激光工作物質(zhì)及基本原理

關(guān)于激光工作物質(zhì)及基本原理第一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2§2.1黑體輻射與普朗克公式普朗克能量子假說(shuō)黑體輻射第二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3熱輻射現(xiàn)象熱輻射現(xiàn)象是是物體由于自身溫度高于環(huán)境溫度（分子、原子受到熱激發(fā)）而產(chǎn)生的向外輻射電磁波的現(xiàn)象。物體在任何溫度下都會(huì)輻射能量。并且其輻射能量的大小及輻射能量按波長(zhǎng)的分布都與溫度有關(guān)。物體既會(huì)輻射能量，也會(huì)吸收能量。物體在某個(gè)頻率范圍內(nèi)發(fā)射電磁波能力越大，則它吸收該頻率范圍內(nèi)電磁波能力也越大。輻射和吸收的能量恰相等時(shí)稱(chēng)為熱平衡。此時(shí)溫度恒定不變。第三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4黑體與黑體輻射絕對(duì)黑體是指在任何溫度下，全部吸收任何波長(zhǎng)的輻射的物體。絕對(duì)黑體是一種理想的模型，開(kāi)有小孔的不透光空腔可視成黑體。絕對(duì)黑體既是完全的吸收體，也是理想的發(fā)射體。小孔的不透光空腔第四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二5黑體熱輻射能譜實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

每一條曲線(xiàn)都有一個(gè)極大值。

隨著溫度的升高，黑體的單色輻出度迅速增大，并且曲線(xiàn)的極大值逐漸向短波方向移動(dòng)。第五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二6維恩（Wien）位移定律在短波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好，但長(zhǎng)波卻不行。瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans）定律在長(zhǎng)波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較吻合。但在紫外區(qū)竟算得單色輻出度為無(wú)窮大—所謂的“紫外災(zāi)難”。利用經(jīng)典理論無(wú)法解釋黑體輻射現(xiàn)象。正如1900年開(kāi)耳文指出的晴朗的物理學(xué)理論大廈上空，飛來(lái)“兩朵烏云”之一，它動(dòng)搖了經(jīng)典物理的基礎(chǔ)。T=1646K實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)Wien理論Rayleigh-Jeans第六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二71900年，德國(guó)物理學(xué)家普朗克（Plank）提出量子假說(shuō)1918年獲Nobel獎(jiǎng)）：式中：k為玻爾茲曼常數(shù)，h稱(chēng)為普朗克常數(shù)。普朗克能量子假說(shuō)T=1646K普朗克理論值實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)空腔輻射體的單色輻出度與波長(zhǎng)的能譜曲線(xiàn)第七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二8Plank量子假說(shuō)對(duì)黑體輻射的解釋絕對(duì)黑體空腔內(nèi)的光以駐波的形式存在，并且空腔中的駐波是一系列的諧振子，只能取一些分立的能量，即，Plank常數(shù)h＝6.626×10-34J·S其中，單位體積內(nèi)頻率在υ到υ+dυ之間的駐波數(shù)為空腔內(nèi)每一個(gè)駐波，即每一個(gè)諧振子的平均能量為因此黑體輻射的單色輻照度即單位體積單位頻段內(nèi)輻射的能量為：第八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二9§2.2光和物質(zhì)的三種相互作用及愛(ài)因斯坦關(guān)系式受激輻射受激吸收自發(fā)輻射第九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二10一.自發(fā)輻射處于高能級(jí)的激發(fā)態(tài)原子激發(fā)態(tài)原子自發(fā)的從高能級(jí)躍遷到低能級(jí)釋放光子自發(fā)輻射具有偶然性，是一種只與原子本身特性有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。第十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二11自發(fā)輻射躍遷幾率A21

定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)高能態(tài)上的原子（設(shè)為n2個(gè)）中發(fā)生自發(fā)輻射的原子數(shù)(dn21/dt)sp與n2的比值，也稱(chēng)為自發(fā)輻射愛(ài)因斯坦系數(shù)?？梢宰C明，A21為原子在E2能級(jí)上平均壽命（自發(fā)輻射壽命）τs的倒數(shù)，即第十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二12二.受激吸收外來(lái)光子通過(guò)處于低能級(jí)的原子系統(tǒng)原子吸收光子hυ從低能級(jí)躍遷到高能級(jí)受激吸收不僅與原子本身特性有關(guān)，同時(shí)還受來(lái)自輻射光場(chǎng)的影響。第十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二13

受激吸收躍遷幾率W12

定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間從低能級(jí)向高能級(jí)躍遷的原子數(shù)與低能級(jí)原子數(shù)n1的比值，即W12另一表示公式：B12為受激吸收愛(ài)因斯坦系數(shù)，為輻射光場(chǎng)的能量密度第十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二14三.受激輻射外來(lái)光子經(jīng)過(guò)處于高能級(jí)的激發(fā)態(tài)原子系統(tǒng)高能級(jí)原子受激發(fā)躍遷到低能級(jí)輻射出光子hυ，產(chǎn)生光放大第十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二15

受激輻射躍遷幾率W12

定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間從高能級(jí)向低能級(jí)發(fā)生受激輻射躍遷的原子數(shù)與高能級(jí)原子數(shù)的比值，即W21另一表示公式：B21為受激輻射愛(ài)因斯坦系數(shù)，為輻射光場(chǎng)的能量密度第十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二16四.愛(ài)因斯坦關(guān)系式根據(jù)粒子數(shù)守恒與plank黑體輻射能量密度公式導(dǎo)出愛(ài)因斯坦關(guān)系式g1和g2為原子處于能級(jí)E1和E2的幾率第十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二17§2.3譜線(xiàn)加寬及譜線(xiàn)寬度綜合加寬均勻加寬線(xiàn)型函數(shù)非均勻加寬第十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二18自發(fā)輻射功率是頻率的函數(shù)自發(fā)輻射的中心頻率為υ0，在υ~υ+dυ范圍內(nèi)的自發(fā)輻射功率為P(υ)dυ

，于是自發(fā)輻射總功率P為線(xiàn)型函數(shù)圖2.3自發(fā)輻射的頻率分布線(xiàn)型函數(shù)的定義：第十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二19譜線(xiàn)半寬Δυ即譜線(xiàn)加寬的線(xiàn)寬為：半極大值對(duì)應(yīng)的頻率差值（參見(jiàn)右圖）線(xiàn)寬第十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二20一.均勻加寬1.自然加寬根據(jù)經(jīng)典電子理論，原子可以視為電偶級(jí)子當(dāng)正負(fù)電子中心做頻率為0的相對(duì)諧振運(yùn)動(dòng)時(shí)候，電偶級(jí)子就會(huì)發(fā)射頻率為0的電子波，由于電偶級(jí)子發(fā)射電磁波的同時(shí)，本身的能量隨時(shí)間t指數(shù)衰減，因此電磁波在空間的電矢量為：做傅立葉變換，得到頻域內(nèi)的振幅第二十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二21電偶級(jí)子發(fā)出的光強(qiáng)與其振幅平方成正比。因此頻率在～+d之間自發(fā)輻射功率為根據(jù)式（2.23）及線(xiàn)寬的定義，可得自然加寬的線(xiàn)寬根據(jù)線(xiàn)型函數(shù)的定義，可得自然加寬的線(xiàn)型函數(shù)第二十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二由歸一化條件可得積分A=γ-1

第二十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二23從量子理論出發(fā)，推導(dǎo)阻尼系數(shù)與自發(fā)輻射壽命s之間的關(guān)系，并得到線(xiàn)寬設(shè)t=0為初始時(shí)刻，E2能級(jí)上的原子數(shù)密度n2=n20，t＞0時(shí)，n2將減少，假設(shè)n2的減少僅僅由自發(fā)輻射引起，則對(duì)比(2.24)和(2.25)，得因此自然加寬線(xiàn)寬又可寫(xiě)為積分得到，每躍遷一個(gè)原子即可發(fā)射一個(gè)光子，因此自發(fā)輻射功率為根據(jù)經(jīng)典諧振子模型，多個(gè)諧振子輻射功率功率隨時(shí)間變化為第二十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二24自然加寬線(xiàn)型函數(shù)為洛侖茲線(xiàn)型：圖2.4自然加寬洛侖茲線(xiàn)型函數(shù)當(dāng)＝0時(shí)，線(xiàn)型函數(shù)值為：第二十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二252.碰撞加寬大量原子或分子的無(wú)規(guī)則碰撞使粒子振蕩偏離了諧振子振蕩，進(jìn)而導(dǎo)致粒子發(fā)射的電磁波中斷產(chǎn)生不完全波列，引起光譜線(xiàn)的進(jìn)一步加寬，這種加寬即為碰撞加寬。碰撞加寬的線(xiàn)型函數(shù)與線(xiàn)寬在氣壓不太高時(shí)，碰撞加寬線(xiàn)寬與氣壓成正比第二十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二263.均勻加寬線(xiàn)型函數(shù)與線(xiàn)寬氣體介質(zhì)中均勻加寬包括自然加寬和碰撞加寬，其線(xiàn)型函數(shù)為洛侖茲線(xiàn)型。晶體介質(zhì)中均勻加寬除了自然加寬外，還存在晶格熱振動(dòng)加寬。（2.32）第二十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二27二.非均勻加寬非均勻加寬機(jī)制指的是介質(zhì)中每個(gè)發(fā)光的原子只是對(duì)光譜線(xiàn)內(nèi)的某一特定的頻率有貢獻(xiàn)，即非均勻加寬譜線(xiàn)上某一頻率范圍的光只與某些特定的原子有關(guān)。氣體介質(zhì)中非均勻加寬主要是多普勒加寬。固體介質(zhì)中的非均勻加寬主要是晶格缺陷加寬。第二十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二28式中規(guī)定：當(dāng)原子朝著接收器運(yùn)動(dòng)（或沿光傳播方向運(yùn)動(dòng)）時(shí)，

z＞0；反之，當(dāng)原子離開(kāi)接收器運(yùn)動(dòng)（或沿光傳播方向運(yùn)動(dòng)）時(shí)，z＜01.多普勒(Doppler)加寬假定接收器固定在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中，設(shè)一發(fā)光原子（光源）靜止時(shí)的中心頻率為0，當(dāng)發(fā)光原子相對(duì)于接收器以z速凍運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于多普勒效應(yīng)，接收器接收到的光波的頻率為圖2.6光學(xué)多普勒效應(yīng)第二十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二29多普勒線(xiàn)型函數(shù)的導(dǎo)出根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)論，氣體原子或分子作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，在熱平衡條件下，原子數(shù)按照速率分布遵從麥克斯韋分布規(guī)律，假設(shè)只考慮沿z方向的速度分量，則單位體積內(nèi)速度分量在vz~(vz+dvz)之間的原子數(shù)為式中，n為單位體積工作物質(zhì)內(nèi)的總原子數(shù)，k為波爾茲曼常數(shù)，T為熱平衡時(shí)的絕對(duì)溫度，m為原子或者分子的質(zhì)量第二十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二30對(duì)（2.35）式作變量代換，得根據(jù)多普勒效應(yīng)將頻率公式取微分，得,令若E1和E2能級(jí)上的原子數(shù)分別為n1和n2，則它們?cè)诜至吭趘z~(vz+dvz)之間的原子數(shù)為區(qū)間內(nèi)的原子數(shù)分別為（2.35）(2.36)第三十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二31多普勒線(xiàn)型函數(shù)為的半寬表示由于~(+d)間的自發(fā)輻射功率正比于n2()d，根據(jù)線(xiàn)型函數(shù)的定義，得自發(fā)輻射的線(xiàn)型函數(shù)為（2.37）多普勒線(xiàn)型函數(shù)為高斯函數(shù)，當(dāng)=0時(shí)，其半寬為其中，M為相對(duì)原子或者分子量，m(kg)=1.66×10-27M（2.39）（2.40）第三十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二32多普勒效應(yīng)對(duì)受激輻射的影響假設(shè)有一頻率為的單色光沿z方向入射到氣體介質(zhì)中，與中心頻率為0的運(yùn)動(dòng)原子相互作用。此時(shí)，單色光可視為某一假想光源發(fā)出，原子可視為運(yùn)動(dòng)的光波接收器，由于多普勒效應(yīng)，原子感受到的光波頻率為第三十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二33如果譜線(xiàn)加寬只是由于多普勒效應(yīng)引起，則只有滿(mǎn)足=0條件時(shí)才有最強(qiáng)的共振相互作用，此時(shí)受激輻射躍遷幾率最大。因此，可以得到入射光頻率與原子中心頻率0滿(mǎn)足：（2.41）上式表明當(dāng)運(yùn)動(dòng)原子與光波相互作用時(shí)，原子表現(xiàn)出來(lái)的中心頻率變?yōu)槠渲?又稱(chēng)為表觀中心頻率，vz為運(yùn)動(dòng)原子的速度，當(dāng)原子運(yùn)動(dòng)方向與光波傳播方向相同時(shí)vz>0，反向時(shí)vz>0（2.42）第三十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二34受激輻射多普勒加寬的線(xiàn)型函數(shù)也為高斯型，用替代公式（2.40）中即可得到其線(xiàn)型函數(shù)：不同速率的原子表觀中心頻率不同。原子體系中每個(gè)原子只對(duì)多普勒加寬譜線(xiàn)內(nèi)與原子表觀中心頻率相同的部分有貢獻(xiàn)。即多普勒加寬中不同譜線(xiàn)對(duì)于不同表觀中心頻率的原子。氣體工作物質(zhì)中的多普勒加寬屬于非均勻加寬。2.晶格缺陷加寬：線(xiàn)型函數(shù)一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)出第三十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二35三.綜合加寬實(shí)際譜線(xiàn)的加寬是均勻加寬和非均勻加寬的綜合結(jié)果。當(dāng)兩者作用可以比擬的時(shí)候，就必須同時(shí)考慮兩中加寬因素來(lái)確定綜合加寬線(xiàn)型函數(shù)。②當(dāng)D<<H時(shí)，綜合加寬表現(xiàn)均勻加寬極限情況下，①當(dāng)H<<D時(shí)，綜合加寬表現(xiàn)非均勻加寬(2.43)第三十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二在求頻率處于υ~υ+dυ范圍內(nèi)的自發(fā)輻射光功率P(υ)dυ時(shí)，要同時(shí)考慮原子按表觀中心頻率的分布和每個(gè)原子發(fā)光的均勻展寬。表觀中心頻率處在υ0’~υ0’+dυ

0’范圍內(nèi)的高能級(jí)原子數(shù)為:由于均勻加寬這部分原子將發(fā)出頻率為υ的自發(fā)輻射，它們對(duì)P(υ)dυ的貢獻(xiàn)為由于具有不同表觀頻率υ0’的n2個(gè)原子對(duì)P(υ)dυ都有貢獻(xiàn)，因此n2個(gè)原子的總貢獻(xiàn)應(yīng)該是上式對(duì)的υ0’積分在整個(gè)譜線(xiàn)范圍內(nèi)都有υ=υ0所以可用hυ0代替hυ，于是根據(jù)線(xiàn)型函數(shù)定義，可以求出綜合加寬線(xiàn)型函數(shù)為：第三十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二37因此，在輻射場(chǎng)的作用下，總受激輻射幾率W21中，分配在頻率處單位頻帶內(nèi)的受激躍遷幾率為四.愛(ài)因斯坦系數(shù)的修正線(xiàn)型函數(shù)為躍遷幾率按頻率分布的函數(shù)?？紤]了譜線(xiàn)加寬后，單一頻率的自發(fā)輻射光功率可以寫(xiě)為其中，根據(jù)愛(ài)因斯坦關(guān)系，有該式表示總自發(fā)躍遷幾率A21中，分配在頻率處的自發(fā)躍遷幾率?？梢宰C明由于譜線(xiàn)加寬，單位時(shí)間內(nèi)自發(fā)輻射躍遷的原子數(shù)表達(dá)式不變（2.44）（2.45）（2.46）第三十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二38討論：1）原子與連續(xù)譜輻射場(chǎng)的相互作用同理可得，原子在連續(xù)輻射場(chǎng)作用下，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生受激吸收的原子數(shù)為輻射場(chǎng)分布在很寬的頻帶內(nèi)，其寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子輻射譜線(xiàn)寬度，原子發(fā)光的中心頻率為0，在輻射場(chǎng)的作用下，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生受激輻射的原子數(shù)為（2.48）圖2.11原子與連續(xù)譜輻射場(chǎng)的相互作用（2.47）（2.50）（2.49）或者，結(jié)論：原子與連續(xù)譜輻射場(chǎng)的相互作用，只有接近中心頻率的輻射光才對(duì)原子躍遷起作用。第三十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二39如圖2.12，假設(shè)準(zhǔn)單色場(chǎng)的能量密度為中心頻率為，其譜線(xiàn)寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原子譜線(xiàn)寬度。由圖可見(jiàn)，原子譜線(xiàn)的線(xiàn)型函數(shù)在附近極窄的范圍內(nèi)可視為常數(shù)在激光振蕩過(guò)程中，光波場(chǎng)與工作物質(zhì)內(nèi)粒子的相互作用，就可理解為粒子與準(zhǔn)單色輻射場(chǎng)的相互作用。圖2.12原子和準(zhǔn)單色輻射場(chǎng)的相互作用討論：2）原子與和準(zhǔn)單色輻射場(chǎng)的相互作用準(zhǔn)單色能量密度為函數(shù)形式：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，得原子在準(zhǔn)單色輻射場(chǎng)作用下，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生受激輻射的原子數(shù)為（2.52）（2.51）第三十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二40同理可得，原子在準(zhǔn)單色輻射場(chǎng)作用下，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生受激吸收的原子數(shù)為即結(jié)論：由于譜線(xiàn)加寬和原子相互作用的單色光頻率并不一定等于原子發(fā)光的中心頻率0才能發(fā)生受激躍遷，而是在=0附近的一個(gè)頻帶內(nèi)都能發(fā)生受激躍遷，受激躍遷幾率按照線(xiàn)型函數(shù)分布。=0時(shí)，躍遷幾率最大（2.53）（2.54）第四十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二41五.受激輻射截面和吸收截面若激光器內(nèi)第l模的光子數(shù)密度為Nl，則單色光能量密度與Nl的關(guān)系為利用愛(ài)因斯坦關(guān)系，受激吸收和受激輻射與Nl的關(guān)系為：其中，v為工作物質(zhì)中的光速，21(,0)和12(,0)分別為受激輻射截面積和受激吸收截面積，具有面積的量綱，其表示式為：（2.55）（2.56）（2.57）第四十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二42§2.4激光器速率方程多模速率方程四能級(jí)系統(tǒng)單模速率方程三能級(jí)系統(tǒng)單模速率方程第四十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二43一、三能級(jí)系統(tǒng)單模速率方程圖2.13三能級(jí)系統(tǒng)工作物質(zhì)E1為基態(tài)能級(jí)E3為抽運(yùn)能級(jí)E2為亞穩(wěn)態(tài)能級(jí)W13為抽運(yùn)幾率，A31和A21均為自發(fā)輻射幾率，S32、S31和S21均為無(wú)輻射躍遷幾率，W12受激吸收幾率，W21受激輻射幾率。

第四十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二44對(duì)E3能級(jí)，單位時(shí)間粒子數(shù)密度變化為：對(duì)E2能級(jí)，單位時(shí)間粒子數(shù)密度變化為：將代入上式，得（2.60）（2.61）第四十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二45由總粒子數(shù)守恒設(shè)工作物質(zhì)長(zhǎng)度等于腔長(zhǎng)L，第ι個(gè)模式的光子數(shù)密度為Nι，則（2.62）（2.63）第四十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二46（2.64）速率方程第四十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二47二、四能級(jí)系統(tǒng)單模速率方程圖2.14四能級(jí)系統(tǒng)工作物質(zhì)E0為基態(tài)能級(jí)E3為抽運(yùn)能級(jí)E2為亞穩(wěn)態(tài)能級(jí)E1為空能級(jí)（激光產(chǎn)生下能級(jí)）W03為抽運(yùn)幾率，A30和A21均為自發(fā)輻射幾率，S30

S32、S21和S10均為無(wú)輻射躍遷幾率，W12受激吸收幾率，W21受激輻射幾率。

第四十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二48速率方程（2.65）第四十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二49§2.5增益系數(shù)與增益飽和非均勻加寬增益機(jī)制均勻加寬增益機(jī)制增益系數(shù)第四十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二50一.增益系數(shù)定義圖2.16光在增益介質(zhì)中的放大如圖，有一增益介質(zhì)，光強(qiáng)為I0的準(zhǔn)單色光自端面z=0處入射，由于受激輻射，在傳播過(guò)程中光強(qiáng)將不斷增大。通常用增益系數(shù)來(lái)描述光通過(guò)單位長(zhǎng)度增益介質(zhì)后光強(qiáng)增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)。根據(jù)定義，設(shè)在z處的光強(qiáng)為I(z)，在z+dz處的光強(qiáng)為I(z)+dI(z)，則介質(zhì)對(duì)光的增益系數(shù)為：第五十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二51增益系數(shù)表達(dá)式單模激光器的光子數(shù)密度速率方程為（2.67）（2.68）（2.69）其中，只考慮增益而忽略損耗（2.67）簡(jiǎn)化為將I=Nhv,dz=vdt代入上式，得因此，增益系數(shù)的表示式為第五十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二52二.均勻加寬工作物質(zhì)的增益機(jī)制在連續(xù)激光器或長(zhǎng)脈沖激光器中，認(rèn)為各能級(jí)上的粒子數(shù)達(dá)到穩(wěn)定工作狀態(tài)，因此上節(jié)得出的四能級(jí)系統(tǒng)速率方程組（2.65）應(yīng)有由于S32>>A30,所以，在穩(wěn)態(tài)情況下速率方程組式（2.66）中的第一個(gè)方程可改寫(xiě)為因?yàn)橐话闼哪芗?jí)系統(tǒng)中S32>>W03，故有n3=0。由速率方程組（2.65）中第三個(gè)方程可得（2.70）（2.72）（2.71）第五十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二53反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度方程組（2.65）中E2能級(jí)粒子數(shù)密度變化的速率方程可改寫(xiě)為反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度的速率方程。式中τ2為E2的能級(jí)壽命。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)有dΔn/dt=0，并考慮到四能級(jí)系統(tǒng)中大量粒子聚集在基態(tài)，n0=n,則（2.74）（2.73）第五十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二54將線(xiàn)型函數(shù)（2.34）、發(fā)射截面（2.57）及N=I/hυv代入上式，整理后可得四能級(jí)系統(tǒng)的飽和光強(qiáng)表達(dá)式為（2.75）（2.76）第五十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二55小信號(hào)情況所謂小信號(hào)情況，是指當(dāng)入射光強(qiáng)Iυ1<<IS

，此時(shí)Δn＝Δn0工作物質(zhì)內(nèi)受激輻射很微弱，因此可忽略受激輻射項(xiàng)，于是由式(2.74)可得四能級(jí)系統(tǒng)小信號(hào)情況下的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度:可見(jiàn)，小信號(hào)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度Δn0與入射光強(qiáng)無(wú)關(guān)，其大小取決于激發(fā)幾率和受激輻射上能級(jí)壽命。（2.77）第五十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二56大信號(hào)情況當(dāng)Iυ1足夠強(qiáng)時(shí)（即大信號(hào)情況），由式（2.75）可知，將會(huì)出現(xiàn)Δn<Δn0

。這是由于，隨著Iυ1的增大，受激輻射作用增強(qiáng)，導(dǎo)致上能級(jí)粒子數(shù)急劇減少，Iυ1越強(qiáng)，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)減少得越多。這種現(xiàn)象稱(chēng)為反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和。式（2.75）還表明，不同頻率的入射光對(duì)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和的影響不同。在入射光強(qiáng)相同情況下，當(dāng)入射光頻率等于中心頻率時(shí)，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和最強(qiáng)，這是由于在中心頻率處受激輻射幾率最大，入射光造成的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)的減少越嚴(yán)重。第五十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二57當(dāng)入射光頻率等于中心頻率時(shí)，式（2.75）可簡(jiǎn)化為當(dāng)入射光強(qiáng)等于飽和光強(qiáng)時(shí),反轉(zhuǎn)粒子數(shù)減少了一半。通常認(rèn)為，入射光頻率在以下范圍內(nèi)才會(huì)引起顯著的飽和作用：（2.79）第五十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二58增益系數(shù)與增益飽和效應(yīng)由式（2.69）已知增益系數(shù)G與反轉(zhuǎn)粒子數(shù)Δn成正比關(guān)系。若入射頻率為υ1，強(qiáng)為Iυ1的光入射到均勻加寬工作物質(zhì)，其增益系數(shù)G為將(2.75)及線(xiàn)型函數(shù)代入上式，整理后可得（2.80）（2.81）其中，GH0(υ0)為中心頻率處的小信號(hào)增益系數(shù)第五十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二59小信號(hào)情況在Iυ1<<IS的小信號(hào)情況下，均勻加寬工作物質(zhì)的小信號(hào)增益為中心頻率處的小信號(hào)增益系數(shù)可表示為(2.82)(2.83)第五十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二60結(jié)論當(dāng)Iυ1<<IS時(shí)，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)和增益系數(shù)均與入射光強(qiáng)無(wú)關(guān)，若激光上能級(jí)壽命越長(zhǎng)，激勵(lì)越強(qiáng)，小信號(hào)增益系數(shù)越大。小信號(hào)增益系數(shù)與入射光頻率有關(guān)，即對(duì)不同頻率的光，有不同的增益系數(shù)。對(duì)應(yīng)于激光器中不同的縱模，其小信號(hào)增益系數(shù)是不同的。第六十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二61小信號(hào)增益曲線(xiàn)通常，把小信號(hào)增益系數(shù)與入射光頻率υ1的關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為小信號(hào)增益曲線(xiàn)，其形狀完全取決于線(xiàn)型函數(shù)，如圖2.17所示。圖2.17小信號(hào)增益曲線(xiàn)第六十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二62大信號(hào)情況當(dāng)Iυ1足夠強(qiáng)時(shí)（即大信號(hào)情況），

GH(υ1,Iυ1)值也將隨光強(qiáng)Iυ1的增強(qiáng)而減小，這就是增益飽和現(xiàn)象。綜上所述,產(chǎn)生增益飽和的物理原因：因增益系數(shù)正比于介質(zhì)內(nèi)的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)，由于Iυ1光在介質(zhì)中傳輸時(shí)，通過(guò)受激輻射獲得增益的同時(shí)消耗了大量反轉(zhuǎn)粒子數(shù)，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)的飽和致使增益系數(shù)也發(fā)生飽和。當(dāng)υ1=υ0時(shí),中心頻率光強(qiáng)等于飽和光強(qiáng)時(shí)，大信號(hào)增益系數(shù)是小信號(hào)增益系數(shù)的二分之一。在相同光強(qiáng)情況下，υ1偏離中心頻率越遠(yuǎn)，飽和效應(yīng)越弱。第六十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二63兩不同頻率、不同光強(qiáng)的光同時(shí)存在時(shí)在均勻加寬激光器中，開(kāi)始起振時(shí)有多個(gè)縱模頻率滿(mǎn)足閾值條件，在激光腔內(nèi)振蕩、放大，而最靠近中心頻率的縱模由于小信號(hào)增益系數(shù)大，光強(qiáng)增長(zhǎng)最快（成為強(qiáng)光），首先達(dá)到飽和光強(qiáng)，引起飽和效應(yīng)，現(xiàn)討論該縱模飽和時(shí)對(duì)其它尚未達(dá)到飽和光強(qiáng)的縱模（稱(chēng)之為弱光）的增益系數(shù)的影響。第六十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二64假設(shè)強(qiáng)光的頻率為υ1，光強(qiáng)為Iυ1

；弱光的頻率為。根據(jù)式（2.69）和(2.75)，弱光增益系數(shù)(2.85)第六十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二65從上式可見(jiàn)，當(dāng)強(qiáng)光頻率υ1及光強(qiáng)Iυ1一定時(shí)，弱光在強(qiáng)光作用下的增益系數(shù)與其小信號(hào)增益系數(shù)的比值在頻域上處處相等。其物理原因是：由于強(qiáng)光Iυ1通過(guò)受激輻射消耗了大量激發(fā)態(tài)上的粒子，對(duì)于均勻加寬工作物質(zhì)而言，由于激發(fā)態(tài)上的每個(gè)粒子對(duì)譜線(xiàn)中不同頻率光的增益都有貢獻(xiàn)，激發(fā)態(tài)粒子數(shù)的減少就意味著對(duì)其它頻率有貢獻(xiàn)的粒子數(shù)也減少，即對(duì)應(yīng)于其它頻率光的增益系數(shù)也下降，且都以同一比值下降，即整個(gè)增益曲線(xiàn)均勻地下降。如圖2.18所示。第六十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二66因此，在均勻加寬激光器中，當(dāng)靠近中心頻率的模率先達(dá)到飽和時(shí)，會(huì)使其它模的增益降低，當(dāng)這些模的增益系數(shù)低于閾值增益系數(shù)時(shí)，便會(huì)自動(dòng)熄滅。圖2.18在強(qiáng)光作用下，均勻加寬工作物質(zhì)增益曲線(xiàn)第六十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二67三、非均勻加寬工作物質(zhì)的增益系數(shù)和增益飽和假設(shè)小信號(hào)情況下的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度為Δn0，則表觀中心頻率為υ0’~(υ0’+dυ0’)范圍內(nèi)的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度為若有頻率為υ1,光強(qiáng)Iυ1的光入射，則這部分粒子對(duì)增益的貢獻(xiàn)dG可按均勻加寬增益系數(shù)的表示式來(lái)計(jì)算，可得第六十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二68從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō),我們可將υ0’的取值范圍看作0→∞，所以增益系數(shù)為在非均勻加寬情況下ΔυD>>ΔυH

，于是式（2.86）可簡(jiǎn)化為（2.86）（2.87）第六十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二69在Iυ1<<IS時(shí)，由上式求得小信號(hào)情況下非均勻加寬介質(zhì)的增益系數(shù)可表示為其中，G0i(υ0)為小信號(hào)增益系數(shù)，由上可知，小信號(hào)增益系數(shù)G0i(υ0)與光強(qiáng)無(wú)關(guān)，而小信號(hào)增益系數(shù)與頻率的關(guān)系（即增益曲線(xiàn)）取決于非均勻加寬線(xiàn)型函數(shù)。（2.88）（2.89）第六十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二70將式（2.89）及線(xiàn)型函數(shù)代入，式（2.87）可改寫(xiě)為在小信號(hào)情況下，可見(jiàn)，非均勻加寬介質(zhì)的小信號(hào)增益曲線(xiàn)為高斯線(xiàn)型，同時(shí)由式（2.90）可以看到，非均勻加寬情況下，增益飽和的強(qiáng)弱只與光強(qiáng)Iυ1有關(guān)，與頻率無(wú)關(guān)。（2.90）（2.91）第七十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二71燒孔效應(yīng)當(dāng)入射光頻率為υ1

，且光強(qiáng)Iυ1有足夠強(qiáng)時(shí)，該入射光造成表觀中心頻率υ1＝υ1對(duì)應(yīng)的那部分粒子飽和，由于飽和效應(yīng)，表觀中心頻率為υ1的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度將由原來(lái)的A點(diǎn)下降到A1點(diǎn)，見(jiàn)圖2.19。圖2.19非均勻加寬工作物質(zhì)中反轉(zhuǎn)粒子數(shù)和頻率的關(guān)系實(shí)線(xiàn)表示小信號(hào)情況第七十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二72若此入射光頻率υ1相當(dāng)于均勻加寬中的中心頻率，此時(shí)引起的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和可表示為對(duì)于表觀中心頻率為υ2的粒子，由于入射光頻率υ1偏離粒子的表觀中心頻率υ2

，引起的飽和效應(yīng)較小，所以在圖2.19中可見(jiàn)，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度由B點(diǎn)下降到B1點(diǎn)。第七十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二73對(duì)于表觀中心頻率為υ3的粒子，由于入射光頻率υ1與υ3偏離太遠(yuǎn)，所以飽和效應(yīng)可以忽略。由以上分析可知，頻率為υ1的強(qiáng)光，只與表觀中心頻率υ1附近，寬度約為范圍內(nèi)的粒子數(shù)相互作用，引起反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和，形成