代數(shù)方程復(fù)習(xí)教師版講義

..Word資料Word資料.Word資料基本容代數(shù)方程復(fù)習(xí)知識(shí)精要基本概念：一元整式方程：方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式。二項(xiàng)方程：一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊為零的方程。其一般式為Ax^n+b=0(其中a≠0,b≠0,n為正整數(shù)).雙二次方程:只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程.其一般形式為:ax^4+bx^2+c=0(a≠0)無(wú)理方程：方程中含有根式,并且被開(kāi)方數(shù)含有未知數(shù)的代數(shù)式.二元二次方程組:僅含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為2的整式方程.整式方程的解法一元一次方程和一元二次方程的解法含字母系數(shù)的整式方程的解法特殊的高次方程的解法（1）二項(xiàng)方程axnb0(a0,b0)的解法二項(xiàng)方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另外一邊是零，那么這樣的方程叫做二項(xiàng)方程。關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式是axnb0(a0,b0,n是正整數(shù))二項(xiàng)方程的解法及根的情況：b一般地，二項(xiàng)方程axnb0(a0,b0)可變形為xna可見(jiàn)，解一元n次二項(xiàng)方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)已知數(shù)的n次方根，運(yùn)用開(kāi)方運(yùn)算可以求出這個(gè)方程的根。二項(xiàng)方程的根的情況：對(duì)于二項(xiàng)方程axnb0(a0,b0)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程只有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab0，那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；如果ab0，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。雙二次方程的解法雙二次方程的定義：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程，叫做雙二次方程。關(guān)于x的雙二次方程的一般形式是ax4bx2c0(a0)雙二次方程的解法：可以用“換元法”解形如ax4bx2c0(a0,b0,c0)的雙二次方程。就是用y代替方程中的x2，同時(shí)用y2代替x4，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程ay2+by+c=0。解這個(gè)關(guān)于y的一元二次方程即可。因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對(duì)有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時(shí)要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解?？苫癁橐辉畏匠痰姆质椒匠痰慕?．適宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通過(guò)方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程來(lái)解。解分式方程要注意驗(yàn)根！2.適宜用“換元法”的分式方程適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項(xiàng)與一次項(xiàng)相同的，采取同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的未知項(xiàng)呈倒數(shù)關(guān)系的，可采取倒數(shù)換元法無(wú)理方程的解法解無(wú)理方程的基本思路是把無(wú)理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對(duì)有些特殊的無(wú)理方程，可以用“換元法”解。解無(wú)理方程一定要驗(yàn)根！在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)下面兩種無(wú)理方程的解法。1.只有一個(gè)含未知數(shù)根式的無(wú)理方程當(dāng)方程中只有一個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使這個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。2.有兩個(gè)含未知數(shù)根式的無(wú)理方程當(dāng)方程中有兩個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使乙個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊，另外一個(gè)二次根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。3.適宜用換元法解的無(wú)理方程如果無(wú)理方程中，二次根式里面的未知項(xiàng)和二次根式外面的未知項(xiàng)相同，可以使用換元法來(lái)解。一、鞏固訓(xùn)練：已知下列關(guān)于x的方程：（1）x25x10; (2)x25x10;1(3)x170; 1 x(4)a12x7; (5)x2; (6) 3.x x3 2x其中無(wú)理方程是_______________，分式方程的是_________________整式方程的是___________。二、熱身練習(xí)解下列方程：(1)bx2x21(b1)(2)6x3181(3)(y2)4170（4）x4-9x2+14=0 6x 5 x4 3x x217(5)（6）x21x1x1x21x21x12,x2,x12 3 2（7）32x3x;（8）x2x1.1x2x4x2xy6y20（9） x28xy16y24 6 x7 x2 y2 y1 7三、列方程解應(yīng)用題1、小杰與小麗分別從相距27千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，3小時(shí)后相遇.，相遇后兩人按原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)，小杰到達(dá)B地比小麗到達(dá)A地早1小時(shí)21分，求兩人的行進(jìn)速度分別是多少？解：小杰的速度為x千米/小時(shí)，小麗的速度為y千米/小時(shí)3x3y27 x527 2127解得 x160y y4精解名題例題1.解下列關(guān)于x的方程(3a-2)x=2（3-x）（2）bx2-1=1-x2（b≠-1）解（1）去括號(hào)，得3ax-2x=6-2x移項(xiàng)，得3ax-2x+2x=6合并同類(lèi)項(xiàng)，得3ax=6※2當(dāng)a≠0時(shí)，方程※是一元一次方程，解得x；a當(dāng)a=0時(shí)，方程※變成0·x=6，這時(shí)不論x取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程無(wú)解。2所以，當(dāng)a≠0時(shí)，原方程的根是x；當(dāng)a=0時(shí)，原方程無(wú)解。a移項(xiàng)，得bx2+x2=1+1合并同類(lèi)項(xiàng)，得（b+1）x2=2因?yàn)閎≠-1，所以b+1≠02兩邊同除以b+1，得x2 ※b12b2當(dāng)b+1＞0時(shí)，由方程※解得x；b12當(dāng)b+1＜0時(shí)，方程※中0，這時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。b1 2b2 2b2所以，當(dāng)b+1＞0時(shí)，原方程的根是x，x；1b12b1當(dāng)b+1＜0時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例題2.判斷下列方程是不是二項(xiàng)方程，如果是二項(xiàng)方程，求出它的根。（1）x3-64=0（2）x4+x=0（3）x5=-9（4）x3+x=1解：（1）、（3）是二項(xiàng)方程，（2）、（4）不是二項(xiàng)方程。下面解方程（1）、（3）：（1）移項(xiàng)，得x3=64開(kāi)方，得x364即x=4（3）開(kāi)方，得x59即x59例題3.解下列方程：2x3+7x2-4x=0（2）x3-2x2+x-2=0解：（1）方程左邊因式分解，得x(2x2+7x-4)=0x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=01∴原方程的根是x=0，x=-4，x=2注意：不要漏掉x=0這個(gè)根!方程左邊因式分解，得(x3-2x2)+(x-2)=0x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0即x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得x=2方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根所以，原方程的根是x=2 2x1 3x例4解方程： 2 x 2x12x1解：解：設(shè)y，則原方程化為y22y30x解得y3,y1當(dāng)y3時(shí)，得x1 1 2 11 1當(dāng)y1時(shí)，得x,經(jīng)檢驗(yàn)，x1，x是原方程的解。 1 3 1 23 1 1 1 1例5、解方程 x2x4x1x35解：（x）2例題6解下列方程：（1）x222x10（2）x2x1（1）原方程可變形為x222x1兩邊平方，得x2-2=2x+1整理，得x2-2x-3=0解得x=-1,x=3 1 2經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是x=3例題7解方程2x22x43x26x4解：設(shè)x22x4=y，則3x2-6x+12=3y2，則3x2-6x=3y2-12原方程化為2y=3y2-12+4整理，得3y2-2y-8=04解得y=2，y=1 2 3當(dāng)y=2時(shí)，x22x4=2，x22x4=4，解得x=0或x=2；44y=時(shí)，x22x4=，次方程無(wú)解。33經(jīng)檢驗(yàn)，x=0，x=2都是原方程的根。所以，原方程的根是x=0，x=2 1 2例8、求滿足條件x25xy6y2x2y2x11y20的x，y的值x25xy6y20解：根據(jù)題意，可得方程組 得x2y2x11y20 2 3x151,yx224,x315,xy431y2 x 41 5 3 5例9．列方程解應(yīng)用題A，B兩地盛產(chǎn)柑桔，A地有柑桔200噸，B地有柑桔300噸．現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從A地運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，A、B兩地運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為y元和y元．A B請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表后分別求出y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；AABCD總計(jì)Ax噸200噸B300噸總計(jì)240噸260噸500噸倉(cāng)庫(kù)產(chǎn)地試討論A，B兩地中，哪個(gè)運(yùn)費(fèi)較少；解：26．（1）解：CD總計(jì)Ax噸(200)x噸200噸B(240)x噸(60)x噸300噸總計(jì)240噸260噸500噸倉(cāng)庫(kù)產(chǎn)地y5x5000(0≤x≤200)，Ay3x4680(0≤x≤200)．B（2）當(dāng)yy時(shí)，5x50003x4680，x40； A B當(dāng)yy時(shí)，5x50003x4680，x40； A B當(dāng)yy時(shí)，5x50003x4680，x40． A B當(dāng)x40時(shí)，yy即兩地運(yùn)費(fèi)相等； A B當(dāng)0≤x40時(shí)，yy即B地運(yùn)費(fèi)較少； A B當(dāng)40x≤200時(shí)，yy即A地費(fèi)用較少． A B..Word資料Word資料.Word資料例10.如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不超過(guò)45m），用80m長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)矩形場(chǎng)地．⑴怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750m2?⑵能否使所圍矩形場(chǎng)地的面積為810m2，為什么? ∵墻的長(zhǎng)度不超過(guò)45m，∴ 不合題意，應(yīng)舍去．解：⑴設(shè)所圍矩形ABCD的長(zhǎng)AB為x米，則寬AD為米．解：⑴設(shè)所圍矩形ABCD的長(zhǎng)AB為x米，則寬AD為米．依題意，得即，解此方程，得當(dāng)時(shí)，⑵不能．因?yàn)橛傻糜帧撸?－80)2－4×1×1620=－80＜0，∴上述方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．因此，不能使所圍矩形場(chǎng)地的面積為810m2鞏固練習(xí) x 2解方程： 1x1x1分析：首先要確定各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘，解完后記著要驗(yàn)根解：方程兩邊都乘以(x1)(x1)，得x2x2(x1)(x1)(x1)，x3 經(jīng)檢驗(yàn)：x3是原方程的根x1x6x2x5解方程 x2x7x3x6分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個(gè)分式的分母發(fā)現(xiàn)(x6)(與x7)(、x2)(與x3)的值相差1，而分子也有這個(gè)特點(diǎn)，因此，可將分母的值相差1的兩個(gè)分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個(gè)分式，利用分式的等值性質(zhì)求值。x6x5x2x1解：原方程變形為： x7x6x3x2方程兩邊通分，得 1 1(x6)(x7)(x2)(x3)所以(x6)(x7)(x2)(x3) 即8x369x29經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的根是x。2 6y12 y24 y23.解方程： 0y4y4y24y4y24分析：此題若用一般解法，則計(jì)算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。 6(y2)(y2)(y2) y2解：原方程變形為： 0 (y2)2 (y2)2 (y2)(y2)6y2y2約分，得0y2y2(y2)(y2)方程兩邊都乘以(y2)(y2)，得6(y2)(y2)2y20整理，得2y16y8 經(jīng)檢驗(yàn)：y8是原方程的根。注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識(shí)。因此要學(xué)會(huì)根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用特殊方法解分式方程。 2x m1x14．若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（）x1xxxA.1或2B.1或2C.1或2 D.1或2分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：x0或x1，化簡(jiǎn)原方程為：2x2(m1)(x1)2，把x0或x1代入解得m1或2，故選擇D。甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種60棵所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)？分析：利用所用時(shí)間相等這一等量關(guān)系列出方程。解：設(shè)甲班每小時(shí)種x棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種（x+2）棵樹(shù)，6066由題意得：xx260x12066xx20 經(jīng)檢驗(yàn)：x20是原方程的根x222答：甲班每小時(shí)種樹(shù)20棵，乙班每小時(shí)種樹(shù)22棵。說(shuō)明：在解分式方程應(yīng)用題時(shí)一定要檢驗(yàn)方程的根。輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度分析：在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是“船實(shí)際速度=水速+靜水速度”，有順?biāo)?、逆水，取水速正、?fù)值，兩次航行提供了兩個(gè)等量關(guān)系。解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，水流速度為y千米/小時(shí) 80 42xyxy7由題意，得 40707xyxyx17解得：y3 x17 經(jīng)檢驗(yàn)： 是原方程的根y3答：水流速度為3千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為17千米/小時(shí)。 2 mx 3m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 會(huì)產(chǎn)生增根？x2x4x2解：方程兩邊都乘以x24，得2x4mx3x6整理，得(m1)x1010當(dāng)m1時(shí)，xm1如果方程產(chǎn)生增根，那么x240，即x2或x210若x2，則2m4m110若x2，則2m6m1依題意有．整理得．依題意有．整理得．解得．時(shí)，，舍去．說(shuō)明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根某車(chē)間要生產(chǎn)220件產(chǎn)品，做完100件后改進(jìn)了操作方法，每天多加工10件，最后總共用4天完成了任務(wù)．求改進(jìn)操作方法后，每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：設(shè)改進(jìn)操作方法后每天生產(chǎn)件產(chǎn)品，則改進(jìn)前每天生產(chǎn) 件產(chǎn)品．或．答：改進(jìn)操作方法后每天生產(chǎn)60件產(chǎn)品自我測(cè)試甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽車(chē)，又過(guò)b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車(chē)的速度（） S Sav Sav 2SB.C.D.abbabab 2 m如果關(guān)于x的方程1有增根，則m的值等于（）x3x33B.2C.1D.3解方程： 1 1 1 1（1） …2x10()x1(x2)(x2)(x3) (x9)(x10) x x 2x 4x （2） 01x1x1x21x42x9124.求x為何值時(shí)，代數(shù)式的值等于2？x3x3x5.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做1天后，再由兩隊(duì)合作2天就完成2了全部工程。已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的，求甲、乙3兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？參考答案由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車(chē)的路程為（Sav）千米。Sav又已知乘車(chē)的時(shí)間為b小時(shí)，故汽車(chē)的速度為千米/小時(shí)，應(yīng)選B。b把方程兩邊都乘以x3，得2x3mx5m..