線性代數(shù)模擬題目6章二次型

§6.1

實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§6.3曲面與空間曲線§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.2正定二次型§6.1實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其矩陣二、合同變換三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義以下僅限于討論實(shí)二次型一、二次型及其矩陣只含有平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形例如都為3元二次型為3元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(球面)(不顯然)說(shuō)明平面二次曲線含有交叉項(xiàng)時(shí)，要通過(guò)坐標(biāo)變換化為只含平方項(xiàng)，從而可知其圖形；空間二次曲面含有交叉項(xiàng)時(shí)，要通過(guò)坐標(biāo)變換化為只含平方項(xiàng)，從而可知其圖形；一般的，n元二次方程含有交叉項(xiàng)時(shí)，也希望通過(guò)坐標(biāo)變換化為只含平方項(xiàng)（即標(biāo)準(zhǔn)形）。通過(guò)變量變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這便是二次型要討論的問(wèn)題。二次型的矩陣表示用矩陣表示二次型任給一個(gè)二次型，唯一地確定一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣；二次型的矩陣及秩反之，一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，可唯一地確定一個(gè)二次型．所以二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系及二次型的矩陣表示例解二次型為標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)且僅當(dāng)所對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角形矩陣二次型為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為對(duì)角形矩陣練一練例求對(duì)稱(chēng)矩陣A所對(duì)應(yīng)的二次型解例

已知二次型f的秩為2，求參數(shù)c。解定義設(shè)兩組變量上式稱(chēng)為從變量到若的一個(gè)線性變換。二、合同變換若系數(shù)矩陣C是可逆矩陣，則稱(chēng)線性變換為可逆變換。若系數(shù)矩陣C是正交矩陣，則稱(chēng)線性變換為正交變換。線性變換的性質(zhì)（1）可逆線性變換的逆還是可逆線性變換證證（2）連續(xù)施行可逆線性變換的結(jié)果還是一個(gè)可逆線性變換；（3）連續(xù)施行正交變換的結(jié)果還是正交變換。結(jié)論設(shè)A,B是兩個(gè)n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則稱(chēng)A與B是合同的.注：1.合同關(guān)系滿(mǎn)足自反性，對(duì)稱(chēng)性和傳遞性，定義如果存在n階可逆矩陣C，使得從而在可逆線性變換下，二次型的秩不變。

A與B等價(jià)：PAQ=B,P,Q可逆；

A與B相似：P-1AP=B,P可逆；

A與B合同：CTAC=B,C可逆；注意矩陣之間的幾種關(guān)系若化為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題化為：尋求可逆的矩陣C，使

為對(duì)角矩陣問(wèn)題1.若二次型含有的平方項(xiàng)，2.

若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是

化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方。直到都配成平方項(xiàng)為止，的項(xiàng)集中，然后配方，經(jīng)過(guò)可逆線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形；則把含有則先作可逆線性變換三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形解例含有平方項(xiàng)

利用配方法與歸納法可以證明：

定理

任一實(shí)二次型f(X)=XTAX都可用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形.解例但由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，再配方所用變換為所用變換矩陣為(1)和(2)都是標(biāo)準(zhǔn)形，所以標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，(2)稱(chēng)為規(guī)范形，而規(guī)范形是唯一的。一個(gè)二次型,但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的非零項(xiàng)數(shù)是確定的，其標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，非零項(xiàng)數(shù)就是二次型的秩r負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)是確定的。且標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的正系數(shù)的個(gè)數(shù)是確定的，正系數(shù)的個(gè)數(shù)p稱(chēng)為正慣性指數(shù)，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)q稱(chēng)為負(fù)慣性指數(shù)，正負(fù)慣性指數(shù)的差稱(chēng)為符號(hào)差正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為2，符號(hào)差為0。二次型的秩為4，為對(duì)角陣。此結(jié)論用于實(shí)二次型便有四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形回憶定理任給實(shí)二次型總有正交變換使之化為標(biāo)準(zhǔn)形證明令則為正交變換用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟解1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例從而得特征值2．求特征向量3．正交化4．將向量組單位化，所求正交變換為正慣性指數(shù)為3，負(fù)慣性指數(shù)為0，符號(hào)差為3。二次型的秩為3，求一正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型解練一練為正交向量組令

為正交矩陣

或令

正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0，符號(hào)差為2。二次型的秩為2，小結(jié)1.二次型及其矩陣表示2.可逆和正交線性變換3.矩陣的合同4.配方法和正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用配方法。如果要求用正交變換，就必須找正交矩陣的方法；如果只要求用可逆線性變換，那么2種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少，使用配方法反而比較簡(jiǎn)單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，