固體物理總結能帶理論完全版

目錄TOC\o"1-5"\h\z一、本章難易及掌握要求1二、基本內容11、三種近似12、周期場中的布洛赫定理21）定理的兩種描述22）證明過程：23）波矢k的取值及其物理意義33、近自由電子近似3A、非簡并情況下4B、簡并情況下5C、能帶的性質64、緊束縛近似65、質勢96、三種方法的比較107、布里淵區(qū)與能帶118、能態(tài)密度及費米面11三、常見習題14簡答題部分14計算題部分15#近，有效質量才和波矢無關.解：根據(jù)緊束縛近似，E（k）=EQ-JQ-JlYe,kaR，對一維，最近鄰&=±"貝ljE（k）=Eo-Jo-人（嚴+e~ika）=Eo-Jo-人cos肋tr滬E'）為余弦函數(shù)（圖?。┯行з|量d2E（2E'）為余弦函數(shù)（圖省）有效質量在布里淵區(qū)邊界,ka=±7r加訛）的圖也省,在原點附近,很小，cos肋"在布里淵區(qū)邊界,ka=±7rcos肋Q-1-護2丿才6.4某晶體電子的等能面是橢球面2m26.4某晶體電子的等能面是橢球面2m2叫坐標軸1,2,3互相垂直.求能態(tài)密度.解：由已知條件可將波矢空間內電子能帶滿足的方程化為k；k;k；1=1——=12叫E2叫E2叫Etr招rr—+^—+—=1將上式與橢球公式/廳c，比較可知,在波矢空間內電子的等能面是一橢球面，與橢球的體積—7tabc3比較可得到，能量為E的等能面圍成的橢球體積彳2r=亍龍戸J2〃wE"2

由上式可得dv=丁2〃勺加2加3E'2dE能量區(qū)間ET(E+dE)內電子的狀態(tài)數(shù)目d?=2.-x,dr=-^r』2叫兒叫￡'2dE(2龍)‘礦?力八?是晶體體積，電子的能態(tài)密度6.5已知能帶為:6.5已知能帶為:E(k)=-a(cosakx+cosaky)-coscik:dEdkdEdky???k.ci=U7t(1)能帶寬度—(1,1,1)宀(2)電子在波矢2“狀態(tài)下的速度(3)能帶底附近電子的能態(tài)密度^-=ciasm叭=0解：(1)ckr:.kci=H7TX9?'其中o>0,0>o,為晶格常數(shù)，試求=6(6Zsillakx=0——=ciasinak,=0Ok.?■可看出，n為偶數(shù)時E為極小值，n為奇數(shù)時為極大值???￡頂=-Q[-1+(-1)]-0?(-l)=2a+pE^=_a[l+1]_0?1=_2a_0故，能帶寬度丄"頂-儀=也+20(2)心叮+■/+以其中

X丄要顯必與專竽+跡m叫”丄竺丄,0sm叭tickx方ncky方hdk:方在k=討）時咚=匕=I皿V=I"??V4［血宀涸(3)能帶底(3)能帶底n為偶數(shù)，可取為零，故5化3均很小cosx^1-—zcosx^1-—z[\E(R)=_a據(jù)2(xvvl)有|町~P\—0+業(yè)—0+業(yè)+込+疊尸222:.E+2a+/3=-aa2acrper芻EtE+2q+0“tZ用和6.5題相同的方法，其中力-,如,則:6.6用緊朿縛模型求最近鄰近似的S則:6.6用緊朿縛模型求最近鄰近似的S態(tài)電子能帶公式,寫出二維正三角形網(wǎng)絡的能帶，計算電子的速度及有效質量張量。解:???E⑷=解:???E⑷=E°—人―厶工嚴,Rx對二維正三角晶格（如圖）,6個最近鄰的坐標為(aV3〕—,a(a43}—,——a22\/221(aV3]-,一a(22丿aV3—,a22X代入上式并化簡得:Eg=E°acos&a+2cos—^―Eg=E°acos&a+2cos—^―r2cH]2電子速度：心叮+2,其中丄竺=込仏s也sm邑兇-fidkx方I22『由于???（小讐：2cosW+cos%cos石〈Jr22-6.7用緊朿縛近似計算面心立方晶格最近鄰近似下s態(tài)電子能帶(1)證明在k=0附近，能帶的等能面是球形的，導出有效質量。(2)畫出［100］與［111］方向的E'）曲線。(3)畫出忍一匕平面內能量的等值線。解：（1）???E(k)=E°-J°-JdZ面心立方最近鄰有十二個原子，其憶位置在a~2

a±20Ja_20a_2a_2將這些&代入上式并簡化可得:E（k）=￡o-丿0-4幾k.ak、cikyak.akE（k）=￡o-丿0-4幾cos——cos——cos——cos—+cos—cos——.k=0附222222k=0附?10COSa1近，，，，均很小，利用2,（x＜（1,則得E（^）=E0E（^）=E0-A-4Jf1_丄（也丫2［T）212212E（k）=EQ-JQ-4Jl牙］（R：+R；+R；）由于附罰r診譽丫由于附罰r診譽丫其余叫=°2）tr（2）在［100］方向，?仏=°,則E（k）=Eo-Jo-4人一8人cos=即可按此函數(shù)作圖（圖省）在［111］方向,k*=ky=k尸kE（k）=Eo一丿°-3x4丿［cos2號=一丿°一12厶cos2號可據(jù)上函數(shù)作圖（圖?。?）在匕一匕平面內，心=0.?.氏燈=厶一丿。一4厶魯字遇扣+cos身+cos扣等值線即Eg=C（c為常數(shù)）6.8對體心立方晶格，用緊束縛法近似計算最近鄰近似下s態(tài)電子能帶，證明在帶底和帶頂附近等能面近似為球形，寫出電子的有效質量.TOC\o"1-5"\h\zE（k）=E°-J°-J工嚴,解:s態(tài)電子能帶可表示為-*嚴+”）±￡±￡±￡對體心立方,最近鄰原子為8個，其凡為：*嚴+”）H八口r匸「4化+心+心）礙（匕+取-紅）礙快廠札+心）E（k）=EQ-JQ-Jl[e^+—+—礙（-匕y+A.）礙（*+*yi?（札+&TJ弓（-匕*7J+￡?+e-+￡?+￡?化簡后即得:故朮）—即“字遇扣遇扣kta_kta_由于-1<COSX<1,可看出莎以時，cos丁“E仏）為極大值，即kgkta而亍，.即X0時，?丁"E⑷為極小值，即E血=-8人故帶寬丄=陰「札=16人/aCOSXa1在帶底附近，由于Z,用2,則1-121-12（2E（k）=E°-J°-8J」「4-八么丿=疋。一丿。-輒1一才伙」+k；+k~）這顯然是一個球形

/八一】(孩1d1E2J.a2]=\m..)==——一一有效質量斯敗肝所以—力'

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