門愛東的數(shù)字信號處理教案4

第四章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計4.1引言4.2模擬濾波特性的逼近4.3模擬系統(tǒng)的數(shù)字仿真4.4脈沖響應不變法4.5雙線性變換法4.6數(shù)字濾波器的變換4.7IIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計4.1引言 一個數(shù)字濾波器的設(shè)計過程，大致可歸納為3個步驟。 (1)按照實際需要確定濾波器的性能要求。(2)用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個性能要求，這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為兩類，即IIR系統(tǒng)函數(shù)與FIR系統(tǒng)函數(shù)。(3)用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運算結(jié)構(gòu)，如級聯(lián)型、并聯(lián)型、直接型、正準型和頻率采樣型等，還包括合適的字長和有效數(shù)字處理的方法等。2.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是z的有理函數(shù)，可表示為這種設(shè)計一般有3種方法。(1)簡單濾波器的零極點位置累試法。(2)用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器。(3)用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計參數(shù)。 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，即從已知的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。其常用的方法有脈沖響應不變法和雙線性變換法兩種，但無論哪種方法都遵循數(shù)字仿真原則。4.2模擬濾波特性的逼近 其頻帶按作用不同分為以下3部分，如圖4-1所示： 通帶——濾波器中能使信號通過的頻帶； 阻帶——抑制噪聲通過的頻帶； 過渡帶——從通帶到阻帶的過渡頻率范圍。圖4-1模擬濾波器的幅頻特性按劃分的標準不同，濾波器分為很多種類。按處理信號的種類分為模擬濾波器(其輸入輸出皆為模擬量)和數(shù)字濾波器(其輸入輸出皆為數(shù)字量)；按其應用不同分為有源濾波器和無源濾波器；按其通頻帶劃分為低通濾波器(只允許低頻信號通過而抑制高頻信號)、高通濾波器(只允許高頻信號通過而抑制低頻信號)、帶通濾波器(只允許某一頻帶的信號通過)和帶阻濾波器(只抑制某一頻帶的信號)。2.巴特沃思(Butterworth)濾波特性的逼近(1)Butterworth濾波器特性 Butterworth濾波器的特點是具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，而且在正頻率范圍內(nèi)是隨頻率升高而單調(diào)下降的，它的振幅平方函數(shù)為(2)Butterworth圖表設(shè)計法 其設(shè)計步驟概括起來有以下幾個方面：(3)巴特沃斯低通濾波器的Matlab實現(xiàn)

在Matlab中可以用[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs條件下，所需要的最小Butterworth模擬濾波器階數(shù)和3dB頻率。 Buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器的設(shè)計。對于帶通和帶阻濾波器，Wp和Ws說明了濾波器的兩個邊緣頻率，其中第一個元素是低端的頻率。3.切比雪夫(Chebyshev) 濾波特性的逼近(1)Chebyshev濾波器特性 Chebyshev濾波器頻率特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的，它比同階的Butterworth濾波器下降快，如圖4-5所示，而在通帶內(nèi)則是等波紋的，通帶內(nèi)波動的峰值個數(shù)與階數(shù)N有關(guān)，N越大，波動越快圖4-5Chebyshev濾波器頻率特性圖 Chebyshev濾波器的幅度平方函數(shù)為 式中N是濾波器的階數(shù)，Ωc是通帶寬度，當ε=1時，它等于通帶的3dB截止頻率，如圖4.5所示。(2)Chebyshev濾波器特性的極點 對于N階Chebyshev濾波器，其幅度｜Ha(Ω)｜2平方函數(shù)在s平面上有2N個極點，這2N個極點都是成復共軛對出現(xiàn)的，且關(guān)于虛軸對稱，沒有點落在虛軸上。極點可由作圖法確定，即(1)以aΩc為半徑畫圓，將其圓周等分為2N個點；(2)以bΩc為半徑畫圓，將其圓周等分為2N個點；(3)每個極點的縱坐標由大圓的相應點的縱坐標確定，每個極點的橫坐標由小圓的對應點的橫坐標確定。(3)Chebyshev濾波器的設(shè)計方法 如同Butterworth濾波器，Chebyshev濾波器也可以采用查表法進行設(shè)計，其步驟如下。 (1)頻率歸一化，求λp，λs。 (2)根據(jù)αp，αs查歸一化頻率——幅度特性曲線，確定濾波器的階數(shù)N。(4)Chebyshev濾波器的Matlab

實現(xiàn) 在Matlab

中可以用[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要的最小Chebyshev

I

模擬濾波器階數(shù)。在數(shù)字濾波器中，wp和ws

在0~1之間，而在模擬濾波器中，wp和ws可以大于1。Cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器的設(shè)計。對于帶通和帶阻濾波器，Wp

和Ws

是一個兩元素的是量，說明了濾波器的兩個邊緣頻率，第一個元素是低端的頻率。

而用Matlab

函數(shù)[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)求得n

階低通Chebyshev

I

原型模擬濾波器的零點、極點和增益，通帶內(nèi)的波動為Rp

dB。極點p

和增益k

是長度為n

行的矢量，而零點z

是空矩陣。其傳輸函數(shù)為：4.Cauer濾波器特性 Cauer濾波器又稱橢圓濾波器，它的特點是在通帶和阻帶內(nèi)都有等波紋的振幅特性。它之所以被稱為橢圓濾波器，是因為其振幅特性是由雅可比橢圓函數(shù)來決定的，其振幅平方函數(shù)為 式中，JN(Ω)是雅可比橢圓函數(shù)，N為濾波器的階數(shù)。在Matlab

中可以用[n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要的最小橢圓模擬濾波器階數(shù)。4.3模擬系統(tǒng)的數(shù)字仿真 如圖4-1所示，h(t)表示模擬系統(tǒng)La的沖激響應，而h(n)表示數(shù)字系統(tǒng)Ld的沖激響應。若h(n)等于Tha(t)的取樣，即h(n)=Tha(nT)

當T足夠小時，Ld將是La的數(shù)字仿真，即y(n)=yT(nT)(1)輸入為單頻指數(shù)信號 設(shè)x(t)=ejΩt，若模擬系統(tǒng)La的系統(tǒng)函數(shù)為Ha(S)，未知的Ld的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，則模擬系統(tǒng)的輸出為y(t)=Ha(Ω)ejΩ

t數(shù)字系統(tǒng)的輸出y(n)y(n)=H(ejΩT)ejnΩT(2)輸入為任意信號 為了建立具有普遍意義的仿真條件，需要在頻域內(nèi)建立Ha(Ω)和H(ejΩT)的關(guān)系，用沖激響應ha(t)和h(n)表示這些函數(shù)。4.4脈沖響應不變法 在此所講的設(shè)計方法，是在給定了模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)的情況下，求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的方法。2.z平面與s平面的映射關(guān)系 由式(4-28)可以看到，s平面與z平面的變換關(guān)系為 如果僅考慮極點的話，則這種映射關(guān)系變?yōu)槭街袘昧藌和s的表達式z=rejω和s=σ+jΩ。3.Matlab實現(xiàn) 由以上的討論，可以將脈沖響應不變法的特點歸結(jié)成3點，如下所述。 (1)保持了模擬濾波器的時域瞬態(tài)特性，這是脈沖響應不變法的一大優(yōu)點。 (2)當模擬濾波器的頻率響應不是嚴格限帶時，則用脈沖響應不變法設(shè)計出來的數(shù)字濾波器有頻域的混迭失真，這是脈沖響應不變法的缺點。(3)由于(2)而使得這種設(shè)計方法的使用受到限制，即當Ha(Ω)不嚴格限帶或時域內(nèi)變化不太平穩(wěn)，而設(shè)計性能要求又較高時，不宜使用這種方法。4.5雙線性變換法 由式(4-25)可以知道，一般模擬濾波器的基本單元都是積分器1/s，如圖4-15所示的式(4-25)的框圖。圖4-15由積分器基本單元組成的模擬網(wǎng)絡框圖2.s平面與z平面的映射關(guān)系 把s=σ+jΩ代入式(4-21)，且令z=rejω，則得到3.Matlab實現(xiàn) 由以上的討論總結(jié)雙線性變換法的特點如下所述。 (1)模擬濾波器通過雙線性變換后，不存在幅度頻率特性混迭失真。 (2)由于(1)而對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(Ω)要求放寬，故適用范圍廣。(3)模擬濾波器通過雙線性變換后出現(xiàn)相位頻率特性失真，所以對濾波器的相位特性有較嚴格要求時，不宜采用這種方法。4.6數(shù)字濾波器的變換 如果用雙線性變換將模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，對于如圖4-20所示的低通、高通、帶通和帶阻型選頻濾波器來說，它可以用一種和雙線性變換非常相似的有理變換從低通數(shù)字濾波器變換出來。圖4-20理想的濾波器特性 所以要求 (1)G(Z-1)必須是Z-1(或Z)的有理函數(shù)； (2)z平面單位圓內(nèi)部必須映射成Z平面單位圓內(nèi)部。2.Matlab的實現(xiàn)4.7IIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計假定IIR濾波器的z變換式可以寫成級聯(lián)式 令該濾波器所要求的頻率響應為Hd(ejw)，在一離散的頻率集{ωi，I=1,2,……,M)(不必是均勻間隔)上濾波器的實際頻率響應H(ejw)與所要求的頻率響應Hd(ejw)之間的均方誤差E定義為 一般地說，求誤差函數(shù)E(θ)的最小值．可以將E(θ)對每個參數(shù)作一次微分，并令其導數(shù)為零，即 Fletcher－powell法是一種有效的非線性優(yōu)化算法，使用了最優(yōu)化計算程序計算誤差函數(shù) 對參數(shù)φ的梯度和斜率，用做處理誤差最小化的準則。(1)利用優(yōu)化程序在不約束極點和零點位置的情況下使 極小。(2)將單位圓外部的所有極點或零點作鏡象替代，繼續(xù)優(yōu)化，直到達到一個新的極小值為止。p誤差設(shè)計法 最小p誤差設(shè)計是指p次冪的誤差的加權(quán)平均的最小化，因此離散逼近的幅頻響應最小化誤差表示式