古希臘的幾何學

第二講人類理性的覺醒主講教師：孫淑娥目錄一、古希臘的幾何學二、數學與第一次科學革命三、數學與數學教育

從古希臘時代開始到現(xiàn)代大約兩千多年，數學家們追求著宇宙的真理，其成就是令人矚目的：數學概念、結果與方法被廣泛地應用到各個學科中去。社會經濟發(fā)展的水平，決定了人類歷史上首先發(fā)展起來的是天文學，而天文學離不開數學。然后依次是力學、光學、機械工程、一般物理學。這些現(xiàn)在之所以都被稱為精確科學，正是因為它們應用了數學的概念、結果與方法。數學成為一門科學，首先從幾何開始的。一、古希臘的幾何學

三、數學與數學教育

埃及、巴比倫、印度、中國——的幾何學都有大體相同的特點。由于幾何學成就于古希臘，而它又與埃及的幾何學關系比較密切，所以人們常說幾何起源于埃及。古希臘數學大體上可分兩個時期：

古典時期（公元前600~公元前400）（這一時期相當于中國的周）壓力山大利亞時期（公元前400~公元100）（這一時期相當于中國的戰(zhàn)國至隋）一、古希臘的幾何學

兩個時期三、數學與數學教育

畢達哥拉斯（前572-前497）—萬物皆數”歐幾里得（前330-前275）—幾何《原本》阿基米德——面積、體積阿波羅尼奧斯——《圓錐曲線論》托勒密(前367-前282)

——三角學丟番圖（246-330）——不定方程一、古希臘的幾何學

古希臘數學家三、數學與數學教育愛奧尼亞學派（最著名的代表：泰利斯——畢達哥拉斯受業(yè)于他）——伊利亞學派（著稱學者：芝諾）——柏拉圖學派（學生：亞里士多德）（歐幾里得受其教育）是古希臘各學派中對數學影響最大者。

歐幾里得把幾何學系統(tǒng)化為一個演繹科學即一個邏輯推理體系，這個思想即來自柏拉圖學派而由亞里士多德作了十分清楚的表達。

柏拉圖學派，強調理性思維，認為有兩個世界“理念世界”和“物質世界”。。一、古希臘的幾何學

最著名的學派：柏拉圖學派TheSchoolofAthensbyRaphael畫面以表現(xiàn)古代雅典柏拉圖的學苑（Academy/Academia）為背景，將地中海沿岸各國的古今著名學者熔于一爐；學者們的姿態(tài)以當時的“七藝”（語法、修辭、邏輯、數學、幾何、音樂和天文）而各具情態(tài)。背景大廳兩側的壁龕雕塑，左面是阿波羅，右面是雅典娜。

柏拉圖與亞里士多德倡導邏輯演繹的結構三、數學與數學教育亞里士多德的思想與柏拉圖不同。他曾經說過：“吾愛吾師，吾更愛真理?！彼磳⒗砟钍澜缗c物質世界分開，而認為理念不應該離開感覺而獨立存在，理念即在事物之中。亞里士多德的哲學在他死后過了兩千年，世界上才出現(xiàn)了能與他匹敵的哲學家。這兩千年中他的權威性不容置疑。亞里士多德直接論述數學的著作不多。他最大的貢獻是建立了邏輯學。他的邏輯學是總結了當時數學推理的規(guī)律，認為是獨立于數學而且先行于一切科學的。他對邏輯的最重要的貢獻是三段論法。一、古希臘的幾何學

亞里士多德三、數學與數學教育畢達哥拉斯學派，他把數學和一種神秘主義的哲學是混合在一起的，所以他的神秘主義是一種數學神秘主義。認為世界的本源是數，他說“數統(tǒng)治宇宙?！逼渲卮蟮呢暙I是認識到“證明”在數學中的地位，他認為直觀有時會導致謬誤。這個學派大概也是最早給畢達哥拉斯定理（勾股定理）以嚴格證明的人。一、古希臘的幾何學

最早有重大影響學派：畢達哥拉斯學派三、數學與數學教育

畢達哥拉斯

到

柏拉圖的數學傳統(tǒng)有一種鄙薄實用、厭棄現(xiàn)實世界的傾向，這雖然也表現(xiàn)了一種對數學的執(zhí)著，即不被紛亂的表相所迷惑，堅信數學對事物的本質有一種理解力，不是用現(xiàn)實的不完美的材質去建立數學，去改變數學，反而要用數學的形式去解釋現(xiàn)實。柏拉圖的學生亞里士多德的觀點與此相反，在亞里士多德那里，數學的地位不高，只是描述事物的形式屬性的。一、古希臘的幾何學

亞里士多德三、數學與數學教育

歐幾里得幾何給出的五個公設和五個公理。不能擺脫物質世界影響的痕跡，要想完全擺脫人的經驗或直觀以達到理念世界是不可能的。歐幾里得的驚人的天才，首先在于他恰好選擇了他所必需的公理、公設與定義，既不太多，又足夠證明全書給出的數百條定理（《原本》中有467個定理）。其次在于到那時為止所知道的幾何定理幾乎全部被合乎邏輯地編排起來，成了體系。一、古希臘的幾何學

歐幾里得幾何三、數學與數學教育

歐幾里得《幾何原本》既是人類理性思維的一個高峰，又必然是一大挑戰(zhàn)。它是西方思想文獻中最有影響的經典著作之一。然而，《原本》的出現(xiàn)是人類文化史的革命性事件。但是，《原本》在公理化方面仍有許多缺點?？傮w來看，《原本》過多地依賴了直觀，這是常導致一些錯誤的原因。要真正“取消”直觀的影響，不是僅憑人的主觀愿望和哲學家的理論主張就能做到的，需要的是整個人類文化發(fā)展的背景下幾代數學家艱苦努力的積累。要等待2000多年后的希爾伯特。一、古希臘的幾何學

歐幾里得幾何三、數學與數學教育

亞里士多德（公元前384-公元前321）百科全書式的學者。托勒密（約公元100-公元160）希臘天文學集大成著，總結了希臘天文學幾乎所有的成果，繼承和發(fā)展了亞里士多德的地心說。亞里士多德和托勒密的地心說統(tǒng)治了西方天文學一千多年并獲得正統(tǒng)地位。并賦予了宗教意義。一、古希臘的幾何學

亞里士多德三、數學與數學教育

科學革命的四位巨匠:哥白尼（1473-1543），開普勒（1571～1630），伽利略（1564-1642），牛頓（1643—1727）近代科學始于仰望星空，文藝復興時期的哥白尼和開普勒，思想直承古希臘，眼光還在天空；直到伽利略才把數學從天空中拉回到地面上，最后是牛頓，對天上地上的自然現(xiàn)象做了第一次大綜合，他的著作就是《自然哲學的數學原理》。至此，數學從理性世界回歸到了現(xiàn)實世界。二、數學與第一次科學革命

四位巨匠三、數學與數學教育

這一時期有兩點值得注意：數學與實驗的結合。柏拉圖的理性世界，這種觀點在亞歷山大時期就已經大打折扣了。已經產生了數學與經驗知識相結合的阿基米德這樣完全具有近代科學思想素質的天才。亞歷山大時期的數學和科學已經有了這種跡象，它似乎能夠把雅典時期的超凡脫俗的數學拉回到現(xiàn)實世界中來。數學與實驗的再度結合是一千多年以后的事情了，真正的開始應該是伽利略的工作。二、數學與第一次科學革命

第一點三、數學與數學教育

畢達哥拉斯—柏拉圖傳統(tǒng)的基督教轉換。從古羅馬后期開始，基督教統(tǒng)治了歐洲的思想世界一千多年，希臘精神以一種改頭換面的方式從基督教中復活了。上帝是按數學方式設計了大自然的。萊布尼茲補充說：“世界是按上帝的計算創(chuàng)造的?！遍_普勒在每次獲得發(fā)現(xiàn)時都對上帝寫了頌歌。數學家和科學家的信仰與態(tài)度是文藝復興時代席卷整個歐洲的更大量文化現(xiàn)象的范例。二、數學與第一次科學革命

第二點三、數學與數學教育

亞里士多德去世一千八百三十年之后，一個偉大的人物誕生了——哥白尼。當哥白尼著手處理行星運動問題時，托勒密的地心說已經被后人不斷地復雜化。哥白尼決心從數學上系統(tǒng)地探索他猜測的可能性。哥白尼日心說的唯一優(yōu)勢是數學的優(yōu)勢，是數學作為上帝設計宇宙的最終方案所展現(xiàn)的簡潔和完美的感召性力量的優(yōu)勢。事實上，很長一段時間里只有數學家們支持哥白尼，哥白尼也說過他的書是寫給數學家看的。二、數學與第一次科學革命

哥白尼三、數學與數學教育

根據哥白尼體系，宇宙不是以地球為中心的，地球和別的行星一樣，圍繞太陽而運行，唯有太陽才固定在體系的中心。這一簡單而基本的發(fā)現(xiàn)，使人們對宇宙的看法從神秘原始的見解進入到現(xiàn)代的思考，并引起了思想上的革命。哥白尼運用科學方法所得到的、具有革命內容的《天體運行論》向自然事物方面的教會權威給予了公開挑戰(zhàn)。從此，不僅鋪平了通向近代天文學的道路。整個自然科學也開始從神學中解放出來，借以宣布其獨立，開辟了自然科學的新時代。二、數學與第一次科學革命

哥白尼三、數學與數學教育

開普勒在大學學習時就對托勒密和哥白尼體系進行了深人的對比研究，并力求進一步找出宇宙中當時已知的六大行星與太陽之間可以體現(xiàn)“數的和諧”的規(guī)律。開普勒通過數學規(guī)律和“魯道夫星表”使宇宙體系獲得了一個有序的圖景。笛卡兒曾說：“開普勒是我主要的光學老師，勝過所有他人”。二、數學與第一次科學革命

開普勒三、數學與數學教育(1)行星運動第一定律——行星的軌道是橢圓的，太陽位于橢圓的一個焦點上。這一定律又叫軌道定律。(2)行星運動第二定律——行星與太陽所連直線，即行星的向徑在相等時問內掃過的面積相等。(3)行星運動第三定律——行星繞太陽一周的時間的平方與行星同太陽的平均距離的立方成正比。周期定律。二、數學與第一次科學革命

開普勒三定律三、數學與數學教育

開普勒行星運動三大定律的發(fā)現(xiàn)，把哥自尼的日心說推向了定量化與精確化階段。使太陽系成為一個嚴格按照確定規(guī)律運行的力學體系。由于這三個定律正確地反映了行星運動的過程與規(guī)律，為牛頓建立萬有引力定路打下堅實基礎。因此，人們稱頌他是“天空法律創(chuàng)制者”，“天體力學奠基人”。二、數學與第一次科學革命

開普勒

3.數學與其他領域在哥白尼之前，托勒密的地心說被基督教確定為天文學的真理；在伽利略之前，亞里士多德的物理學被基督教接受為真理。伽利略把科學從天上拉回到地上，放棄了古代哲學對宇宙做總體思辨和外在靜觀的方式，只對那些能夠進入實驗室的可以反復研究的簡單現(xiàn)象有興趣。伽利略說：“自然的大書是用數學語言寫成的”二、數學與第一次科學革命

伽利略

3.數學與其他領域伽利略實際上使用了把實驗和邏輯、數學結合起來的研究方法，而經典力學的建立，實質上也就是實驗方法、邏輯思維方法與數學方法的建立和發(fā)展過程，可見，伽利略的研究方法對經典力學產生了極其重要的影響。時至今天，伽利略開創(chuàng)的研究方法，仍然具有強大的生命力和實際成效。二、數學與第一次科學革命

伽利略3.數學與其他領域牛頓的全部工作都是遵循伽利略的科學研究方法的。他不僅概括了伽利略、惠更斯（1629∽1695荷蘭物理學家）的成果，而且把它們放在一個完整的邏輯體系之中，特別令人震驚的是：開普勒三定律也只不過是萬有引力定律的推論。它不再是哲學家的思辨加上多年觀測記錄的概括。整個物理學（牛頓時代，物理學主要是力學）都像幾何學一樣被放進了邏輯演繹體系里了。二、數學與第一次科學革命

牛頓

3.數學與其他領域在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就占有突出的地位。他數學生涯中的第一項創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項式定理。微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數學成就。首次提出一階微分方程的分類；確定了微分方程求解的理論基礎；開辟了應用無窮級數求解微分方程的方向；開創(chuàng)參數變易法思想并最先應用于解決三體問題的攝動理論等。二、數學與第一次科學革命

牛頓3.數學與其他領域力學運動規(guī)律的探求和重力與天體運動問題的研究始終是牛頓發(fā)明微積分、創(chuàng)造新的數學工具的主要動力，他為解決運動問題，創(chuàng)立了這種和物理概念直接聯(lián)系的數學理論。牛頓的思想和方法對創(chuàng)立和發(fā)展微分方程學科具有重要的理論意義和歷史意義。而牛頓在其物理學研究生涯中主要將智慧與時間奉獻給了力學與光學。二、數學與第一次科學革命

牛頓

3.數學與其他領域二、數學與第一次科學革命

世人的贊譽

3.數學與其他領域

牛頓一生的重要貢獻是集16、17世紀科學先驅們成果的大成，建立起一個完整的力學理論體系，把天地間萬物的運動規(guī)律概括在一個嚴密的統(tǒng)一理論中。這是人類認識自然的歷史中第一次理論的大綜合。以牛頓命名的力學是經典物理學和天文學的基礎，也是現(xiàn)代工程力學以及與之有關的工程技術的理論基礎。這一成就，使以牛頓為代表的機械論的自然觀，在整個自然科學領域中取得了長達200年的統(tǒng)治地位。二、數學與第一次科學革命

贊嘆——科學界的領袖3.數學與其他領域

近代科學革命之所以把文藝復興以來試圖打破古代權威的絕對統(tǒng)治的理想變?yōu)榱爽F(xiàn)實，使