(分)

答：4點06分及4點38分時兩針成直角。

例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？

解六點整的時候，分針在時針后(5X6)格，分針要與時

針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。

(5X6)+(1-1/12)處33(分)

答：6點33分的時候分針與時針重合。

14盈虧問題

【含義】根據一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配

中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次

都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。

【數(shù)量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一

次虧，則有：

參加分配總人數(shù)=（盈+虧）+分配差

如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總人數(shù)=（大盈一小盈）小分配差

參加分配總人數(shù)=（大虧一小虧）小分配差

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的

公式。

例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若

每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

解按照“參加分配的總人數(shù)=（盈+虧）?分配差”的數(shù)

量關系：

（1）有小朋友多少人？（11+1）+（4-3）=12（人）

（2）有多少個蘋果？3X12+11=47（個）

答：有小朋友12人，有47個蘋果。

例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長

8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長

多少米？

解題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人

數(shù)”，按照“參加分配的總人數(shù)=(大虧一小虧)小分配差”的

數(shù)量關系，可以得知

原定完成任務的天數(shù)為

(260X8-300X4)+(300-260)=22(天)

這條路全長為300X(22+4)=7800(米)

答：這條路全長7800米。

例3學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；

如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？

解本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)”，于是

就有

(1)有多少車？(30—0)4-(45-40)=6(輛)

(2)有多少人？40X6+30=270(人)

答：有6輛車，有270人。

15工程問題

【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間

三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的

具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、

“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，

這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內完成工

作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作

時間三者之間的關系列出算式。

工作量=工作效率X工作時間

工作時間=工作量4-工作效率

工作時間=總工作量?。坠ぷ餍?乙工作效率）

【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。

例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做

需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？

解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工

程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨

做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需

15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完

成這項工程的(1/10+1/15)。

由此可以列出算式：14-(1/10+1/15)=14-1/6=6(天)

答：兩隊合做需要6天完成。

例2一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。

現(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有

多少個？

解設總工作量為1,則甲每小時完成1/6,乙每小時完成

1/8,甲比乙每小時多完成(1/6-1/8),二人合做時每小時完

成(1/6+1/8)o因為二人合做需要［14-(1/6+1/8)］小時,

這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以

(1)每小時甲比乙多做多少零件？

244-[14-(1/6+1/8)]=7(個)

（2）這批零件共有多少個?

74-（1/6-1/8）=168（個）

答：這批零件共有168個。

解二上面這道題還可以用另一種方法計算：

兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6:1/8=4:

3

由此可知，甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3=1/7

所以，這批零件共有244-1/7=168（個）

例3一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成,

丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合

做，還需幾小時才能完成？

解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整

數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、

10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60,則甲乙丙三人的

工作效率分別是

60+12=560+10=660+15=4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

(60-5X2)4-(6+4)=5(小時)

答：還需要5小時才能完成。

例4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若

干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能

注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；

現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？

解注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或

從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內

水的流量就是工作效率。

要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量

之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及

總工作量(一池水)。只要設某一個量為單位1,其余兩個量便

可由條件推出。

我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1,則4個進水管5

小時注水量為(1X4X5),2個進水管15小時注水量為(1X2

X15),從而可知

每小時的排水量為(1X2X15-1X4X5)4-(15-5)-

即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知

一池水的總工作量為1X4X5-1X5=15

又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1義2,

所以，2小時內注滿一池水

至少需要多少個進水管？（15+1X2）4-（1X2）

=8.5—9（個）

答：至少需要9個進水管。

16正反比例問題

【含義】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著

變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一

定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比

例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運

用。

兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果

這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例

的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意

義和解比例等知識的綜合運用。

【數(shù)量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的

關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且

比較簡捷。

【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率

(倍數(shù))轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1修一條公路，已修的是未修的1/3,再修300米后，

已修的變成未修的1/2,求這條公路總長是多少米？

解由條件知，公路總長不變。

原已修長度：總長度=1：(1+3)=1：4=3:12

現(xiàn)已修長度：總長度=1：(1+2)=1:3=4:12

比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于

(4—3)份，從而知公路總長為300+(4—3)X12=3600(米)

答：這條公路總長3600米。

例2張哈做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分

鐘可以做幾道應用題？

解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系

設91分鐘可以做X應用題則有28：4=91：X

28X=91X4X=91X4+28X=13

答：91分鐘可以做13道應用題。

例3孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15

天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關

系

設X天可以看完，就有24：36=X：15

36X=24X15X=10

答：10天就可以看完。

例4一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面

積如圖所示，求大矩形的面積。

A2520

36B16

解由面積小寬=長可知，當長一定時，面積與寬成正比，

所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因

為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。

因此，

A：36=20：1625：B=20:16

解這兩個比例，得A=45B=20

所以，大矩形面積為45+36+25+20+20+16=162

答：大矩形的面積是162

17按比例分酉己問題

【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分

成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比

的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從

問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)=比的前后項之和

［解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的

幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的

幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照

求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的

值。

例1學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個

班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各

植樹多少棵？

解總份數(shù)為47+48+45=140

一班植樹560X47/140=188（棵）

二班植樹560X48/140=192（棵）

三班植樹560X45/140=180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的

比是3：4：5。三條邊的長各是多少厘米？

解3+4+5=1260X3/12=15（厘米）

60X4/12=20（厘米）

60X5/12=2