垂直的處理策略

經(jīng)典word整理文檔，僅參考，雙擊此處可刪除頁眉頁腳。本資料屬于網(wǎng)絡(luò)整理，如有侵權(quán)，請聯(lián)系刪除，謝謝！垂直的處理策略題目：如圖1，拋物線y=-x^2+x+2與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)、點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線BD的解析式；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；(4)在點(diǎn)P△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.簡析：前三問比較簡單，直接附上答案：4)下面進(jìn)入本文主題，重點(diǎn)分析最后一問；的垂直處理策略：綜上所述：點(diǎn)Q3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．解題后反思：優(yōu)勢：本題采取代數(shù)法最大的優(yōu)勢就是設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，直接進(jìn)行盲算，不需畫圖分析，不易漏解，畫圖分析可能會產(chǎn)生漏解的情況，下面幾何法會深刻體會到這一點(diǎn)；想法此法不①中解出兩個(gè)m的值后沒有結(jié)合題目進(jìn)行取舍，這個(gè)方法也是網(wǎng)上提供的主要方法；劣勢：凡是都有兩面性，代數(shù)盲解法不用畫圖分析，但計(jì)算量實(shí)在是大，尤其是在本題中，若計(jì)算能力不到位，十有八九的學(xué)生會出現(xiàn)算不出結(jié)果或者算錯(cuò)結(jié)果的可能性；之所以說算不出結(jié)果，是因?yàn)樯俨糠謱W(xué)生想到“四次方”的出現(xiàn)而望而卻步、畏首畏尾、不知所措，其實(shí)只要將所列方程中的﹣m2+m+2，即拋物線上動點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)看作是一個(gè)整體，其平方會自然抵消，根本就不會出現(xiàn)所謂“四次方”，僅僅最多是一個(gè)一元二次方程，肯定可解；另外，很多學(xué)生即使去計(jì)算到底了，也可能計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致丟分！第一步（兩線”“△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形”，也就是說問題已得到了一定的簡化，只需分別過D兩點(diǎn)作邊BD的垂線與拋物線的交點(diǎn)即為所要尋找的點(diǎn)，如圖2所示；BD的過點(diǎn)DA理去驗(yàn)證即可），而另一個(gè)交點(diǎn)極其容易被學(xué)生忽視，在右下方比較遠(yuǎn)的地方，這也是此法的劣勢所在，所以滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)；K3QRt△QDB構(gòu)造“水平—豎直”“改斜歸正”得K字型相似，即Rt△QBM∽Rt△BDN；優(yōu)勢：由上面的第三步可以看出，這里所謂幾何法的優(yōu)勢是列出的方程相對簡單，很神奇地就避開了代數(shù)法中有可能出現(xiàn)的“四次方程”，而且“見直角造K字型相似”應(yīng)該算是一種重要的解題模型，需要同學(xué)們掌握并熟練運(yùn)用的，所以幾何法相對于代數(shù)法，計(jì)算上肯定是大大簡化了，所以有老師號稱“能用幾何法，堅(jiān)決不用代數(shù)法”；“號稱”！此題寧用代數(shù)法盲解，也不用幾何法求解，原因是后者必須畫圖分析，其對圖形的依賴性過強(qiáng)，而且需要“畫三次”，因?yàn)橛腥齻€(gè)符合條件的點(diǎn)，雖然理論上同理計(jì)算可得，但想要求出結(jié)果的話，還是必須老實(shí)巴交地畫出較準(zhǔn)確的圖形來，尤其是過點(diǎn)D的垂線與拋物線右下方的交點(diǎn)太“遠(yuǎn)”了，遠(yuǎn)的同學(xué)們很容易忽略，遠(yuǎn)的即使你沒有忽略，畫圖也難以下手！策略三（解析幾何法——兩條垂直直線的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為1）：如圖3所示，兩條與已知直線BD垂直的直線的一次項(xiàng)系數(shù)k一旦確定，其解析式立馬可求，再與拋物線聯(lián)立即得到所求的Q的三個(gè)坐標(biāo)；如圖3所示，兩條與已知直線BD垂直的直線的一次項(xiàng)系數(shù)k一旦確定，其解析式立馬可求，再與拋物線聯(lián)立即得到所求的Q的三個(gè)坐標(biāo)；“解析幾何法”了個(gè)思路，對此有所了解的同學(xué)可進(jìn)一步想一想，對此毫不知情的同學(xué)可繞過！優(yōu)勢：此法思路極其簡單，直接求出兩條垂線的解析式，再與拋物線聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)即可輕松“秒殺”；劣勢：此法肯定超綱了，部分學(xué)優(yōu)生可以了解一二，但絕大部分學(xué)生還是應(yīng)該繞過此法，視而不見為好！策略四（構(gòu)造法——見直角，構(gòu)造等腰直角三角形，再造K字型全等）：“創(chuàng)造性”策略三的優(yōu)勢，又能回避其超綱的劣勢，不信你看：第一步（“兩線”作圖法）：如同策略二，還是分別過、D兩點(diǎn)作邊BD的垂線與拋物線的交點(diǎn)即為所要尋找的點(diǎn)，如圖4；第二步（構(gòu)造等腰直角三角形——K解析式就GAMEOVER了！但如何用一個(gè)更加通俗易懂的方式求出兩條垂線的解析式呢？眾所周知，要想求直線的解析式只需要兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，而這兩條垂線都已經(jīng)過了一個(gè)已知點(diǎn)，即點(diǎn)B或者點(diǎn)D，能不能再找一個(gè)相對特殊的點(diǎn)求之呢？筆者突發(fā)奇想，從前《玩轉(zhuǎn)45度》中“見45度作垂線構(gòu)造等腰直角形”，這里“見直角”了，為何不能也去主動造個(gè)等腰直角三角形呢！只需截取兩直角邊相等即可！如圖4所示，分別截取BE=DF=BD，“”，其實(shí)就已經(jīng)造出了想要的等腰直角三角形了，然后再通過構(gòu)造“水平—豎直”輔助線，改斜歸正”得K字型全等；下面幾乎是“一馬平川掃天下”了！易知點(diǎn)E（6，-4），點(diǎn)F（2），一步到位將兩條垂線解析式都搞定，再與拋物線聯(lián)立解方程組即可，GAMEOVER！優(yōu)勢：最后一種方法創(chuàng)造性地通過構(gòu)造等腰三角形的方法解決了直角三角形的存在性問題，這種突發(fā)奇想、創(chuàng)造力、強(qiáng)大的聯(lián)想機(jī)制都值得同學(xué)們學(xué)習(xí)，此法延續(xù)了策略二幾何構(gòu)造“K字型”又避免了上述兩種策略各自的劣勢；《廣猛說題系列之再談“垂直處理”的幾種常見策略》題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠＝90°，AC＝6cm，＝8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接AQ與CP，若AQ⊥CP，求t的值.簡析：題目中出現(xiàn)條件“AQ⊥CP”，這是一個(gè)“垂直問題”，如何處理此垂直條件成為了解題的關(guān)鍵；其實(shí)，想法很簡單，學(xué)生可捫心自問“垂直怎么來”？很直白，這個(gè)垂直是由兩條線段AQ與CP而來；垂直既然由兩條線段AQ與CP而來，那肯定就依托于這兩條線段AQ與CP來解決，這就是極其簡單的“因果關(guān)系分析法”，即一個(gè)東西怎么來，就怎么求；那如何依托這兩條線段AQ與CP來解決此問題呢？在數(shù)學(xué)中有一種極其重要而常見的輔助線，那就是傳說中人人都會、人人都可嘗試的“水平—豎直輔助線“改斜歸正”一試，很多題目的求解就是試著試著就出來了，不信你看；過AQ與CP的四個(gè)頂點(diǎn)補(bǔ)上一些“水平—”，其實(shí)只要嘗試了，不管怎么作輔助線都可以，如圖1-1所示，最簡潔的方式就是過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)，輔助線當(dāng)然作的越少越精簡，解數(shù)學(xué)題要有至簡至美的追求；由三個(gè)垂直條件，即AQ⊥CP、PG⊥BC及QC⊥AC容易推出Rt△∽Rt△CGP，這樣的基本圖形可以形象地簡稱為“三垂直相似”；接下來把這個(gè)“三垂直相似”“直線段”）均表示出來，問題就“直線段”1-1PG=3tCG=8-4t，QC=4t，AC=6；解題后反思：本題的垂直處理是一種常用的策略與手段，即依托形成垂直的兩條線段的四個(gè)頂點(diǎn)作一些“水平—豎直輔助線”三垂直相似”“改斜歸正”“直線段對應(yīng)成比例列方程求解即可；而且上面所謂的“水平—豎直輔助線”，想怎么作就怎么作，一般輔助線越少越好，同學(xué)們要有追求簡法的意識；“垂直問題”學(xué)生做不出來，哎，讓人遺憾，且去看看：“垂直問題”的幾種處理策略；本題的關(guān)鍵條件是∠ACD=90°“垂直問題”如何處理成了解題的突破口；ACD=90°知△ACB為直角三角形，鎖定此直角三角形，利用勾股定理即可搞定問題，可以分以下幾步“機(jī)械化處理”；解題后反思：本題由直角三角形得勾股定理列方程，是“垂直處理”中最基本的一種策略，屬代數(shù)暴力計(jì)算，筆者預(yù)計(jì)學(xué)生做不出，很有可能是這里的計(jì)算能力不到位，會方法但算不出，徒勞無益，所以學(xué)生得重視計(jì)算能力的培養(yǎng)，遇到復(fù)雜運(yùn)算千萬不要畏畏縮縮，而是應(yīng)該迎難而上，平時(shí)一定要重視計(jì)算能力的培養(yǎng)，計(jì)算能力強(qiáng)的學(xué)生一般情況下數(shù)學(xué)不會學(xué)的而且近年來中考已經(jīng)越來越重視學(xué)生的計(jì)算能力了，值得同學(xué)們關(guān)注！下面再提供幾種偏幾何的策略：解題后反思：這里抓住了“垂直問題”里經(jīng)常會出現(xiàn)或者能構(gòu)造出的相似圖形，如“K字型相似”“射影相似型”或者“三垂直相似”“K字型相似”與“射影相似型”都可以統(tǒng)稱為“三垂直相似”，它們之間都是“一家人”??！“K字型相似”2-1再去表示此“K字型相似”走了些彎路，僅此而已，其實(shí)也“無傷大雅”；“K字型相似”處理與前面的“射影相似型”處理本質(zhì)一模一樣，如圖2-2所示，不就是兩組全等的直角三角形嘛！兩組全等的直角三角形中各取其一的話，兩兩組合，其實(shí)一共可以組成四種解法，其本質(zhì)都是相通的，甚至再與題1中的“垂直處理”結(jié)合琢磨，都是所謂“三垂直相似”嘛，一通百通?。∵@里一條直線所謂的“坐標(biāo)軸三角形”——再現(xiàn)改斜歸正大法》提及過，具體可參考上面的文章；若k為負(fù)數(shù)，其實(shí)比值就為-k，推導(dǎo)方式不變；值得一提的是，上面邊長與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化中，因?yàn)椴淮_定b的正負(fù)，因而巧妙借助了“絕對值策略”，避免了“繁瑣的”分類討論，這個(gè)小技巧，你值得擁有；另外還要注意用y“縱邊”）比上x“橫邊”），順序不能隨意顛倒，這就是神人“于特”命名的“縱橫比”；換言之，當(dāng)直線y=kx+b中的k確定時(shí)，其“縱橫比”也就確定了，其實(shí)就是該直線與坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的形狀確定了，即“坐標(biāo)軸三角形”的三邊之比就確定了，抓住了這個(gè)比值，其實(shí)就是抓住了題目中的不變角，利用比例相似口算邊長即可；再重復(fù)一遍，直線y=kx+b中k決定其對應(yīng)的“坐標(biāo)軸三角形”的形狀，而b的值確定其“坐標(biāo)軸三角形”的大??！重復(fù)的目的，旨在同學(xué)們記住它額，理解后方便自如應(yīng)用；第一步（畫出所謂兩線一圓）：由△ABC為直角三角形知，這是一個(gè)典型的“直角三角形”存在性問題，可采取所謂“兩線一圓法”畫出較準(zhǔn)確的圖形，再去慢慢分析計(jì)算，如圖3-1所示；3-2“”，很明顯符合這樣的點(diǎn)A有兩個(gè)，即為第一步中的“兩線一圓”與題目中已知直線的交點(diǎn)（B點(diǎn)除外，要舍去）；顯然，點(diǎn)A1的坐標(biāo)可直接進(jìn)行口算，為（3，5/2）；瞧，這種情形多簡單啊，哪用上面的“代數(shù)盲解”法“千辛萬苦才喚出來”啊！至于另一個(gè)點(diǎn)A2坐標(biāo)的求法，可采取策略一，即“代數(shù)勾股暴力計(jì)算法”，這樣也就不用動腦想其他幾何策略，而是“一意孤行”地去算即可，這就是吾之所謂的“混合解法”；當(dāng)然點(diǎn)A2坐標(biāo)的求法，還可以采取下面的“比例口算相似法”：“兩線一圓法”知適合于通過“精準(zhǔn)畫圖”找到這樣的點(diǎn)，但還沒求出，若是想要求其坐標(biāo)，一方面通過畫完的圖分析思路，看看有沒有較簡單的偏幾何的解法，這樣可以有效避開“代數(shù)勾股盲解法”繁瑣的計(jì)算；當(dāng)然還有一些情形，需要深入分析才能找到更適合的簡易的幾何解法，比如此題中通過抓確定的不變角，結(jié)合比例口算得出所求，這需要一定的思維量；當(dāng)然若是思維量達(dá)不到，還有路可走，那就是毅然決然地放棄“思維”，改變策略專門針對個(gè)別情形“一通死算”得出結(jié)論即可；“幾何思維量”與“代數(shù)計(jì)算量”二者不可兼得，舍其一而取另一者也；當(dāng)然也可以“混合使用”，看需要靈活穿插使用；“射影定理”跟上面的“比例口算”“水平—豎直”“改斜歸正”之作用，具體可參見題2中策略二的解題后反思部分；甚至于此題求點(diǎn)A2的坐標(biāo)時(shí)還可以采取“K字型相似”的解題策略，如圖3-3“大材小用”“小題大做”“射影定理”相同，不再贅述；關(guān)于策略二中點(diǎn)A2的坐標(biāo)求法，這里再提供一種巧妙借助“縱橫比”，借助解析法先求出直線A2C的解析式，再與已知直線聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)的方式；策略三（巧用縱橫比，借助解析法求交點(diǎn)坐標(biāo)）：垂直處理三垂直相似”3-4所示，延長CA2與y軸交于點(diǎn)E，易得由Rt△COE∽Rt△DOB，這是一個(gè)典型的“三垂直結(jié)構(gòu)”；“混合解法”A1A2則采取了“解析法”，通過求交點(diǎn)坐標(biāo)解得，這里提到了直線的“縱橫比”，而所謂“縱橫比”，其本質(zhì)就是“三垂直相似”而已，不要覺得多么高大上，它是一種常見的“垂直問題”處理策略！關(guān)于等腰三角形存在性問題中“兩圓一線法”與直角三角形存在性問題“兩線一圓法”再舉一個(gè)更典型的例子，專門類比介紹這兩種題型，希望同學(xué)們用心體會；題4（來源：高郵市贊化學(xué)校二輪復(fù)習(xí)存在性問題專題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），（0，6），動點(diǎn)C在直線y=x上若以A，，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有個(gè).簡析：本題一個(gè)典型的等腰三角形存在性問題，屬“兩定一動型”，且只要求點(diǎn)C的個(gè)數(shù)，無需求其坐標(biāo)，這特別適合于上面所說的“兩圓一線法”，但有前提，那就是“精準(zhǔn)畫圖”，一方面要求題目給定的圖是準(zhǔn)確圖，另一方面要求自己畫的“兩圓一線”都要準(zhǔn)確；第一步（精準(zhǔn)畫圖，兩圓一線）：如圖4-1所示，分別以A、B為圓心，以AB為半徑作AB“兩圓一線法”；“兩圓一線4-1“兩圓一線”與直線y=x的交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)；如果題目給定圖形準(zhǔn)確，自己畫圖又相對準(zhǔn)確，則基本就能數(shù)出符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)，很明顯有三個(gè)；如果沒有幾何畫板等作圖工具，這樣的精準(zhǔn)畫圖并不容易，那有沒有更有說服力的依據(jù)去推導(dǎo)所要尋找的交點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？第三步（判斷直線與圓的位置關(guān)系，理論推導(dǎo)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）：如圖4-1所示，顯然只要判斷⊙B與已知直線y=x有沒有公共點(diǎn)即可，而⊙B的半徑r為4，只需求出⊙B的圓心B到直線y=x的距離d，比較d與r的大小關(guān)系即可知道⊙B與直線y=x的位置關(guān)系，進(jìn)而得知它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；“”“兩圓一線法”精準(zhǔn)“代數(shù)勾股盲解法”或者采取“抓不變角”“三線合一”“混合解法”策略，不再詳述，具體可參見本人與等腰三角形存在性問題相關(guān)的作品；上述問題還有個(gè)有趣的變式如下：題4變式：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），（，6），動點(diǎn)C在直線y=x上若以A，，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有個(gè).簡析：將這個(gè)變式問題中的直角三角形存在性問題與原題4中的等腰三角形存在性問題進(jìn)行類比分析，將趣味橫生；此變式是一個(gè)“兩定一動型”C這特別適合于“兩線一圓法”，但有前提，那就是“精準(zhǔn)畫圖”，一方面要求題目給定的圖是準(zhǔn)確圖，另一方面要求自己畫的“兩線一圓”都要準(zhǔn)確；第一步（精準(zhǔn)畫圖，兩線一圓）：如圖4-3所示，分別過AB作y軸的垂線，此為所謂的“兩線”，再以AB為直徑作⊙M，此為所謂的“一圓”，這就是“兩定一動型”直角三角形存在性問題精準(zhǔn)畫圖之“兩線一圓法”；“兩線一圓4-3“兩線一圓”與直線y=x的交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)；如果題目給定圖形準(zhǔn)確，自己畫圖又相對準(zhǔn)確，則基本就能數(shù)出符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)，很明顯只有兩個(gè)；、如果沒有幾何畫板等作圖工具，這樣的精準(zhǔn)畫圖并不容易或者說并不能讓人百分之百信服，那有沒有更有說服力的依據(jù)去推導(dǎo)所要尋找的交點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？此時(shí)再次用到圓與直線位置關(guān)系的判定；第三步（判斷直線與圓的位置關(guān)系，理論推導(dǎo)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）：如圖4-3所示，顯然只要判斷⊙M與已知直線y=x有沒有公共點(diǎn)即可，而⊙M的半徑r為2，只需求出⊙M的圓心M到直線y=x的距離dd與r的大小關(guān)系即可知道⊙M與直線y=x它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；4及其變式是兩道典型的“兩定一動型”腰三角形存在性問題，可借助“兩圓一線法”精確畫圖找到所需動點(diǎn)的位置；而后者是直角三角形存在性問題，可借助“兩線一圓法”精確畫圖找到所需動點(diǎn)的位置；這兩種題型、兩種方法之間具有驚人的相似度，相輔相成，建議同學(xué)們將兩者放在一起琢磨，越琢磨會越有趣，記憶、理解都會越深刻！經(jīng)典問題1（九（）班吳星宇同學(xué)課堂上提出問題）：在平面直角坐標(biāo)系中，求一條定線段的垂直平分線的解析式；舉例：如圖所示，已知點(diǎn)A（2,5），（4,1），求線段AB的垂直平分線l的解析式.“確定性思想”分析此問題，很明顯線段AB是確定的，其垂直平分線當(dāng)然是確定的，既然是確定的，肯定是可求的，如何去求解呢？如圖問題1-1，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M，則易知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,3），很明顯所求直線l已經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)M；l上的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，理論上可以隨便選取直線l上的另一個(gè)定點(diǎn)，求其坐標(biāo)即可，一般選取比較特殊的點(diǎn)較好，如直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就蠻好的，尤其是與y軸的交點(diǎn)最好，如圖問題1-2所示，設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)N，只要求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可；現(xiàn)在圖中已有三個(gè)已知點(diǎn)，它們分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B及點(diǎn)M，要求的是第四個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)，接下來只要依托于這四個(gè)點(diǎn)作一些有趣的“水平—豎直輔助線”，利用所求直線l垂直于線段AB“三垂直結(jié)構(gòu)”的相似三角形，更有趣的是，只要過這四個(gè)點(diǎn)作系列“水平—豎直輔助線”，無論怎么做都可以解決問題，當(dāng)然輔助線有多少之分，一般我們最好要有用最少的輔助線來解決問題的追求；解題后反思：求一條定線段的垂直平分線，關(guān)鍵是確定該垂直平分線上的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般可求其與y軸的交點(diǎn)，主要依托線段