數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)709

一章實(shí)集與函數(shù)§1 §1 教學(xué)目的使學(xué)生掌握的基本性質(zhì)．教學(xué)重點(diǎn)：理解并熟練運(yùn)用的有序性、稠密性和封閉性；牢記并熟練運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)的概念及其應(yīng)用．教學(xué)方法講．(部分內(nèi)容自學(xué))教學(xué)程序：引言上中，我們大家共同探討了《學(xué)分析》這門(mén)程和開(kāi)始．”開(kāi)始．答《學(xué)分析》研究的基本對(duì)象是，但這里的“實(shí)”上的（XX《復(fù)變》研究的是定義在復(fù)上的）.為此，我們.1.“限小”（包括整）也“限小”.此作如規(guī)定：于正限小中記；于正整則記；于負(fù)（包括負(fù)整）則將限小現(xiàn)在所得小之前加負(fù)號(hào).00=例:32.9999|1；-2.001》-2.009999|)I；-3》-2.9999111用上述規(guī)定任何都可用個(gè)確定限小來(lái)如何比較大小?2兩大小比較1）定義1給定兩個(gè)非負(fù).中非負(fù)整整．若、按上述規(guī)定有（）．規(guī)定：任何任何比較的價(jià)條件（通過(guò)有限來(lái)比較）．定義2（不足近似過(guò)剩近似）：有理的位不足近似的位過(guò)剩近似.其位不足近似注：的不足近似當(dāng)增時(shí)不減即有n時(shí)不增，即有．命題：兩個(gè)的價(jià)條件是：數(shù) n,使（其中的位不足近似的位過(guò)剩近似）．命題應(yīng)用例1設(shè)有理,滿足．證明：由知：n,.令r有理且即．3、常用性質(zhì)（II.）.封閉性（集）四運(yùn)算是封閉的即任意兩個(gè)不0）仍是......2...“”?。┒⒔^值式1、絕值定義絕值定義為.2、幾意義從看絕值就是到原距離.表就是3、質(zhì)12；3,；45；6.、幾個(gè)重要1、2、均值：記算術(shù)平均值）幾平均值）調(diào)和平均值平均值：即：n1 1 11 - a a a1 2 號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立a2ann3、Bernoulli:（xx）有不等式當(dāng)且,且時(shí),有嚴(yán)格不等式證：由且nn(1=n(1 —(114、利用二項(xiàng)xx得到的不等式：對(duì)由二項(xiàng)xxn(n-1)(1h)n =1nh2!有上式右端任何一項(xiàng)［練習(xí)］P4.5［課堂小結(jié)］:實(shí)數(shù)：.

h2 n(n—1)(n—2)h3 hn,3!［作業(yè)］P4.1.(1),2.(2)、(3),3§2 數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)一一§2 數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念教學(xué)要求:掌握鄰域的概念；理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以.()....§1 實(shí)相.下面來(lái)下如何！1、證明任何(1)(2).()()2、證明.3、設(shè)證明若任何正則4、設(shè)證明存在滿足.[申]:①由1結(jié)呢？這樣思考是做科時(shí)經(jīng)常的思路之.而不做完就完！而多想想能否具體出般結(jié)般？②由述幾個(gè)小可體會(huì)出“”與不同③課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做以加深盡快掌握本本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實(shí)數(shù)集R中的兩類(lèi)主要的數(shù)集一一區(qū)間與鄰域；2界集與無(wú)界集；3界集的界引出確界定義及確界存在定(確界原)一、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間(用來(lái)表示變量的變化范圍)設(shè)且.其中開(kāi)區(qū):<x€ R|avx<b>=(a,b)限區(qū)間* 間：蘭4[b]半開(kāi)半閉區(qū)間開(kāi)開(kāi)區(qū)間5b)J開(kāi)閉區(qū)間:卜亡R|a<x^b}=(a,b]無(wú)限區(qū)間

xR|xa],xR|x(Y,a].x=R|xa[=xR|xa--,a).xR|-x2“居”.字面意思“近的區(qū)”.與近的“區(qū)”很多，到底哪一類(lèi)是我們所要講的“”呢？就是“關(guān)于的對(duì)稱區(qū)間”如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)呢？的設(shè)，滿足不等式的全體實(shí)數(shù)的集合稱為點(diǎn)的其中點(diǎn)的空心的右和點(diǎn)的空心右U(a;、)二[a,a、)LU(a)U),a+)LU={x

xa蘭x<a+6};xavxca點(diǎn)的左和點(diǎn)的空心左U—(a;6)=(a—6,a][U_(a)={xa—6cx^a};U[(a;6)=(—U(a)={x—5xv.(M)；u(p)={xXAM},U(-°a)={xXV-M}、有界集與無(wú)界集11一個(gè)集.若存在S有上(下)界集.稱S若集S既有上界又有下界S有界集.閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間有限)、等都是有界集,集合也是有界集.若SS無(wú)界集.等都是無(wú)界集，集合也是無(wú)界集.注：1)上(下)界若存在不唯一；2S關(guān)系如何？看下例1集有界性1；.M,M>0..2123.:S:.、確與確原理1、2確SR中滿足1切有即S2存在使得即S中最小稱S確記作從中得出:確就中112.:必要性用反法.2立與中最小矛盾.分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié).2.3SR一個(gè)數(shù)集若數(shù)滿足：1對(duì)一切有S；2對(duì)任何存在S最大一個(gè)S記作.從可以出：就最大者.2要條件：1；2＞0v統(tǒng)稱為例31則1 ；0.2則1 ；0.注：非空有數(shù)集或唯一.命題3：數(shù)集有則這必唯一.明：且則妨設(shè)有對(duì).例：分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié).4.5.,,6,:,有或,,,,.,.. .3⑵做解釋.. 最值.1）最值必種臨點(diǎn)必（面）類(lèi)似4.:Th1.1（）..必；必...1210n.1,n .2 ,n .9,1210121.:P91(1),(2); 2;4(2)(4);7§3:§3教學(xué)目.教學(xué)要求:(1 深刻理解的定義以及復(fù)合和初等,熟悉的各種表示法;(2 牢記基本初等的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等的存在域,會(huì)分析初等的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn):的.教學(xué)難點(diǎn):初等教學(xué)方法:堂講引言關(guān)于，在中學(xué)節(jié)將對(duì)此作進(jìn)步討論.、的定義1.定義1 設(shè)，如果存在對(duì)應(yīng)法則，使對(duì)，存在唯的個(gè)之對(duì)應(yīng)，則稱是定義在上的，記作:D>M...2“”表示按法則建立到關(guān)系表示這兩個(gè)元素之間關(guān)系也.習(xí)慣上自變量因變量.有三個(gè)要素、法則和.當(dāng)確后便自然確基本要素兩個(gè)：和以也常表示由此我們兩個(gè)相同是指它們有相同和1）（不相同法則相同不同）2）（相同只是法則表達(dá)形式不同）用公式法（解析法）表示時(shí)自變量通常存（自然）.此時(shí)可省略不寫(xiě)而只用“”或“”.（4）“映射”觀來(lái)看本質(zhì)上是映射于映射下象.“單”若同可以多于則種多.本書(shū)討論單簡(jiǎn).表示方法主要方法：解析法公式法、列表法表格法和圖象法圖示法）可用“特殊方法”來(lái)表示.分段：在域不同部分用不同公式來(lái)表示 例如 符號(hào)借助于sgnx可表示即.用語(yǔ)言敘述.注意；以下不是分段例 1取整比如：[3.5]=3,[3]=3,3.5]=-4.常即.此關(guān)非負(fù)小圖形是條大鋸看.2xx雷Dirichlet_1x〔0,x無(wú)是病態(tài)很用處卻無(wú)法畫(huà)出圖形 .是周但卻沒(méi)最小周期事實(shí)上任理都是周期 .xxRiemmanI-,w+,二qq q,=1和1?、差、積如下:若XX值即令可商如下;注：1若貝y不能進(jìn)行2為敘述方便、差、積、商常分別寫(xiě)為:、復(fù)合1 .引言有些實(shí)際問(wèn)題中自變量因變量通過(guò)另外一些變量才建立起它們之間對(duì)應(yīng)關(guān)系例：質(zhì)量為m物體自由下落v,功率為抽去該問(wèn)題實(shí)際意我們得到把代入即得“復(fù)合”，所“復(fù)合”［問(wèn)題］任給兩個(gè)都可以復(fù)合嗎？考慮下例;就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見(jiàn)，復(fù)合前提條件是“內(nèi)”值域與“外”定義域交集不空（從而引出下面定義）定義（復(fù)合）對(duì)應(yīng)內(nèi)唯一一個(gè)值，而又通對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值，，它以自變量，因變量，記作或.簡(jiǎn)記.和復(fù)合，并外，內(nèi)，例子例求并求定義域.例⑴⑵則A.B.C.D.與能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合.說(shuō)明1）復(fù)合可由多個(gè)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個(gè)集上進(jìn)行？復(fù)合最終定義域是什么？.2..①②五、反.引言中叫做自量叫做因指出是自量地位并是絕對(duì)而是相對(duì)量但對(duì)來(lái)講，是因習(xí)慣上說(shuō)中是自量是因量是基于隨現(xiàn)時(shí)我們研究隨狀況研究隨我們引入反函2 概念R果由（則稱上是1-1.稱為滿.1-11-1.R1-11-1.1-1.,.f:X>YfJ:Y>X）.1-1.1-1"x, 0x cfx=丿3-x 1蘭xE2.:1-1.XX.、因互.RR.zy =z2-1z2zy _1=0）?.一是我們只1-1對(duì)應(yīng)就行了；二是.只是到1-1,由條件我們有2fx人 f區(qū)X21-1再..由再由條件唯一不動(dòng)點(diǎn)也不動(dòng)點(diǎn).性設(shè)是不動(dòng)點(diǎn)由唯一性,不動(dòng)點(diǎn).唯一性設(shè)=...D .3、aDb.f4(x),xf(D).已 ?圖形 坐標(biāo)系畫(huà)出時(shí)差別.六、初等基本初等（6類(lèi)）數(shù)C；..2.+sup'ar

為有理｛，當(dāng) a *=?a far當(dāng)l時(shí).rL_r<xX.[]“是存呢”初等3.由初等經(jīng)過(guò)限次四則運(yùn)算統(tǒng)稱初等.Dirichlet、Riemann、取整都.注本課程研究此除對(duì)基本圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外還應(yīng)常握確定2.求下列定義域.(1) ；(2)幾個(gè)特例:設(shè)和都,則1)為2,,f(x)f(x)n）g(x)lnf(x):3;4:(2(3); 5:; 7:11§4§4....:..“”似先談?wù)勆虾?11DDD.1D2DM D.11111“”類(lèi)比出“”DxxDxx既xxDxxxxDxx.22D.正M,,D上.1幾D圖象完全落和之間；2DxxDxx既xx子(3)D31,.0,,.2..3.D.1(2).4,有f(x)

5x~2~2x+3

5x5x5—2——--=2x+3 2/6|x..2422= l524f(x)55x2x23f(x)55x2x2353tgt3'2tg2t15sint16costsect2 326

sin2t—產(chǎn).2/6、單調(diào)函數(shù)3D，（1）SDD（2）DD例5．證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)，如，則如，則故即得證.例6．討論函數(shù)在上的單調(diào)性.，當(dāng)時(shí)，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)格增函數(shù).注：1）單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無(wú)自交點(diǎn)或無(wú)平行于軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理1．設(shè)為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù).證明：設(shè)在上嚴(yán)格增函數(shù).對(duì).下面證明這樣的只有一個(gè).事實(shí)上，對(duì)于內(nèi)任一由于在上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，總之.即，從而例7討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性；如果在上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān)8證明：當(dāng)時(shí)在R 上嚴(yán)格增，當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)格遞減.4.DD.D2D.12.1D.2..因“基本”法最小最小“基本”簡(jiǎn)“”.任給既基本周1,2C 常任何正都它.第二章引言了掌握變量變化規(guī)律往往需它變化過(guò)程來(lái)判斷它變化趨勢(shì).例這么變量它開(kāi)始1,然后去雖然無(wú)盡止但它變化趨勢(shì)這趨勢(shì)就它變化過(guò)程越來(lái)越接近零.我們就這變量極限0.、、積、.xx...“”字.里臨著“”樣對(duì)矛.xx矛.地“”.小.XXln=2nRsin—n.斷?xx著xx.近.樣....明..國(guó)xxxx早第3世紀(jì)提稱“割術(shù)”.——割.其“”.除之外象梯計(jì)均源“”.必要對(duì)§1 ...xx....1“”但這“”任意而規(guī)律次性具體可如下；若函域全體整集合則稱.12.21234）1“尺之棰日取其半部分xx出如下單位尺1，2，3，第天截下,得到:

xxXX竭”.把每天截下難出通項(xiàng)隨著無(wú)增大而無(wú)地接近零般地若當(dāng)無(wú)增大時(shí)能無(wú)地接近某稱此收斂常稱它.具有種特性收斂或稱發(fā)散.0..“”法并不嚴(yán)格定義而僅是一種“描述性”法如何用學(xué)語(yǔ)言把析.為例觀察該具下特性：隨著無(wú)增大無(wú)地接近1無(wú)增大1減少隨著無(wú)增大無(wú)減少會(huì)任意小只女口：使只即使只即；任給無(wú)論多么小正會(huì)存在一項(xiàng)從該項(xiàng)之后， 即當(dāng)時(shí).如何找N?（或存在嗎？）解學(xué)式子即得：取即可 這樣當(dāng)時(shí).綜所述通項(xiàng)隨無(wú)增大無(wú)接近1,即總存在正整當(dāng)時(shí)有.即1精確定義記作或.定義1為實(shí),若對(duì)任給正總存在正整則稱實(shí)稱為并記作或.（讀作:當(dāng)趨等或趨）取正整以在若沒(méi)有則稱不或稱為.？1.|0|<<.N=則當(dāng)n>N|-0|=<<2.（），3.124.5：n(n-1)(n-2)§33!n20:::

6n2

6n“

6n4 241 14n 27n(n-1)(n

27(n_1)(n_2)

27n

27n nBernoulli或0va—1=‘0va—1=‘a(chǎn)n-1-11=,a-1an、n-1?、2-1因此則當(dāng)即附此題請(qǐng)以下的錯(cuò)誤做n=1、n)n 1n=nn1—=1_丄；1_；n n n趨零&由于有由于（ *）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取，當(dāng)時(shí)就有 即總結(jié)用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬ft真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過(guò)份.4關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）關(guān)于：① 的任意性.定義 1中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通 項(xiàng)與常數(shù) 的接近程度，越小，表示接近得越好；而正數(shù)可以任意小， 說(shuō)明與常數(shù)可以接 近到任何程度；②的暫時(shí)固定性.盡管有其任意性， 但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確 定下來(lái)，以便依靠它來(lái)求出；③的性.是任意小的正數(shù)，等等，是任意小的正數(shù)，定義 1中的不等式中的可用等來(lái).而“可用 “；正由于是 任意小正數(shù)，可以限定小于一確定的正數(shù) .（2） 關(guān)于：① 應(yīng)性，一地，的變小而變大，常把定 作，來(lái) 是依于的；一經(jīng)給定，就可以到一；②性 .的 應(yīng)性不意味是由一確定的，給定的，若時(shí)能使得當(dāng)時(shí) ,有,則或更大的數(shù)時(shí)不等式自然成立 .所以不是一的 .事實(shí)上，在 許場(chǎng)合下，最重要的是的存在性，而不是它的有大 .基于， 在實(shí)際使用中的不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把“改 “無(wú)妨 .（3） 數(shù)列極限的幾何理解：在 定義 1xx,“當(dāng)時(shí)有“當(dāng)時(shí)有”“當(dāng)時(shí)有所有下標(biāo)大于的項(xiàng)都落在鄰域內(nèi)；而在之外，數(shù)列 xx的項(xiàng)至只有（有限） .反之，任給，若在之外數(shù)列 xx的項(xiàng)只有有 限設(shè)這有限項(xiàng)的最大下標(biāo)，則當(dāng)時(shí)有，即當(dāng)時(shí)有，由寫(xiě)出 數(shù)列極限的一種等價(jià)定義（鄰域定義）： 定義 任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限，則稱數(shù)列收斂于 極限.1）2），收斂性和極限都不會(huì)發(fā)生影響.1.2..3.證2..2.1.P273,4,5,7,8.§2 §2 .目熟悉；掌握求常用方法求（1）使生解并能唯局部界保號(hào)保不式;（2）掌握并會(huì)四運(yùn)算迫,并會(huì)用這些求某些.點(diǎn)迫及四運(yùn)算法及應(yīng)用.“”定義，并通過(guò)例題說(shuō)明了驗(yàn)證，這是較基本內(nèi)容，要求掌握.為了習(xí)技巧及其應(yīng)用極來(lái)解決問(wèn)題.還需要對(duì)性質(zhì)作一步討論.一、收斂性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性） 若收斂，則它唯-證一假設(shè)都是，則由a-（n&-a卜&&”2；由任意性，式僅當(dāng)時(shí)才成證二（反證）假設(shè)不唯一，即至少有兩個(gè)不相等值，設(shè)為，且故不妨設(shè)，取由定義，，當(dāng)時(shí)有又，當(dāng)時(shí)有2（有界性）如果收斂，則必為有界設(shè)即令①性只是收斂的必要條件而非充分條件如②在證明必須分清何用定何3.2定不能用任給否隨在變找到的也隨在變的意義就不明3（保序性）設(shè)1）若存在212⑴知必這與已知矛盾推論保號(hào).特別地貝打與同號(hào)思考把上述定理中的換成能否把結(jié)論改成？例設(shè)保序定理可得S,,S,,aan4四運(yùn)算法、都收斂貝S、、也都收斂且 別地為常數(shù)再也收斂且于故只須關(guān)于和積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論即可設(shè)；.1）2）xx..5、、且證明；以與已即.anaaaa aaak0::: n! 1 2kk+1nk!n…是正S迫性1：在中令此此看和2.1:1..;3：解4：解例5：11=(lim3 lim—)(lim1 lim—)=31=3n nn例

)nn nn6：K式原1如7：8:.1、引言..！ 出“整”特征角度對(duì)進(jìn)行研究.那如果“整體無(wú)序”“部”否也無(wú)序如果“部”序可否“部”來(lái)推斷整體性質(zhì)簡(jiǎn)而言， 否部”來(lái)把握“整體”“部”就要講“ XX”.2、子定義1為正整集無(wú)子集且則3f^丨112稱為XX1XX各項(xiàng)都來(lái)自且保持些項(xiàng)中中取無(wú)多項(xiàng)按照其中順序排成就XX（或XX中順次取無(wú)多項(xiàng)成）2中中項(xiàng)中k中k中項(xiàng).特地.注3項(xiàng)后稱為;XXXX稱為XX.如都XX.由XX同為收 斂或發(fā).2.8XX給存正N,使得當(dāng)由于故當(dāng)從而也這就了（）．分考慮XX.按假它們.由于既XX，故由剛才（9）既樣可得（10）（9）式（10）式給出7由2.8可見(jiàn)若XX則所XX于一個(gè).于若XX或XX而不等則一發(fā).例如其偶項(xiàng)組成XX1,而奇項(xiàng)組成XX于從而發(fā).再如它奇項(xiàng)組成XX為XX發(fā)故發(fā).由可見(jiàn)28判斷發(fā)力工具.§3 存教學(xué)內(nèi)容第二章—§3 存教學(xué)目使學(xué)生掌握判斷存常用工具.12CauchyCauchy.、Cauchy及其.難相關(guān).方法程序：引言研究比較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)通常分兩來(lái)決先該是否有存問(wèn)題若再考慮如何計(jì)算值計(jì)算問(wèn)題.這是兩基本問(wèn)題.實(shí)際決了存問(wèn)題之后即使值計(jì)算較為困難但由于當(dāng)充分大時(shí)能充分接近其故可作為本節(jié)將討存問(wèn)題為了確個(gè)是否當(dāng)然可能將個(gè)實(shí)本法是接本來(lái)作.可若為但之即.如?但觀看來(lái)若又隨 n增大減少而增 .——單調(diào).、單調(diào)各項(xiàng)滿足不等式則遞增遞減統(tǒng)單調(diào)．例如：遞；遞增；不是單調(diào).二、單調(diào)定理〔問(wèn)題〕1單調(diào)定嗎？；2定單調(diào)嗎？如果僅是單調(diào)不足以保證但若既單調(diào)又以面定理單調(diào)定理實(shí)系中且單調(diào)必2.12#1……，,……..而端除以得 ,得對(duì)等式邊取則有2因?yàn)檎虼巳?2:為記則后遞減又為3.4；\,limXn?XX1——XX.2CauchyC auchy任存正整使當(dāng)時(shí).“”存貝打當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)有先性,特別地時(shí)XXn n =a—aa ?.—22n n N1 “’故()3Cauchy題 .CauchyCauchy:.“擠”起.c） Cauchy把a(bǔ)換成與.其好處數(shù)外a,只要根據(jù)身特征就鑒別其（）（發(fā)）散.例如（）且證.證令|an1-an

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2n1a21q&-a_1q|?-|n1p■|an—anan.p'an.pj.1'ana2| |an1—an|pcqn2qn=c1q? q

」n1-q...^_衛(wèi)mm mm m且 .45.an-p_an

++…+^p_< +…+］10n+10^ 10n4p—10n4\10丿6.下節(jié)進(jìn)行.7：89：［作業(yè)］教材P38-391，3，5，6，10，11；教材P40-411 (1)(3)，3,4(1)-(3)(6)(8) ，5,10.(P3834)提示考慮用雙逼原理可求得)附單調(diào)有界法欣賞Cauchy1789—1857,Rieman(1826—1866)先Riemann,得x =1n 1n(n—1) 1n(nn n2! n2 3!

n(n-1) 321n!/?n0xn

11112 3!n! 12 23 (n-1)n..Bernoulli）Bernoulli,1」x 1」n1

n22n \nn2+2n+1丿Bernoulli,有/.\,(11n1(n 1、 1 1+丄 / 2 亠 ，n1n n

n+2n+12yn1

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ln+2n丿一n+2 n1 '、n一n+2 Bernoulli）\..<n—<n—11=：Xn,/,=,?由AW<1,二<nAnn《）/?.《1991.M 1”.

1980.M 4P22.xx-an1b —a

n 1bn.,）:TheAmericanMathematicalMonthly》1974.Vol81.M 9P10—11........xxxf(x)x7|0,x=0.，..、運(yùn)算、證明方法上都.F面就依次討論些概念一一概念教學(xué)目：掌握分析能夠用分析證明和計(jì)算.教學(xué)求：掌握當(dāng)分析分析證明和計(jì)算簡(jiǎn)單.教學(xué)建議：.1A ..0;..“”.[問(wèn)題]給它精確?,精確2. 1實(shí).若給存使得.3、（1）1xxxxxxn.”示在右方曲全部落在如果給得小一即更窄一那么一般往右移無(wú)論帶如窄總存在使得曲在右邊個(gè)更窄內(nèi).現(xiàn)在上函若函值能無(wú)地于常則稱別.種函精確1仿簡(jiǎn)寫(xiě)如下.推論設(shè)在上函則4.=A1.212、時(shí)函數(shù)1、引言上節(jié)討論函數(shù)當(dāng)時(shí)為在上在上，考慮時(shí)是否趨于某個(gè)本節(jié)假為在點(diǎn)某個(gè)空心鄰域內(nèi)函數(shù)，.現(xiàn)在討論當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個(gè)A數(shù)列.先看下面幾個(gè)子：1.（是在上函數(shù)，當(dāng)時(shí)，）2.（是在上函數(shù)，當(dāng)時(shí)，）3.（是在上函數(shù)，當(dāng)時(shí)，）由上述子可見(jiàn)，對(duì)有些函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值能趨于某個(gè)A但對(duì)有些函數(shù)卻無(wú)此性質(zhì).所以有必要來(lái)研究當(dāng)時(shí)，我們稱上述第一類(lèi)函數(shù)為當(dāng)時(shí)以為描述性說(shuō)法一樣，這是一種描述性數(shù)學(xué).那么如何給出這類(lèi)函數(shù)..22A .31.2..——；但一經(jīng)之后暫把看不.便通尋找成立.二——暫固.尋找常；另外正均正均扮演角色.也三——多；3它列N .它應(yīng).之應(yīng)所依賴而適選取之；般.但求.——多值.（4）在定義中只函在某空心鄰域內(nèi)有定義而般在處函值否存在或者取什么樣值.為對(duì)于函極限我們所研究當(dāng)趨于過(guò)程中函變化趨勢(shì)與函在該處函值無(wú)關(guān).所以以考慮在點(diǎn)a函值否存在或取何值而限定“”.（5）定義中式；.從而定義2當(dāng)時(shí)