行列式展開(kāi)定理與法則

關(guān)于行列式展開(kāi)定理與法則第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

一、余子式與代數(shù)余子式

定義1

在n階行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱(chēng)為D中元素aij

的余子式，記作Mij.令A(yù)ij(1)ijMij，Aij稱(chēng)為元素aij的代數(shù)余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4階行列式中a13的代數(shù)余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13(-1)1+3M13=M13下頁(yè)第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三觀察三階行列式下頁(yè)第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、展開(kāi)定理

定理3

n階行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都為0，則行列式等于aij與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積.即DaijAij第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理3

n階行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都為0，則行列式等于aij與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積.即DaijAij二、展開(kāi)定理第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理3

n階行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都為0，則行列式等于aij與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積.即DaijAij二、展開(kāi)定理第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理4

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即Dai1Ai1ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，Da1jA1ja2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).下頁(yè)二、展開(kāi)定理第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理4

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即Dai1Ai1ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，Da1jA1ja2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).下頁(yè)二、展開(kāi)定理第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

定理5

n階行列式D=|aij|的某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即ai1Aj1ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1ja2iA2j

ani

Anj0(i

j).下頁(yè)二、展開(kāi)定理？第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例1．分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式11-2013-231D=解：按第一行展開(kāi)13311-2311-213a11A11a12A12a13A13D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展開(kāi)定理計(jì)算行列式下頁(yè)第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三按第二列展開(kāi)1-2311-2-2111-23

=0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18.

例1．分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式11-2013-231D=解：按第一行展開(kāi)a11A11a12A12a1nA1nD=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32D下頁(yè)第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：

將某行(列)化為一個(gè)非零元后展開(kāi)例2．計(jì)算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==

-2-2-20-3-9-7-10-121

110-3-9

-20-3

-5=-24.1

2

3400-3-90-7-10-120-2-2-21

2

34120-53-1-101

012D=下頁(yè)第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：

將某行(列)化為一個(gè)非零元后展開(kāi)例2．計(jì)算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==(-1)(-1)3+2

7

147-2-51

126

029

0-11

12=1(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.7

0

1470-2-53-1-101

0121

2

34120-53-1-101

012D=下頁(yè)第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例3.計(jì)算行列式解：下頁(yè)第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4

計(jì)算行列式解：下頁(yè)第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三下頁(yè)第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三(D2=5)解：例5.計(jì)算行列式下頁(yè)第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三證明：從最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例6.

證明范得蒙德（Vandermonde）行列式下頁(yè)第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三下頁(yè)第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三下頁(yè)第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由此推得…

…即…

…下頁(yè)第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例7下頁(yè)解第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例8過(guò)平面上的n個(gè)互異點(diǎn)能否惟一確定一條n-1次曲線(xiàn)：解假設(shè)曲線(xiàn)過(guò)平面上的n個(gè)點(diǎn)分別為：下頁(yè)即得：過(guò)平面上的n個(gè)互異點(diǎn)惟一確定一條n-1次曲線(xiàn)。第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

求解行列式的基本方法☆對(duì)角線(xiàn)法——僅對(duì)二、三階行列式適合．☆定義法——對(duì)一般行列式可利用定義進(jìn)行求解，利用該方法對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算通常會(huì)比較麻煩．☆公式法——對(duì)一些行列式可利用性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為上(下)三角形行列式、范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊行列式，利用公式進(jìn)行計(jì)算．☆降階法——利用按行(列)展開(kāi)定理，把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算．☆遞推法——對(duì)規(guī)律性強(qiáng)且元素多的行列式，可用按行(列)展開(kāi)公式建立遞推關(guān)系式求解行列式的值．下頁(yè)第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三行列式階數(shù)余子式消元法加法乘法

加法乘法和除法2121335951042340142351192053044103687996235300285339公式法與降階法計(jì)算效率的比較：下頁(yè)第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三j=1,2,…,n.有且僅有一個(gè)解第3節(jié)

克拉默法則定理1含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組當(dāng)其系數(shù)行列式時(shí),

其中，Dj是把系數(shù)行列式D的第j列換為方程組的常數(shù)列b1,b2,…,bn所得到的n階行列式（j=1,2,…,n）.

下頁(yè)第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1.

解線(xiàn)性方程組

下頁(yè)解:

方程組的系數(shù)行列式

因?yàn)镈≠0,

故方程組有唯一解..

第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三故方程組的解為下頁(yè)進(jìn)一步計(jì)算(計(jì)算過(guò)程，略)，有

第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三推論含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組

如果無(wú)解或非唯一解,則系數(shù)行列式D=0.

例如

解線(xiàn)性方程組

下頁(yè)顯然，此方程組無(wú)解.

其系數(shù)行列式為第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三定理2含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組,如果其常數(shù)項(xiàng)都為零