函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（第一課時） 教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（第一課時）學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期秋季授課人王健學(xué)校安徽省六安第一中學(xué)東校區(qū)教科書書名：高中數(shù)學(xué)必修第一冊（2019A版）出版社：人民教育出版社教材分析課程標準：結(jié)合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義；能借助圖像理解參數(shù)的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.教材的地位與作用：y=Asin(ωx+φ)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，它既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又在數(shù)學(xué)、物理及其他應(yīng)用學(xué)科中都有非常重要的應(yīng)用；從y=sinx的圖像到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像的變換過程，較完整的展現(xiàn)了圖像的平移變換、伸縮變換，是打開對一般圖形變換學(xué)習的一把鑰匙.學(xué)情分析1.學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習了正、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，也在初中掌握了二次函數(shù)圖像的平移變換，具備了用類比等思想解決這類問題的能力.2.但是高一學(xué)生正處在由經(jīng)驗型到理論型的跨越階段，觀察能力和抽象概括能力還有待加強；因此，學(xué)生在勻速圓周運動的建模過程以及將參數(shù)的實際意義與函數(shù)圖象中的對應(yīng)點相關(guān)聯(lián)的思路方法并不熟悉，需要問題引導(dǎo).教學(xué)目標分析1.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的現(xiàn)實背景，經(jīng)歷勻速圓周運動的數(shù)學(xué)建模過程，進一步體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).2.掌握參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，理解參數(shù)在圓周運動中的實際意義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與直觀想象核心素養(yǎng).3.會運用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重點：建模y=Asin(ωx+φ)以及參數(shù)對圖像的影響.教學(xué)難點：數(shù)學(xué)建模的過程與方法、圖像的變換和解析式中變量的變換之間的關(guān)系.教學(xué)方法教法：用問題串“串聯(lián)”所有的活動，層層遞進，引領(lǐng)學(xué)生積極思考；并通過實驗及幾何畫板軟件更加豐富的展現(xiàn)圖像的動態(tài)形成過程，提高課堂教學(xué)效率.學(xué)法：學(xué)生通過一連串的問題的回答，參與了知識的發(fā)生發(fā)展過程，并在自主探究、小組合作交流等過程中掌握知識，提高能力.教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)過程設(shè)計意圖環(huán)節(jié)一：課前任務(wù)，情境引入問題1（課前）：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生生產(chǎn)中得到使用，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖描繪了筒車的工作原理。假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.追問1：你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒（視為質(zhì)點）距離水面的相對高度與時間的關(guān)系嗎？追問2：與盛水筒運動相關(guān)的量有哪些？它們之間有怎樣的關(guān)系？活動一：課前探究，遇到困難時，請同學(xué)們逐個打開紙張背面的“錦囊”.“錦囊1”:因為筒車上的盛水筒運動具有周期性，可以考慮用三角函數(shù)來刻畫.“錦囊2”:建構(gòu)函數(shù)模型如圖，盛水筒距離水面的高度H由以下量所決定：筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0，所經(jīng)過的時間t．通過筒車模型引入，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實際價值，使學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，并嘗試分析問題和解決問題.將問題作為課前活動，既讓學(xué)生有充分的思考探究時間，又節(jié)省課堂時間，從而更好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).兩個“錦囊”，引導(dǎo)學(xué)生進行有序的思考，從而避免思維的盲目性；同時將參數(shù)中的字母進行統(tǒng)一，使得后續(xù)不同學(xué)生展示自己的“作品”時，方便共同理解.環(huán)節(jié)二：課堂展示，各抒己見活動二：PPT展示學(xué)生的課前作品，并讓該作品的作者闡述自己的做法及理由,老師點評并共同得出本節(jié)課的研究對象.師：兩位同學(xué)的思路很好，哪種建系方式更方便呢？生：第二個.師：函數(shù)H=rsin(ωx+φ)+h就是“筒車”問題要建立的數(shù)學(xué)模型，由于h是常量，可以只研究函數(shù)y=rsin(ωx+φ)的性質(zhì).這就是本節(jié)課要研究的函數(shù)——§5.6.2函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象讓學(xué)生自己講述自己的設(shè)計思路和求解過程，既讓學(xué)生有更多的課堂參與感，以學(xué)生為主體，又能解決學(xué)生的實際問題，方便比較方法的優(yōu)劣.同時引出本節(jié)課的研究對象——y=rsin(ωx+φ)環(huán)節(jié)三：課前實驗，課中再現(xiàn)問題2：通過筒車運動的研究，我們得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)，這個函數(shù)在物理中也經(jīng)常出現(xiàn)，你見過它的圖像嗎？生：這個解析式就是“簡諧運動”的解析式，它的圖像在實驗中獲取過.問題3：能否借助函數(shù)y=sinx的圖象與性質(zhì)研究參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的影響？以前用過這種方法嗎？活動三：學(xué)生思考辨析這種方法的可行性以及具體策略.生1：根據(jù)兩者圖像的相似性，應(yīng)該可以.生2：根據(jù)初中二次函數(shù)圖像的平移變換的學(xué)習經(jīng)驗，應(yīng)該可以.追問1：三個參數(shù)同時變化時，難以觀察其圖象的變化規(guī)律，應(yīng)該如何解決？生：逐個研究.師：多參數(shù)問題的一般研究策略——控制變量法.追問2：研究順序呢？師生：先φ，再ω，最后A.既通過實驗得出了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像，了解其在物理上的應(yīng)用，感受進一步學(xué)習它的必要性，又從中發(fā)現(xiàn)它與y=sinx圖像的相似性，為接下來通過變換得出圖像提供了可能.通過“問題3”引導(dǎo)學(xué)生從實驗結(jié)果以及類比之前“二次函數(shù)”的學(xué)習經(jīng)驗確定這種探究思路的可行性，通過“追問1”明確多參數(shù)問題的一般研究策略——控制變量法，滲透將復(fù)雜問題逐個簡單化的化歸思想；通過“追問2”明確本節(jié)課對三個參數(shù)的研究順序.環(huán)節(jié)四：探索φ對y=sin(x+φ)圖象的影響問題4：按照剛才確定的研究思路，你計劃怎樣具體研究參數(shù)φ對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響？生：確定A，ω的值，取φ的不同值研究圖像上任意點的位置變化.師生：不妨取A=1，ω=1，φ分別取0和π/6.即研究路徑y(tǒng)=sinxy=sin(x+π/6)追問1：從勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型y=Asin(ωx+φ)的角度，設(shè)動點M在單位圓上逆時針運動，A=1，ω=1分別表示什么意義，φ的不同值表示什么含義？生：A=1表示半徑為1，ω=1表示轉(zhuǎn)速為1，φ的不同值表示起始位置不同.追問2：當動點M起點位于Q0，即φ=0時，設(shè)經(jīng)過x秒后點M的縱坐標為y，那么點M的縱坐標y與時間x的函數(shù)關(guān)系式是什么？生：y=sinx.追問3：設(shè)動點M經(jīng)過x0秒后運動到點P，點P的縱坐標為y0，你能在單位圓和坐標系中分別標出x0、y0以及點P、點F（x0，y0）嗎？活動四：學(xué)生上臺在電子屏上分別標出兩處x0、y0.追問4：在單位圓上拖動起點Q0繞點O1旋轉(zhuǎn)π/6到Q1（即φ=π/6），讓動點以Q1為起點，此時點M的縱坐標y與時間x的函數(shù)關(guān)系式是什么？生：y=sin(x+π/6).追問5：此時，若到達相同點P，所需時間x是多少呢？生：x0-π/6.追問6：因此，點G（x0?π/6，y0）即在哪個函數(shù)圖像上，它由點F如何運動得出？生：點G（x0?π/6，y0）在y=sin(x+π/6)圖像上，它是由點F向左移動π/6個單位得到的.追問7：如上，我們找到了兩個函數(shù)圖像上任意點的變化，因此，如何從y＝sinx的圖像得到y(tǒng)＝sin(x+π/6)的圖像呢？生：將y＝sinx的圖像向左移動π/6個單位.追問8：如果使點Q0繞點O1旋轉(zhuǎn)-π/6,π/3,-π/3呢？活動五：小組合作探究，并請一位同學(xué)上臺用幾何畫板演示.追問9：“解析式的直觀變化”與“圖像的直觀變化”之間有沒有關(guān)聯(lián)呢？活動六：先讓學(xué)生填寫藍色字內(nèi)容，再讓學(xué)生小組討論.通過“問題4”讓學(xué)生明確在三個參數(shù)中單獨研究參數(shù)φ的具體措施，通過“追問1”引導(dǎo)學(xué)生從勻速圓周運動的實際意義的角度來研究φ的變化對函數(shù)圖像的影響.通過“追問2”讓學(xué)生明確現(xiàn)在研究的函數(shù)解析式為y=sinx，通過“追問3”引導(dǎo)學(xué)生將時間x0與弧度角x0以及橫坐標x0對應(yīng)起來，將點P的縱坐標y0與點F的縱坐標y0對應(yīng)起來，從而建立起圓周運動中的點P與函數(shù)y=sinx圖像中的點F的對應(yīng)關(guān)系，熟悉了數(shù)與形之間的相互切換，為下面建立點P、點F以及y=sin（x+π/6）中的點G這三個點之間的聯(lián)系做好鋪墊.通過“追問4”讓學(xué)生明確即將研究的函數(shù)解析式為y=sin（x+π/6），通過“追問5”確定函數(shù)圖像中點G的橫坐標，通過“追問6”明晰y=sin（x+π/6）圖像中的點G與y=sinx圖像中對應(yīng)點F之間的幾何位置關(guān)系.通過“追問7”將點的變化轉(zhuǎn)化為圖像的變化，滲透了從本質(zhì)研究表象的思維方式；通過“追問8”讓學(xué)生再次熟悉φ的不同取值對函數(shù)圖像的影響，通過幾何畫板的動態(tài)演示既驗證了大家的成果，又增強了學(xué)生們的直觀印象.前面本質(zhì)的探究為表象的解釋提供理論依據(jù)，同時，剔除本質(zhì)后，“表象→表象”的規(guī)律為以后解題提供了極大的方便。環(huán)節(jié)五：探索ω對y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響問題5：類比參數(shù)φ對函數(shù)y=sin（x+φ）圖象影響的研究過程，你計劃怎樣具體研究參數(shù)ω對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響？生：確定A，φ的值，取ω的不同值研究圖像上任意點的位置變化.師生：不妨從剛剛獲取的函數(shù)y=sin(x+π/6)入手去研究ω的變化對圖像的影響，不妨取A=1，φ=π/6，ω分別取1和2.即研究路徑y(tǒng)=sin(x+π/6)y=sin(2x+π/6).追問1：從勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型y=Asin(ωx+φ)的角度，設(shè)動點M在單位圓上逆時針運動，A=1，φ=π/6分別表示什么意義，ω的不同值表示什么含義？生：A=1表示半徑為1，φ=π/6表示起始位置為Q1處，ω的不同值表示轉(zhuǎn)速不同.追問2：當起點位于Q1，即φ=π/6時，若取ω=1，設(shè)經(jīng)過x秒后點M的縱坐標為y，那么點M的縱坐標y與時間x的函數(shù)關(guān)系式是什么？生：y=sin(x+π/6).追問3：設(shè)動點M經(jīng)過x0秒后運動到點P，點P的縱坐標為y0，你能在單位圓和坐標系中分別標出x0、y0以及點P、點G（x0，y0）嗎？生：可以！追問4：仍然取起點Q1，即φ=π/6時，但是取ω=2，設(shè)經(jīng)過x秒后點M的縱坐標為y，那么點M的縱坐標y與時間x的函數(shù)關(guān)系式是什么？生：y=sin(2x+π/6).追問5：此時，若到達相同點P，所需時間x是多少呢？生：x0/2.追問6：因此，點K（x0/2，y0）即在哪個函數(shù)圖像上？它由點G如何運動得出？生：縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/2倍.追問7：如上我們找到了兩個函數(shù)圖像上任意點的變化，因此，如何從y=sin（x+π/6）的圖像得到y(tǒng)=sin（2x+π/6）的圖像呢？生：壓縮為原來的1/2倍.師：很好，也可以說圖像上的每個點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/2倍.追問8：如果分別取ω=1/2，3，1/3，對應(yīng)的函數(shù)圖象與函數(shù)y=sin（x+π/6）的圖象之間存在怎樣的變換關(guān)系？周期如何？活動七：小組合作探究，并請一位同學(xué)上臺用幾何畫板演示驗證.追問9：“解析式的直觀變化”與“圖像的直觀變化”之間還滿足有剛才的規(guī)律嗎？追問10：你能將以上具體的數(shù)值變?yōu)閰?shù)φ和ω，進而得出一般性的結(jié)論嗎？生：可以！通過“追問1”引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)從勻速圓周運動的實際含義的角度來研究ω的變化對函數(shù)圖像的影響.通過“追問2”讓學(xué)生明確現(xiàn)在研究的函數(shù)解析式為y=sin（x+π/6），通過“追問3”引導(dǎo)學(xué)生將時間x0與弧度角x0以及點G的橫坐標x0對應(yīng)起來，將點P的縱坐標y0與點G的縱坐標y0對應(yīng)起來，從而建立圓周運動中點P與函數(shù)y=sin（x+π/6）圖像中的點G的對應(yīng)關(guān)系，為下面建立點P、點G以及y=sin（2x+π/6）中的點K這三個點之間的聯(lián)系做好鋪墊.通過“追問4”讓學(xué)生明確現(xiàn)在研究的函數(shù)解析式為y=sin（2x+π/6），通過“追問5”確定函數(shù)圖像中點K的橫坐標，通過“追問6”明晰y=sin（x+π/6）圖像中的點G與y=sin（2x+π/6）圖像中對應(yīng)點K之間的幾何位置關(guān)系.通過“追問7”將本質(zhì)上點的變化轉(zhuǎn)化為表象上的圖像的變化，滲透了從本質(zhì)研究表象的思維方式，“追問8”讓學(xué)生再次熟悉ω的不同取值對函數(shù)圖像的影響的分析過程，通過幾何畫板的動態(tài)演示既驗證了剛才的分析過程，又增強了學(xué)生們的直觀印象,讓數(shù)學(xué)的學(xué)習變得有畫面感.通過“追問9”既復(fù)習了剛剛學(xué)過的“規(guī)律”，又通過聚集展示發(fā)現(xiàn)這種“規(guī)律”的普適性，并通過“追問10”由學(xué)生歸納出從具體到一般的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力，這種由“表象→表象”的規(guī)律為以后解題帶來極大的方便.環(huán)節(jié)六：課后自主學(xué)習A對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響課后探究1：當參數(shù)A變化時，對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象有什么影響？類比問題4與5，請同學(xué)們課后自主探究！課后探究2：按照路線y=sinxy=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ），總結(jié)一下從函數(shù)y=sinx出發(fā)，通過圖象變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的過程與方法.并將每一步平移和伸縮變換的過程詳細寫出來.通過前面對參數(shù)φ、ω的研究，學(xué)生已經(jīng)有了一定的實踐經(jīng)驗和理論基礎(chǔ)，應(yīng)該有能力解決此問題.通過兩個自主探究，讓學(xué)生自己設(shè)計并再次感受勻速圓周運動與三角函數(shù)解析式及其圖像之間的本質(zhì)聯(lián)系；并通過對觀察到的現(xiàn)象進行理性的思考，用數(shù)學(xué)的語言準確的描述數(shù)學(xué)對象，進一步提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).環(huán)節(jié)七：課時小結(jié)，回歸y=Asin(ωx+φ)１．本節(jié)課我們研究了什么問題？研究的路徑是怎樣的？勻速圓周運動的數(shù)學(xué)建模；函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.構(gòu)建構(gòu)建抽象轉(zhuǎn)化實際問題數(shù)學(xué)問題三角函數(shù)模型y=Asin(ωx+φ)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象運用了什么數(shù)學(xué)方法？控制變量法（局部到整體）、特殊到一般.蘊含著哪些數(shù)學(xué)思想？轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合，類比遷移.隨著學(xué)生對知識、方法、思想三個方面問題的回答，無形中將本節(jié)所學(xué)知識回顧了一遍.環(huán)節(jié)八：達標檢測，摸底y=Asin(ωx+φ)1、已知函數(shù)y＝3sin（x+π/5）的圖象為C．（1）為了得到函數(shù)y＝3sin（x?π/5）的圖象，只要把C上所有的點（）A．向右平行移動π/5個單位長度B．向右平行移動π/5個單位長度C．向右平行移動2π/5個單位長度D．向右平行移動2π/5個單位長度（2）為了得到函數(shù)y＝3sin2x的圖象，只要把C上所有的點（）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變