數(shù)學(xué)教育心理學(xué)第十六次課

上次課的內(nèi)容回顧

第一節(jié)數(shù)學(xué)概念學(xué)與教的心理分析一、概念的含義二、概念的獲得三、促進(jìn)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的教學(xué)建議一、概念的含義（一）概念的定義在認(rèn)識(shí)論中，概念被定義為“反映客觀事物的共同本質(zhì)屬性的思維形式.”

在心理學(xué)中，一般把概念定義為“符號(hào)所表征的具有共同本質(zhì)特征的同類事、物或性質(zhì).”（二）概念的構(gòu)成

1.概念的命名和定義2.概念的內(nèi)涵和外延3.概念的類別（三）概念的類別

具體性與定義性；精確與模糊；日常與科學(xué).二、概念的獲得概念的獲得意味著要求學(xué)生掌握一類事物的共同本質(zhì)屬性，并能辨別本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性,能列舉出概念的例證和反例.兒童獲得概念的三種基本形式是概念的形成概念的同化概念的順應(yīng)（一）概念獲得的心理分析概念的形成（conceptformation）概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過(guò)程.2．概念的同化（conceptassimilation）概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來(lái)理解接納新概念的過(guò)程.3．概念的順應(yīng)（conceptmodation）概念的順應(yīng)是指當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化新概念時(shí)，就要調(diào)整或改變?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便概括新概念.（二）數(shù)學(xué)概念的兩種教學(xué)模式1．概念形成的教學(xué)模式2．概念同化的教學(xué)模式三、促進(jìn)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的教學(xué)建議（一）概念的引入1.根據(jù)概念的定義形式引入2.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)引入（二）概念的理解1.加強(qiáng)對(duì)概念的解剖分析2.利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性3.注意概念的對(duì)比和直觀化4.注意概念體系的建構(gòu)（三）概念的運(yùn)用

在實(shí)踐中運(yùn)用概念的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是概念具體化的過(guò)程，這有助于學(xué)生對(duì)概念的深刻理解和牢固地掌握概念.

討論、思考問(wèn)題：1.數(shù)學(xué)概念獲得的心理意義是什么？

2.舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)概念獲得的三種方式。

3.數(shù)學(xué)概念分成哪些類別？今天我們要做什么？先看五個(gè)具體問(wèn)題：1.中國(guó)人學(xué)概念和美國(guó)人學(xué)概念有什么異同?2.概念和定義有什么異同？3.你認(rèn)為數(shù)學(xué)概念分成哪些類別？4.你如何來(lái)設(shè)計(jì)等差數(shù)列概念的教學(xué)？5.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)（何小亞，2008.2）：Ⅰ.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)不是低水平的概念言語(yǔ)連鎖學(xué)習(xí)，而是要

使學(xué)生在腦中形成概念表象，幫助學(xué)生在腦中建構(gòu)起良好的概念圖式。概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成。概念圖式中觀念的多少、觀念的準(zhǔn)確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。教

要教什么？

Ⅱ.會(huì)解題，考試成績(jī)好的學(xué)生，并不保證他有好的概念圖式。學(xué)生會(huì)做此題，但不會(huì)做2009年高考廣東卷理科第8題例如，2009年廣州一摸理科第10題：

2009年高考廣東卷理科第8題

Ⅲ.沒(méi)有了反函數(shù)的定義怎么教反函數(shù)？許多教師對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》沒(méi)有介紹反函數(shù)的定義，僅要求知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)這一變化十分困惑，不知如何把握深淺度。

（2009年廣東高考理科第3題）強(qiáng)化函數(shù)概念的好例子——反函數(shù)事實(shí)上，反函數(shù)不是什么新玩意，它就是一種與原函數(shù)聯(lián)系緊密的一種函數(shù)。反函數(shù)之所以難教，并不是它本身難，而是它的上位概念函數(shù)概念的教學(xué)出了問(wèn)題，即沒(méi)有真正幫助學(xué)生建構(gòu)起良好的函數(shù)概念認(rèn)知圖式。良好的函數(shù)概念圖式：

“函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；在一個(gè)集合中任意取定一個(gè)數(shù)，總可以在另一個(gè)集合里找到唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數(shù)組成了叫做值域的集合；函數(shù)概念的關(guān)鍵是由誰(shuí)唯一確定了誰(shuí)；函數(shù)概念與函數(shù)所用的符號(hào)沒(méi)有什么關(guān)系，就像人的名字一樣；……”這一心理圖式含有具體的函數(shù)實(shí)例（解析式、圖像、表格、映射圖）、抽象的對(duì)應(yīng)過(guò)程、定義的言語(yǔ)編碼，以及與其它概念的聯(lián)系（方程、曲線、不等式、代數(shù)式等）。又比如，2009年高考廣東卷理科第13題

Ⅳ.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的幾種水平(何小亞,2003)了解：能回憶出概念的言語(yǔ)信息；能辨認(rèn)出概念的常見例證；會(huì)舉例說(shuō)明概念的相關(guān)屬性.理解：能把握概念的本質(zhì)屬性；能與相關(guān)概念建立聯(lián)系；能區(qū)別概念的例證與反例.掌握：在理解的基礎(chǔ)上，能直接把概念運(yùn)用于新的情境.綜合運(yùn)用：能綜合運(yùn)用概念解決問(wèn)題.第二節(jié)數(shù)學(xué)原理學(xué)與教的心理分析一、什么是原理的學(xué)習(xí)二、數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的形式三、促進(jìn)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的教學(xué)建議一、什么是原理的學(xué)習(xí)1.對(duì)原理的兩種理解作為客觀的原理：指的是原理的客觀陳述，用言語(yǔ)符號(hào)信息描述概念之間的關(guān)系。作為主觀的原理：指的是人的心理操作反應(yīng)系統(tǒng),即主體在特定的情境中根據(jù)各種關(guān)系作出相應(yīng)的反應(yīng).它以產(chǎn)生式“若…，則….”的形式貯存在大腦中。主體能以一類操作行為對(duì)一類刺激情境作出反應(yīng)

.2.數(shù)學(xué)中的原理包括：

主要指公式、法則、定理和性質(zhì).一、什么是原理的學(xué)習(xí)3.原理學(xué)習(xí)的本質(zhì)（一）原理學(xué)習(xí)實(shí)際上是學(xué)習(xí)一些概念之間的關(guān)系.

（二）原理學(xué)習(xí)不是習(xí)得描述原理的言語(yǔ)信息，而是習(xí)得原理的心理意義，它是一種有意義的學(xué)習(xí).（三）原理學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是習(xí)得產(chǎn)生式.只要條件信息一滿足，相應(yīng)的行為反應(yīng)就自然出現(xiàn).學(xué)習(xí)者據(jù)此指導(dǎo)自己的行為并解決遇到的新問(wèn)題.（四）習(xí)得原理不是孤立地掌握一個(gè)原理，而是要在原理之間建立聯(lián)系，形成原理網(wǎng)絡(luò).4.原理學(xué)習(xí)的四種水平（何小亞，2008.7）從運(yùn)用原理的角度看，數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)可以分成

言語(yǔ)連鎖學(xué)習(xí)水平；正向產(chǎn)生式水平；逆向產(chǎn)生式水平；變形產(chǎn)生式水平.1）言語(yǔ)連鎖學(xué)習(xí)水平處于這一水平的學(xué)生，會(huì)說(shuō)，會(huì)背，會(huì)寫原理的客觀陳述，但不理解原理的本質(zhì)。他們尚未在心理上形成產(chǎn)生式，當(dāng)然也就不能運(yùn)用原理。2）正向產(chǎn)生式水平（正用水平）：處于這一水平的學(xué)生，已在心理上形成“若……則……”這一正向產(chǎn)生式，能夠由滿足原理的條件信息推出結(jié)論信息。屬于正向使用數(shù)學(xué)原理的水平。3)逆向產(chǎn)生式水平（逆用水平）：處于這一水平的學(xué)生，已在心理上形成“要……就要……”這一逆向產(chǎn)生式，能夠由結(jié)論信息出發(fā)，追尋結(jié)論成立的充分條件。這一水平屬于逆用數(shù)學(xué)原理的水平，是運(yùn)用數(shù)學(xué)原理的較高級(jí)水平。4）變形產(chǎn)生式水平（變形使用水平）：處于這一水平的學(xué)生，已在心理上形成變形產(chǎn)生式，能夠由問(wèn)題的部分信息檢索出相關(guān)的數(shù)學(xué)原理模式，并根據(jù)當(dāng)前解決問(wèn)題的需要對(duì)數(shù)學(xué)模式進(jìn)行變形使用，從而解決問(wèn)題。這一水平屬于變形使用數(shù)學(xué)原理的水平，是運(yùn)用數(shù)學(xué)原理的高級(jí)階段.4）變形產(chǎn)生式水平（變形使用水平）：例如，學(xué)完兩角和的正切公式后，具有變形產(chǎn)生式水平的學(xué)生，在解一個(gè)綜合性問(wèn)題時(shí)，面對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積“

”這一刺激，他想起了兩角和的正切公式，并根據(jù)需要，知道

二、數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的形式1.由例子到原理的學(xué)習(xí)是指從若干例證中歸納出一般結(jié)論的學(xué)習(xí).它是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)稱為“例子-原理法”

（例子見教材P182）

按發(fā)現(xiàn)方式教正弦定理.doc二、數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的形式2.由原理到例子的學(xué)習(xí)是指先向?qū)W生呈現(xiàn)要學(xué)習(xí)的原理，然后再用實(shí)例說(shuō)明原理（有時(shí)要予以邏輯證明），從而使學(xué)生掌握原理的學(xué)習(xí).這是一種接受學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)稱為“原理-例子法”

按講授方式教正弦定理.doc3.接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)(何小亞，2008.2）有意義的接受學(xué)習(xí)的先進(jìn)性是知識(shí)容量大，效率高，易控制。其局限性是學(xué)生的主動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性未能充分體現(xiàn)。而發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的先進(jìn)性是能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī)、培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，建立自信，能培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和問(wèn)題解決能力。其局限性是知識(shí)容量小，效率低，難控制。有意義的接受學(xué)習(xí)是中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)良傳統(tǒng)，要保持。學(xué)校數(shù)學(xué)的多數(shù)內(nèi)容適合于接受學(xué)習(xí)，啟發(fā)式的講授教學(xué)仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要形式。我們反對(duì)的是機(jī)械的接受學(xué)習(xí)（如死記硬背、題海訓(xùn)練、能力技巧化等傾向）。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生提出概念、發(fā)明創(chuàng)造的有效手段，我們應(yīng)毫不遲疑地予以加強(qiáng)。并非所有的內(nèi)容都適合于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)只是接受學(xué)習(xí)的有益補(bǔ)充。教材應(yīng)該在教學(xué)建議中明確一些適合進(jìn)行發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)生不一定理解所發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)后的同化理解十分必要。杜絕形式主義的低效率的機(jī)械發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。是否選擇發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)模式進(jìn)行教學(xué)，必須依據(jù)教育目的、學(xué)習(xí)內(nèi)容、教學(xué)對(duì)象和教學(xué)條件確定。三、促進(jìn)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的教學(xué)建議（一）促進(jìn)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的一般建議1.提供豐富的例子不論采用例子-原理法還是使用原理-例子法來(lái)學(xué)習(xí)原理，都需要為學(xué)生提供豐富的例證.例證應(yīng)盡量涵蓋例證的各種典型類別，以利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)原理和全面理解原理.不能只提供原理的例證，還應(yīng)該提供原理的反例.

2.聯(lián)系已學(xué)過(guò)的知識(shí)原理學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，是新舊知識(shí)相互作用并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程.要促進(jìn)新原理的學(xué)習(xí)，就要使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備與新原理相關(guān)的適當(dāng)觀念.

在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、回憶與原理相關(guān)的舊知識(shí)，以幫助學(xué)生同化新原理.3.讓學(xué)生運(yùn)用原理

促進(jìn)原理學(xué)習(xí)的最有效的辦法是讓學(xué)生在運(yùn)用原理的過(guò)程中掌握原理.注意：練習(xí)不是越多越好，類別單一的重復(fù)練習(xí)并不有效.要想使學(xué)生真正掌握原理，形成產(chǎn)生式，就要讓學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí).所謂變式練習(xí)，就是在其它有效學(xué)習(xí)條件不變的情況下，命題例證的變化.例如，要是學(xué)生熟練掌握“平方差公式”這一原理，教師可以讓學(xué)生解決以下各種類型的問(wèn)題：（二）促進(jìn)公式和法則學(xué)習(xí)的教學(xué)建議在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了大量的由字母和符號(hào)表達(dá)的正確命題，我們稱之為公式.(P184-188)1.公式的推導(dǎo)2.公式的理解3.公式的記憶4.公式的應(yīng)用5.法則的教學(xué)（三）促進(jìn)定理和性質(zhì)學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

(P188-191)定理和性質(zhì)教學(xué)的基本要求：掌握定理的證明方法使學(xué)生理解并記住定理的條件和結(jié)論熟悉定理的適用范圍定理和性質(zhì)教學(xué)的重點(diǎn)放在：

1.揭示定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程；

2.揭示證明思路的探索過(guò)程.

討論、思考問(wèn)題：

1.原理學(xué)習(xí)的本質(zhì)是什么？

2.舉例說(shuō)明原理學(xué)習(xí)的形式。

3.學(xué)生學(xué)習(xí)公式后，可分成哪幾種水平？

4.您認(rèn)為，定理教學(xué)的