古希臘的幾何學(xué)

第二講人類理性的覺醒主講教師：孫淑娥目錄一、古希臘的幾何學(xué)二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

從古希臘時(shí)代開始到現(xiàn)代大約兩千多年，數(shù)學(xué)家們追求著宇宙的真理，其成就是令人矚目的：數(shù)學(xué)概念、結(jié)果與方法被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)學(xué)科中去。社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的水平，決定了人類歷史上首先發(fā)展起來的是天文學(xué)，而天文學(xué)離不開數(shù)學(xué)。然后依次是力學(xué)、光學(xué)、機(jī)械工程、一般物理學(xué)。這些現(xiàn)在之所以都被稱為精確科學(xué)，正是因?yàn)樗鼈儜?yīng)用了數(shù)學(xué)的概念、結(jié)果與方法。數(shù)學(xué)成為一門科學(xué)，首先從幾何開始的。一、古希臘的幾何學(xué)

三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

埃及、巴比倫、印度、中國(guó)——的幾何學(xué)都有大體相同的特點(diǎn)。由于幾何學(xué)成就于古希臘，而它又與埃及的幾何學(xué)關(guān)系比較密切，所以人們常說幾何起源于埃及。古希臘數(shù)學(xué)大體上可分兩個(gè)時(shí)期：

古典時(shí)期（公元前600~公元前400）（這一時(shí)期相當(dāng)于中國(guó)的周）壓力山大利亞時(shí)期（公元前400~公元100）（這一時(shí)期相當(dāng)于中國(guó)的戰(zhàn)國(guó)至隋）一、古希臘的幾何學(xué)

兩個(gè)時(shí)期三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

畢達(dá)哥拉斯（前572-前497）—萬物皆數(shù)”歐幾里得（前330-前275）—幾何《原本》阿基米德——面積、體積阿波羅尼奧斯——《圓錐曲線論》托勒密(前367-前282)

——三角學(xué)丟番圖（246-330）——不定方程一、古希臘的幾何學(xué)

古希臘數(shù)學(xué)家三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育愛奧尼亞學(xué)派（最著名的代表：泰利斯——畢達(dá)哥拉斯受業(yè)于他）——伊利亞學(xué)派（著稱學(xué)者：芝諾）——柏拉圖學(xué)派（學(xué)生：亞里士多德）（歐幾里得受其教育）是古希臘各學(xué)派中對(duì)數(shù)學(xué)影響最大者。

歐幾里得把幾何學(xué)系統(tǒng)化為一個(gè)演繹科學(xué)即一個(gè)邏輯推理體系，這個(gè)思想即來自柏拉圖學(xué)派而由亞里士多德作了十分清楚的表達(dá)。

柏拉圖學(xué)派，強(qiáng)調(diào)理性思維，認(rèn)為有兩個(gè)世界“理念世界”和“物質(zhì)世界”。。一、古希臘的幾何學(xué)

最著名的學(xué)派：柏拉圖學(xué)派TheSchoolofAthensbyRaphael畫面以表現(xiàn)古代雅典柏拉圖的學(xué)苑（Academy/Academia）為背景，將地中海沿岸各國(guó)的古今著名學(xué)者熔于一爐；學(xué)者們的姿態(tài)以當(dāng)時(shí)的“七藝”（語(yǔ)法、修辭、邏輯、數(shù)學(xué)、幾何、音樂和天文）而各具情態(tài)。背景大廳兩側(cè)的壁龕雕塑，左面是阿波羅，右面是雅典娜。

柏拉圖與亞里士多德倡導(dǎo)邏輯演繹的結(jié)構(gòu)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育亞里士多德的思想與柏拉圖不同。他曾經(jīng)說過：“吾愛吾師，吾更愛真理。”他反對(duì)將理念世界與物質(zhì)世界分開，而認(rèn)為理念不應(yīng)該離開感覺而獨(dú)立存在，理念即在事物之中。亞里士多德的哲學(xué)在他死后過了兩千年，世界上才出現(xiàn)了能與他匹敵的哲學(xué)家。這兩千年中他的權(quán)威性不容置疑。亞里士多德直接論述數(shù)學(xué)的著作不多。他最大的貢獻(xiàn)是建立了邏輯學(xué)。他的邏輯學(xué)是總結(jié)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)推理的規(guī)律，認(rèn)為是獨(dú)立于數(shù)學(xué)而且先行于一切科學(xué)的。他對(duì)邏輯的最重要的貢獻(xiàn)是三段論法。一、古希臘的幾何學(xué)

亞里士多德三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他把數(shù)學(xué)和一種神秘主義的哲學(xué)是混合在一起的，所以他的神秘主義是一種數(shù)學(xué)神秘主義。認(rèn)為世界的本源是數(shù)，他說“數(shù)統(tǒng)治宇宙?！逼渲卮蟮呢暙I(xiàn)是認(rèn)識(shí)到“證明”在數(shù)學(xué)中的地位，他認(rèn)為直觀有時(shí)會(huì)導(dǎo)致謬誤。這個(gè)學(xué)派大概也是最早給畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）以嚴(yán)格證明的人。一、古希臘的幾何學(xué)

最早有重大影響學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

畢達(dá)哥拉斯

到

柏拉圖的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)有一種鄙薄實(shí)用、厭棄現(xiàn)實(shí)世界的傾向，這雖然也表現(xiàn)了一種對(duì)數(shù)學(xué)的執(zhí)著，即不被紛亂的表相所迷惑，堅(jiān)信數(shù)學(xué)對(duì)事物的本質(zhì)有一種理解力，不是用現(xiàn)實(shí)的不完美的材質(zhì)去建立數(shù)學(xué)，去改變數(shù)學(xué)，反而要用數(shù)學(xué)的形式去解釋現(xiàn)實(shí)。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德的觀點(diǎn)與此相反，在亞里士多德那里，數(shù)學(xué)的地位不高，只是描述事物的形式屬性的。一、古希臘的幾何學(xué)

亞里士多德三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

歐幾里得幾何給出的五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理。不能擺脫物質(zhì)世界影響的痕跡，要想完全擺脫人的經(jīng)驗(yàn)或直觀以達(dá)到理念世界是不可能的。歐幾里得的驚人的天才，首先在于他恰好選擇了他所必需的公理、公設(shè)與定義，既不太多，又足夠證明全書給出的數(shù)百條定理（《原本》中有467個(gè)定理）。其次在于到那時(shí)為止所知道的幾何定理幾乎全部被合乎邏輯地編排起來，成了體系。一、古希臘的幾何學(xué)

歐幾里得幾何三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

歐幾里得《幾何原本》既是人類理性思維的一個(gè)高峰，又必然是一大挑戰(zhàn)。它是西方思想文獻(xiàn)中最有影響的經(jīng)典著作之一。然而，《原本》的出現(xiàn)是人類文化史的革命性事件。但是，《原本》在公理化方面仍有許多缺點(diǎn)?？傮w來看，《原本》過多地依賴了直觀，這是常導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的原因。要真正“取消”直觀的影響，不是僅憑人的主觀愿望和哲學(xué)家的理論主張就能做到的，需要的是整個(gè)人類文化發(fā)展的背景下幾代數(shù)學(xué)家艱苦努力的積累。要等待2000多年后的希爾伯特。一、古希臘的幾何學(xué)

歐幾里得幾何三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

亞里士多德（公元前384-公元前321）百科全書式的學(xué)者。托勒密（約公元100-公元160）希臘天文學(xué)集大成著，總結(jié)了希臘天文學(xué)幾乎所有的成果，繼承和發(fā)展了亞里士多德的地心說。亞里士多德和托勒密的地心說統(tǒng)治了西方天文學(xué)一千多年并獲得正統(tǒng)地位。并賦予了宗教意義。一、古希臘的幾何學(xué)

亞里士多德三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

科學(xué)革命的四位巨匠:哥白尼（1473-1543），開普勒（1571～1630），伽利略（1564-1642），牛頓（1643—1727）近代科學(xué)始于仰望星空，文藝復(fù)興時(shí)期的哥白尼和開普勒，思想直承古希臘，眼光還在天空；直到伽利略才把數(shù)學(xué)從天空中拉回到地面上，最后是牛頓，對(duì)天上地上的自然現(xiàn)象做了第一次大綜合，他的著作就是《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。至此，數(shù)學(xué)從理性世界回歸到了現(xiàn)實(shí)世界。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

四位巨匠三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

這一時(shí)期有兩點(diǎn)值得注意：數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)的結(jié)合。柏拉圖的理性世界，這種觀點(diǎn)在亞歷山大時(shí)期就已經(jīng)大打折扣了。已經(jīng)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)知識(shí)相結(jié)合的阿基米德這樣完全具有近代科學(xué)思想素質(zhì)的天才。亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)和科學(xué)已經(jīng)有了這種跡象，它似乎能夠把雅典時(shí)期的超凡脫俗的數(shù)學(xué)拉回到現(xiàn)實(shí)世界中來。數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)的再度結(jié)合是一千多年以后的事情了，真正的開始應(yīng)該是伽利略的工作。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

第一點(diǎn)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

畢達(dá)哥拉斯—柏拉圖傳統(tǒng)的基督教轉(zhuǎn)換。從古羅馬后期開始，基督教統(tǒng)治了歐洲的思想世界一千多年，希臘精神以一種改頭換面的方式從基督教中復(fù)活了。上帝是按數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)了大自然的。萊布尼茲補(bǔ)充說：“世界是按上帝的計(jì)算創(chuàng)造的?！遍_普勒在每次獲得發(fā)現(xiàn)時(shí)都對(duì)上帝寫了頌歌。數(shù)學(xué)家和科學(xué)家的信仰與態(tài)度是文藝復(fù)興時(shí)代席卷整個(gè)歐洲的更大量文化現(xiàn)象的范例。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

第二點(diǎn)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

亞里士多德去世一千八百三十年之后，一個(gè)偉大的人物誕生了——哥白尼。當(dāng)哥白尼著手處理行星運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，托勒密的地心說已經(jīng)被后人不斷地復(fù)雜化。哥白尼決心從數(shù)學(xué)上系統(tǒng)地探索他猜測(cè)的可能性。哥白尼日心說的唯一優(yōu)勢(shì)是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)，是數(shù)學(xué)作為上帝設(shè)計(jì)宇宙的最終方案所展現(xiàn)的簡(jiǎn)潔和完美的感召性力量的優(yōu)勢(shì)。事實(shí)上，很長(zhǎng)一段時(shí)間里只有數(shù)學(xué)家們支持哥白尼，哥白尼也說過他的書是寫給數(shù)學(xué)家看的。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

哥白尼三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

根據(jù)哥白尼體系，宇宙不是以地球?yàn)橹行牡模厍蚝蛣e的行星一樣，圍繞太陽(yáng)而運(yùn)行，唯有太陽(yáng)才固定在體系的中心。這一簡(jiǎn)單而基本的發(fā)現(xiàn)，使人們對(duì)宇宙的看法從神秘原始的見解進(jìn)入到現(xiàn)代的思考，并引起了思想上的革命。哥白尼運(yùn)用科學(xué)方法所得到的、具有革命內(nèi)容的《天體運(yùn)行論》向自然事物方面的教會(huì)權(quán)威給予了公開挑戰(zhàn)。從此，不僅鋪平了通向近代天文學(xué)的道路。整個(gè)自然科學(xué)也開始從神學(xué)中解放出來，借以宣布其獨(dú)立，開辟了自然科學(xué)的新時(shí)代。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

哥白尼三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

開普勒在大學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)就對(duì)托勒密和哥白尼體系進(jìn)行了深人的對(duì)比研究，并力求進(jìn)一步找出宇宙中當(dāng)時(shí)已知的六大行星與太陽(yáng)之間可以體現(xiàn)“數(shù)的和諧”的規(guī)律。開普勒通過數(shù)學(xué)規(guī)律和“魯?shù)婪蛐潜怼笔褂钪骟w系獲得了一個(gè)有序的圖景。笛卡兒曾說：“開普勒是我主要的光學(xué)老師，勝過所有他人”。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

開普勒三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育(1)行星運(yùn)動(dòng)第一定律——行星的軌道是橢圓的，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這一定律又叫軌道定律。(2)行星運(yùn)動(dòng)第二定律——行星與太陽(yáng)所連直線，即行星的向徑在相等時(shí)問內(nèi)掃過的面積相等。(3)行星運(yùn)動(dòng)第三定律——行星繞太陽(yáng)一周的時(shí)間的平方與行星同太陽(yáng)的平均距離的立方成正比。周期定律。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

開普勒三定律三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育

開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律的發(fā)現(xiàn)，把哥自尼的日心說推向了定量化與精確化階段。使太陽(yáng)系成為一個(gè)嚴(yán)格按照確定規(guī)律運(yùn)行的力學(xué)體系。由于這三個(gè)定律正確地反映了行星運(yùn)動(dòng)的過程與規(guī)律，為牛頓建立萬有引力定路打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。因此，人們稱頌他是“天空法律創(chuàng)制者”，“天體力學(xué)奠基人”。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

開普勒

3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域在哥白尼之前，托勒密的地心說被基督教確定為天文學(xué)的真理；在伽利略之前，亞里士多德的物理學(xué)被基督教接受為真理。伽利略把科學(xué)從天上拉回到地上，放棄了古代哲學(xué)對(duì)宇宙做總體思辨和外在靜觀的方式，只對(duì)那些能夠進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室的可以反復(fù)研究的簡(jiǎn)單現(xiàn)象有興趣。伽利略說：“自然的大書是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成的”二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

伽利略

3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域伽利略實(shí)際上使用了把實(shí)驗(yàn)和邏輯、數(shù)學(xué)結(jié)合起來的研究方法，而經(jīng)典力學(xué)的建立，實(shí)質(zhì)上也就是實(shí)驗(yàn)方法、邏輯思維方法與數(shù)學(xué)方法的建立和發(fā)展過程，可見，伽利略的研究方法對(duì)經(jīng)典力學(xué)產(chǎn)生了極其重要的影響。時(shí)至今天，伽利略開創(chuàng)的研究方法，仍然具有強(qiáng)大的生命力和實(shí)際成效。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

伽利略3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域牛頓的全部工作都是遵循伽利略的科學(xué)研究方法的。他不僅概括了伽利略、惠更斯（1629∽1695荷蘭物理學(xué)家）的成果，而且把它們放在一個(gè)完整的邏輯體系之中，特別令人震驚的是：開普勒三定律也只不過是萬有引力定律的推論。它不再是哲學(xué)家的思辨加上多年觀測(cè)記錄的概括。整個(gè)物理學(xué)（牛頓時(shí)代，物理學(xué)主要是力學(xué)）都像幾何學(xué)一樣被放進(jìn)了邏輯演繹體系里了。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

牛頓

3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位。他數(shù)學(xué)生涯中的第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理。微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。首次提出一階微分方程的分類；確定了微分方程求解的理論基礎(chǔ)；開辟了應(yīng)用無窮級(jí)數(shù)求解微分方程的方向；開創(chuàng)參數(shù)變易法思想并最先應(yīng)用于解決三體問題的攝動(dòng)理論等。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

牛頓3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探求和重力與天體運(yùn)動(dòng)問題的研究始終是牛頓發(fā)明微積分、創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)工具的主要?jiǎng)恿?，他為解決運(yùn)動(dòng)問題，創(chuàng)立了這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論。牛頓的思想和方法對(duì)創(chuàng)立和發(fā)展微分方程學(xué)科具有重要的理論意義和歷史意義。而牛頓在其物理學(xué)研究生涯中主要將智慧與時(shí)間奉獻(xiàn)給了力學(xué)與光學(xué)。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

牛頓

3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

世人的贊譽(yù)

3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域

牛頓一生的重要貢獻(xiàn)是集16、17世紀(jì)科學(xué)先驅(qū)們成果的大成，建立起一個(gè)完整的力學(xué)理論體系，把天地間萬物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律概括在一個(gè)嚴(yán)密的統(tǒng)一理論中。這是人類認(rèn)識(shí)自然的歷史中第一次理論的大綜合。以牛頓命名的力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)和天文學(xué)的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代工程力學(xué)以及與之有關(guān)的工程技術(shù)的理論基礎(chǔ)。這一成就，使以牛頓為代表的機(jī)械論的自然觀，在整個(gè)自然科學(xué)領(lǐng)域中取得了長(zhǎng)達(dá)200年的統(tǒng)治地位。二、數(shù)學(xué)與第一次科學(xué)革命

贊嘆——科學(xué)界的領(lǐng)袖3.數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域

近代科學(xué)革命之所以把文藝復(fù)興以來試圖打破古代權(quán)威的絕對(duì)統(tǒng)治的理想變?yōu)榱爽F(xiàn)實(shí)，使