高斯積分法講義

（優(yōu)選）高斯積分法講義當前1頁，總共56頁。

4.5.1一般理論

求積公式含有個待定參數當為等距節(jié)點時得到的插值求積公式其代數精度至少為次.如果適當選取有可能使求積公式具有次代數精度，這類求積公式稱為高斯(Gauss)求積公式.當前2頁，總共56頁。為具有一般性，研究帶權積分這里為權函數，類似(1.3)，求積公式為（5.1）為不依賴于的求積系數.使（5.1）具有次代數精度.為求積節(jié)點，可適當選取

定義4如果求積公式(5.1)具有次代數精度，則稱其節(jié)點為高斯點，相應公式(5.1)稱為高斯求積公式.當前3頁，總共56頁。根據定義要使(5.1)具有次代數精度，只要對（5.2）當給定權函數，求出右端積分，則可由(5.2)解得令(5.1)精確成立，即當前4頁，總共56頁。

例5（5.3）

解令公式(5.3)對于準確成立，試構造下列積分的高斯求積公式：得（5.4）當前5頁，總共56頁。由于利用(5.4)的第1式，可將第2式化為同樣地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分別得從上面三個式子消去有當前6頁，總共56頁。進一步整理得由此解出從而當前7頁，總共56頁。這樣，形如(5.3)的高斯公式是由于非線性方程組(5.2)較復雜，通常就很難求解.故一般不通過解方程(5.2)求，而從分析高斯點的特性來構造高斯求積公式.當前8頁，總共56頁。

定理5是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數不超過的多項式帶權正交，（5.5）

證明即插值型求積公式(5.1)的節(jié)點必要性.設則當前9頁，總共56頁。是高斯點，因此，如果精確成立，因即有故(5.5)成立.則求積公式(5.1)對于充分性.用除，記商為，余式為，即,其中.對于由(5.5)可得（5.6）當前10頁，總共56頁。由于求積公式(5.1)是插值型的，它對于是精確的，即再注意到知從而由(5.6)有當前11頁，總共56頁?？梢娗蠓e公式(5.1)對一切次數不超過的多項式均精確成立.因此，為高斯點.定理表明在上帶權的次正交多項式的零點就是求積公式(5.1)的高斯點.有了求積節(jié)點，再利用對成立，的線性方程.解此方程則得則得到一組關于求積系數當前12頁，總共56頁。下面討論高斯求積公式(5.1)的余項.利用在節(jié)點的埃爾米特插值于是也可直接由的插值多項式求出求積系數即當前13頁，總共56頁。兩端乘，并由到積分，則得（5.7）其中右端第一項積分對次多項式精確成立，故由于（5.8）由積分中值定理得(5.1)的余項為關于高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性，有：當前14頁，總共56頁。

定理6

證明它是次多項式，因而是次多項式，注意到高斯求積公式(5.1)的求積系數全是正的.考察故高斯求積公式(5.1)對于它能準確成立，即有上式右端實際上即等于從而有當前15頁，總共56頁。由本定理及定理2，則得

推論

定理7定理得證.高斯求積公式(5.1)是穩(wěn)定的.設即則高斯求積公式(5.1)收斂，當前16頁，總共56頁。

4.5.2高斯-勒讓德求積公式

在高斯求積公式(5.1)中，由于勒讓德多項式是區(qū)間上的正交多項式，因此，勒讓德多項式的零點就是求積公式(5.9)的高斯點.形如(5.9)的高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式.區(qū)間為則得公式若取權函數（5.9）當前17頁，總共56頁。令它對準確成立，即可定出這樣構造出的一點高斯-勒讓德求積公式為是中矩形公式.若取的零點做節(jié)點構造求積公式再取的兩個零點構造求積公式當前18頁，總共56頁。令它對都準確成立，有由此解出三點高斯-勒讓德公式的形式是表4-7列出高斯-勒讓德求積公式(5.9)的節(jié)點和系數.從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式當前19頁，總共56頁。當前20頁，總共56頁。由(5.8)式，這里是最高項系數為1的勒讓德多項式.由第3章(2.6)及(2.7)公式(5.9)的余項當前21頁，總共56頁。得（5.10）當時，有它比區(qū)間上辛普森公式的余項還小，且比辛普森公式少算一個函數值.當積分區(qū)間不是，而是一般的區(qū)間時，只要做變換當前22頁，總共56頁。可將化為,（5.10）對等式右端的積分即可使用高斯-勒讓德求積公式.這時當前23頁，總共56頁。

例6用4點()的高斯-勒讓德求積公式計算

解先將區(qū)間化為，根據表4-7中的節(jié)點及系數值可求得由(5.11)有當前24頁，總共56頁。4.5.3高斯-切比雪夫求積公式若且取權函數則所建立的高斯公式為（5.12）稱為高斯-切比雪夫求積公式.當前25頁，總共56頁。由于區(qū)間上關于權函數的正交多項式是切比雪夫多項式，因此求積公式(5.12)的高斯點是次切比雪夫多項式的零點，即為(5.12)的系數使用時將個節(jié)點公式改為個節(jié)點，（5.13）于是高斯-切比雪夫求積公式寫成當前26頁，總共56頁。由(5.9)，余項帶權的高斯求積公式可用于計算奇異積分.（5.14）當前27頁，總共56頁。

例7用5點()的高斯-切比雪夫求積公式計算積分

解當時由公式(5.13)由(5.14)式，誤差這里可得當前28頁，總共56頁。4.6數值微分數值微分就是用函數值的線性組合近似函數在某點的導數值.當前29頁，總共56頁。

4.6.1中點方法與誤差分析

按導數定義可以簡單地用差商近似導數，這樣立即得到幾種數值微分公式其中為一增量，稱為步長.

（6.1）當前30頁，總共56頁。后一種數值微分方法稱為中點方法，它其實是前兩種方法的算術平均.但它的誤差階卻由提高到較為常用的是中點公式.為利用中點公式計算導數的近似值，首先必須選取合適的步長，為此需要進行誤差分析.分別將在處做泰勒展開有當前31頁，總共56頁。代入中點公式得從截斷誤差的角度看，步長越小，計算結果越準確.其中且（6.2）當前32頁，總共56頁。再考察舍入誤差.按中點公式，當很小時，因與很接近，直接相減會造成有效數字的嚴重損失.因此，從舍入誤差的角度來看，步長是不宜太小的.例如，用中點公式求在處的一階導數取4位數字計算.結果見表4-8(導數的準確值).當前33頁，總共56頁。從表4-8中看到的逼近效果最好，如果進一步縮小步長，則逼近效果反而越差.則計算的舍入誤差上界為這是因為當及分別有差入誤差及若令當前34頁，總共56頁。它表明越小，舍入誤差越大，故它是病態(tài)的.用中點公式(6.1)計算的誤差上界為要使誤差最小，步長不宜太大，也不宜太小.其最優(yōu)步長應為當前35頁，總共56頁。4.6.2插值型的求導公式對于列表函數運用插值原理，可以建立插值多項式作為它的近似.由于多項式的求導比較容易，我們取的值作為的近似值，這樣建立的數值公式（6.3）統(tǒng)稱插值型的求導公式.當前36頁，總共56頁。即使與的值相差不多，與導數的真值仍然可能差別很大.導數的近似值因而在使用求導公式(6.3)時應特別注意誤差的分析.依據插值余項定理，求導公式(6.3)的余項為式中當前37頁，總共56頁。但如果限定求某個節(jié)點上的導數值，那么第二項中由于是的未知函數，所以對隨意給出的點，誤差是無法預估的.因式變?yōu)榱?，這時余項公式為（6.4）下面僅考察節(jié)點處的導數值并假定所給節(jié)點是等距的.當前38頁，總共56頁。1.兩點公式設已給出兩個節(jié)點上的函數值對上式兩端求導，記，有做線性插值于是有下列求導公式：當前39頁，總共56頁。利用余項公式(6.4)知，帶余項的兩點公式是當前40頁，總共56頁。2.三點公式設已給出三個節(jié)點上的函數值，做二次插值令上式可表示為當前41頁，總共56頁。兩端對求導，有（6.5）式中撇號（′）表示對變量求導數.當前42頁，總共56頁。分別取得到三種三點公式：帶余項的三點求導公式為（6.6）當前43頁，總共56頁。其中的公式(6.6)是中點公式.它比其余兩個三點公式少用了一個函數值.用插值多項式作為的近似函數，還可以建立高階數值微分公式：例如，將式(6.5)再對求導一次，有當前44頁，總共56頁。于是有而帶余項的二階三點公式如下：（6.7）當前45頁，總共56頁。4.6.3利用數值積分求導微分是積分的逆運算，因此可利用數值積分的方法來計算數值微分.設是一個充分光滑的函數，（6.8）對上式右邊積分采用不同的求積公式就可得到不同的數值微分公式.則有當前46頁，總共56頁。例如，用中矩形公式(1.2)，則得從而得到中點微分公式若對(6.8)右端積分用辛普森求積公式，則有當前47頁，總共56頁。略去上式余項，并記的近似值為則得到辛普森數值微分公式這是關于的個方程組，已知，（6.9）若則可得當前48頁，總共56頁。這是關于的三對角方程組，且系數矩陣為嚴格對角占優(yōu)的，可用追趕法求解(見第5章5.4節(jié)).如果端點導數值不知道，那么對(6.9)中第1個和第個方程可分別用及的中點微分公式近似，然后求即為的近似值.即取當前49頁，總共56頁。

例8給定的一張數據表(表4-9左部)，并給定及的值(見表4-9).

解解之得