直線與平面垂直（第一課時(shí)） 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步第第頁(yè)第八章立體幾何初步單元規(guī)劃表單元類型■主題知識(shí)類□思想方法類□核心素養(yǎng)類單元數(shù)量4單元序號(hào)單元名稱主要內(nèi)容建議課時(shí)1空間幾何體8.1基本立體圖形28.2立體圖形的直觀圖18.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積32空間線面位置關(guān)系8.4.1平面28.4.2線面位置關(guān)系23空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行18.5.2直線與平面平行28.5.3平面與平面平行24空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直18.6.2直線與平面垂直28.6.3平面與平面垂直2備注：本節(jié)課安排《直線與平面垂直》（第一課時(shí)），故后面單元設(shè)計(jì)僅展示第4單元部分.8.4單元內(nèi)容分析表單元名稱空間直線、平面的垂直內(nèi)容與課時(shí)安排8.6.1直線與直線垂直1課時(shí)8.6.2直線與平面垂直2課時(shí)8.6.3平面與平面垂直2課時(shí)內(nèi)容解析內(nèi)容本質(zhì)垂直是空間直線、平面間的一種特殊的位置關(guān)系，是平面內(nèi)線線垂直的延伸.本單元和前面空間直線、平面平行的內(nèi)容是對(duì)立體幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)入“局部”“抽象”“思辨論證”的定性研究階段，即研究直線、平面的位置關(guān)系，不僅是得出概念，還要研究它們的判定和性質(zhì)，性質(zhì)和判定之間具有互逆的關(guān)系.直線與直線垂直直線與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直判定判定性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)直線與直線平行思想方法本單元最重要的思想方法是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，即將相關(guān)的點(diǎn)、直線（段）轉(zhuǎn)化到同一平面上.本單元的處理遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)識(shí)過(guò)程展開.在研究直線、平面的位置關(guān)系時(shí)，按“實(shí)例→定義→判定→性質(zhì)”的思路展開.在前面學(xué)習(xí)空間直線、平面間的平行關(guān)系后，充分類比對(duì)空間直線、平面平行關(guān)系的研究方式，引導(dǎo)學(xué)生研究空間直線、平面之間的垂直關(guān)系.通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)構(gòu)建具體的研究思路，讓學(xué)生體會(huì)研究圖形的位置關(guān)系，就是對(duì)它們的組成元素之間位置關(guān)系的研究.育人價(jià)值本單元先是讓學(xué)生通過(guò)對(duì)典型實(shí)例的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等合情推理的活動(dòng)后，概括出空間直線、平面垂直的相關(guān)概念、判定及性質(zhì)定理，再對(duì)性質(zhì)定理進(jìn)行邏輯論證.在研究過(guò)程中，研究的對(duì)象盡量由學(xué)生提出，研究?jī)?nèi)容要學(xué)生確定，研究的方法啟發(fā)學(xué)生尋找，這種以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更加主動(dòng)的思維活動(dòng)，能讓學(xué)生能很好地從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型，從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出幾何問(wèn)題，讓學(xué)生能有條理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎疾⒔鉀Q問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)（1）學(xué)生能通過(guò)長(zhǎng)方體模型或者借助道具，將空間中的兩條直線平移至相交理解空間異面直線所成的角和直線與直線垂直的概念，并能解決簡(jiǎn)單的空間直線與直線垂直的問(wèn)題.（2）學(xué)生通過(guò)實(shí)例直觀感知、操作確認(rèn)，抽象、歸納出直線與平面垂直的定義；通過(guò)猜想證明得到直線與平面垂直的判定定理，能應(yīng)用判定定理和性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的直線和平面垂直的問(wèn)題；理解點(diǎn)到平面的距離、直線和平面所成的角的概念，并能計(jì)算給定直線和平面所成的角的大小.（3）學(xué)生能在觀察長(zhǎng)方體模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行操作確認(rèn)，掌握空間直線與平面垂直的性質(zhì)，并進(jìn)行推理論證；理解直線到平面和兩個(gè)平行平面間的距離的概念，并能計(jì)算簡(jiǎn)單的線面距離和面面距離問(wèn)題.（4）學(xué)生能通過(guò)生活實(shí)例的觀察發(fā)現(xiàn)，理解二面角的概念，掌握平面與平面垂直的判定定理.并能解決空間平面與平面的問(wèn)題.（5）學(xué)生能通過(guò)對(duì)生活實(shí)例的直觀感知，并進(jìn)行操作驗(yàn)證，理解并掌握空間平面與平面垂直的性質(zhì)，并能計(jì)算簡(jiǎn)單的面面垂直的問(wèn)題.8.4單元目標(biāo)分析表目標(biāo)表述核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)水平（1）學(xué)生能通過(guò)長(zhǎng)方體模型或者借助道具，將空間中的兩條直線平移至相交理解空間異面直線所成的角和直線與直線垂直的概念，并能解決簡(jiǎn)單的空間直線與直線垂直的問(wèn)題.數(shù)學(xué)抽象直觀想象識(shí)記理解運(yùn)用（2）學(xué)生通過(guò)實(shí)例直觀感知、操作確認(rèn)，抽象、歸納出直線與平面垂直的定義，通過(guò)猜想證明得到直線與平面垂直的判定定理，能應(yīng)用判定定理和性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的直線和平面垂直的問(wèn)題.理解點(diǎn)到平面的距離、直線和平面所成的角的概念，并能計(jì)算給定直線和平面所成的角的大小.數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理識(shí)記理解運(yùn)用（3）學(xué)生能在觀察長(zhǎng)方體模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行操作確認(rèn)，掌握空間直線與平面垂直的性質(zhì)，并進(jìn)行推理論證；理解直線到平面和兩個(gè)平行平面間的距離的概念，并能計(jì)算簡(jiǎn)單的線面距離和面面距離問(wèn)題.數(shù)學(xué)抽象邏輯推理識(shí)記理解運(yùn)用（4）學(xué)生能通過(guò)生活實(shí)例的觀察發(fā)現(xiàn)，理解二面角的概念，掌握平面與平面垂直的判定定理.并能解決空間平面與平面的問(wèn)題.直觀想象數(shù)學(xué)抽象識(shí)記理解（5）學(xué)生能通過(guò)對(duì)生活實(shí)例的直觀感知，并進(jìn)行操作驗(yàn)證，理解并掌握空間平面與平面垂直的性質(zhì)，并能計(jì)算簡(jiǎn)單的面面垂直的問(wèn)題.直觀想象邏輯推理識(shí)記理解運(yùn)用（6）經(jīng)過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，在探索空間直線、平面垂直的過(guò)程中發(fā)展合情推理能力、感悟和體驗(yàn)研究空間圖形的方法，形成研究和解決空間圖形問(wèn)題的思路和方法，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中“以簡(jiǎn)馭繁”的轉(zhuǎn)化思想.數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模運(yùn)用綜合□識(shí)記：知道、了解、識(shí)別、說(shuō)出、認(rèn)識(shí)、感受□理解：解釋、比較、判斷、表示、建立、歸納、確定□運(yùn)用：掌握、推導(dǎo)、轉(zhuǎn)化、分析、會(huì)用□綜合：研究、設(shè)計(jì)、反思、評(píng)價(jià)、決策8.4單元問(wèn)題診斷分析表學(xué)習(xí)背景熟悉程度經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了空間幾何圖形的相關(guān)知識(shí)和空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.通過(guò)空間直線、平面的平行關(guān)系研究，學(xué)生掌握了研究空間直線、平面位置關(guān)系的一般方法，有了較為豐富的知識(shí)積累和解決問(wèn)題的方法.學(xué)習(xí)態(tài)度學(xué)生缺少對(duì)空間幾何圖形的空間想象能力，雖然學(xué)生對(duì)空間線線垂直、線面垂直、面面垂直已經(jīng)有了生活經(jīng)驗(yàn)和感知，但他們不善于將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，因此對(duì)于如何借助平面中的垂直關(guān)系來(lái)描述空間中的垂直關(guān)系會(huì)感到困難，更難用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述空間中的垂直關(guān)系.學(xué)習(xí)障礙學(xué)習(xí)可能遇到問(wèn)題1.學(xué)生可能不清楚如何將異面直線通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為相交直線，不清楚空間位置關(guān)系的表達(dá)與角度刻畫之間的區(qū)別；2.學(xué)生不理解如何刻畫空間中直線、平面的垂直關(guān)系，以及垂直關(guān)系中的不變性，如：線面垂直中，直線垂直于平面的內(nèi)每一條直線等等；3.對(duì)二面角概念的理解，特別是如何找到二面角的平面角對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較難；4.面面垂直的應(yīng)用性較為靈活，學(xué)生較難找到具體哪條直線垂直于另一個(gè)平面.學(xué)習(xí)偏好組織方式利用長(zhǎng)方體模型和四個(gè)基本事實(shí)，幫助學(xué)生理解如何判斷異面直線的垂直，并通過(guò)平移變換學(xué)會(huì)計(jì)算異面直線的夾角；借助生活實(shí)例和實(shí)驗(yàn)操作驗(yàn)證，掌握空間線面垂直的定義和判定，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用線線垂直判斷線面垂直，蘊(yùn)含了“降維”思想；3.利用信息技術(shù)工具和實(shí)物模型直觀展示如何用平面角刻畫二面角的大小，體會(huì)到用平面角刻畫二面角大小的便捷;4.從實(shí)物模型中感受到面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，整體上形成研究和解決空間圖形問(wèn)題的思路和方法，發(fā)展直觀想象，邏輯推理的核心素養(yǎng).評(píng)價(jià)方式學(xué)生能正確用三種語(yǔ)言描述空間中的垂直關(guān)系，能明確“什么是空間直線、平面的垂直”以及“空間直線、平面垂直時(shí)，其要素（直線、平面）有什么確定的不變關(guān)系”，并能較好地解決空間垂直關(guān)系、距離的相關(guān)問(wèn)題.單元難點(diǎn)空間直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程；空間直線、平面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用；理解如何將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題的“降維”思想，掌握將空間問(wèn)題“平面化”的基本思路.《直線與平面垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)課程基本信息學(xué)校馬鞍山市第二中學(xué)博望分校姓名董寅課題8.6.2直線與平面垂直（第一課時(shí)）章節(jié)第八章立體幾何初步教材書名：人教2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)出版社：人民教育出版社課時(shí)教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容直線與平面垂直的定義及判定定理、點(diǎn)到平面的距離及直線與平面所成的角2.內(nèi)容解析線面垂直是在學(xué)生掌握了線在面內(nèi)，線面平行之后緊接著研究的線面相交位置關(guān)系中的特例.在空間直線、平面的平行中，我們研究了定義、判定定理以及性質(zhì)定理，為本節(jié)課提供了研究?jī)?nèi)容和研究方法上的范式.空間直線與平面垂直是空間直線與直線垂直的拓展，又是空間平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的核心，后續(xù)內(nèi)容如線面角、二面角、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離等又都建立在它的基礎(chǔ)上.因此，線面垂直在本章中起著承上啟下的作用.直線與平面垂直是通過(guò)直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直來(lái)定義的，定義本身既是線線垂直的判定方法，也表明直線與平面垂直的性質(zhì)，即:如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線.直線與平面垂直的判定定理把定義中要求的與任意一條直線垂直轉(zhuǎn)化為只要求與兩條相交直線垂直，其中蘊(yùn)含了由復(fù)雜向簡(jiǎn)單，無(wú)限問(wèn)題向有限問(wèn)題，直線與平面垂直向直線與直線垂直的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了以簡(jiǎn)馭繁的策略.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直定義的抽象與歸納，以及直線與平面垂直判定定理的猜想與驗(yàn)證.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析1.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（1）理解直線與平面垂直定義，掌握直線與平面垂直的判定定理，能應(yīng)用判定定理證明簡(jiǎn)單的直線和平面垂直的問(wèn)題.（2）理解點(diǎn)到平面的距離、直線和平面所成的角的概念，并能計(jì)算給定直線和平面所成的角的大小.（3）在探索直線與平面垂直判定定理的過(guò)程中發(fā)展合情推理能力、感悟和體驗(yàn)“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題”“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中“以簡(jiǎn)馭繁”的轉(zhuǎn)化思想.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)例、模型的觀察、抽象,概括出直線與平面垂直的定義，并對(duì)定義進(jìn)行應(yīng)用.讓學(xué)生分組探究、猜想、歸納直線與平面垂直的判定定理，能對(duì)定義與判定定理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能力；（2）學(xué)生通過(guò)參與折紙?jiān)囼?yàn)，歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理，并嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言）對(duì)定義、定理進(jìn)行準(zhǔn)確表述．在活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作交流，發(fā)展類比、歸納等合情推理能力、邏輯思維能力和空間想象能力；（3）在探究線面垂直的定義和判定的過(guò)程中，了解兩條相交直線在確定平面中的作用，并理解若想證明線面垂直只需證明該直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；知道求直線與平面所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角等.能認(rèn)識(shí)到“直線與平面垂直的判定”與直線平面平行的判定在知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)方法等方面的邏輯一致性，體會(huì)研究空間位置關(guān)系的判定的一般思路和方法.體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔之美，體驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索的良好習(xí)慣.教學(xué)問(wèn)題診斷分析在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，具備了學(xué)習(xí)本節(jié)課所需的知識(shí).同時(shí)已經(jīng)有了“通過(guò)觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)抽象概括出數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會(huì)，參與意識(shí)、自主探究能力有所提高，對(duì)空間概念建立有一定基礎(chǔ).但是學(xué)生對(duì)空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決的意識(shí)和能力還不強(qiáng)，抽象概括能力、空間想象力還有待提高.對(duì)于如何借助直線與直線垂直來(lái)描述直線與平面垂直依然會(huì)遇到困難，更難用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述直線與平面垂直.考慮到學(xué)生已有用“任意一個(gè)”代替所有對(duì)象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中教師可通過(guò)對(duì)實(shí)例、模型的觀察，在教師的提示下讓學(xué)生自己概括出直線與平面垂直的定義.對(duì)于直線與平面垂直的判定定理，學(xué)生會(huì)初步認(rèn)識(shí)到只需證明直線與平面內(nèi)的若干直線垂直即可，但缺少邏輯推理能力.因此教師可通過(guò)一條直線、兩條直線（平行）、無(wú)數(shù)條直線、兩條直線（相交）的情況說(shuō)明，采用層層遞進(jìn)式的引導(dǎo)，教學(xué)中先通過(guò)理論猜想，再結(jié)合直線與平面垂直的定義和平面向量基本定理進(jìn)行思辨，解決以上問(wèn)題，再加以實(shí)踐操作驗(yàn)證，讓學(xué)生體會(huì)利用“兩條相交直線”來(lái)判斷的合理性.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的定義的生成，發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證直線與平面垂直的判定定理.教學(xué)支持條件分析基于教學(xué)問(wèn)題診斷分析，可使用實(shí)驗(yàn)工具幫助學(xué)生理解直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直的含義.通過(guò)信息技術(shù)工具引導(dǎo)學(xué)生在操作中觀察，在觀察中總結(jié)線面垂直的判定定理.1.教法分析：采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，啟發(fā)式教學(xué).教學(xué)中遵循教師主導(dǎo)、學(xué)生主體、探究主線，教師更多的是啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思維.2.學(xué)法分析：自主學(xué)習(xí)、小組合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí).教學(xué)過(guò)程學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)和設(shè)計(jì)思路引導(dǎo)語(yǔ)：本章我們學(xué)習(xí)立體幾何初步，前面我們學(xué)習(xí)了空間直線、平面平行的位置關(guān)系，掌握了學(xué)習(xí)空間位置關(guān)系的一般方法.接下來(lái)我們學(xué)習(xí)空間空間直線、平面的垂直關(guān)系，本單元知識(shí)框圖如下表所示，本節(jié)課接著線線垂直的定義及判定，學(xué)習(xí)空間直線與平面垂直的相關(guān)知識(shí).空間直線、平面的垂直空間直線、平面的垂直異面直線所成的角相交平面所成的二面角直線與平面所成的角直線與直線的平行直線與平面垂直直線與直線垂直平面與平面垂直（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入、引出對(duì)象回顧1：空間中直線與平面有哪些位置關(guān)系？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生回答：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行.回顧2：如何判斷異面直線所成的角？直線與直線垂直如何定義？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生回答判斷異面直線所成角可通過(guò)平移，將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線；直線和直線垂直是指兩條直線a、b所成角為90?時(shí)，記作:a?b，又分為相交垂直和異面垂直.引導(dǎo)語(yǔ)：根據(jù)以往的知識(shí)體系，我們應(yīng)該如何學(xué)習(xí)空間直線與平面垂直關(guān)系？師生活動(dòng)：根據(jù)前面學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，確定研究思路如下：定義→判定→性質(zhì)→運(yùn)用.引導(dǎo)語(yǔ)：對(duì)直線與平面垂直我們有很多感性認(rèn)識(shí)，在日常生活中有哪些實(shí)例給我們以直線與平面垂直的感覺呢？如圖1、圖2.圖2圖2圖1（二）探究新知、構(gòu)建概念環(huán)節(jié)一：探究、建構(gòu)直線與平面垂直的定義問(wèn)題1：如何描述直線和平面的垂直關(guān)系呢？追問(wèn)1：能否像前面直線與直線垂直一樣，描述直線與平面垂直？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生可能回答：①直線與平面所成的角是90?（后面學(xué)習(xí)內(nèi)容，暫時(shí)不可取）；②在平面內(nèi)存在一條直線與該直線所成的角為90?.教師引導(dǎo)學(xué)生在正面說(shuō)不清楚的情況下，可以從反面看問(wèn)題，對(duì)旗桿和路由器進(jìn)行再觀察，直觀感知垂直就是不在任何方向傾斜，只要平面內(nèi)有一條直線不與該直線垂直，則該直線不與平面垂直.追問(wèn)2：在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否始終保持垂直？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后，可以借助信息技術(shù)呈現(xiàn)旗桿影子隨時(shí)間變化的位置變化，容易得出旗桿所在直線與其影子所在直線保持垂直，這也就說(shuō)明旗桿所在直線和地面所在平面內(nèi)所有過(guò)點(diǎn)B的直線都垂直.圖3追問(wèn)3：對(duì)于地面上不過(guò)點(diǎn)B的任意一條直線B′C′（圖3），旗桿AB圖3師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生回答.對(duì)于地面上不過(guò)點(diǎn)B的直線在地面內(nèi)總是能通過(guò)平移找到過(guò)點(diǎn)B的直線與之平行.因此旗桿所在直線AB與地面上任意直線均垂直.追問(wèn)4：你能否利用轉(zhuǎn)化化歸的思想換個(gè)角度描述直線與平面垂直？師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題，師生總結(jié).線面垂直就是指直線從任何角度看都不傾斜.即直線與平面內(nèi)任何直線所成的角為90?，由此可以將線面垂直的定義轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題，歸納出直線與平面垂直的定義.直線與平面垂直的定義（總結(jié)歸納三種語(yǔ)言）：文字?jǐn)⑹觯喝绻本€l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作：l?α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.圖4圖形語(yǔ)言（直線與平面垂直的畫法）：畫直線l與平面α垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖4圖4符號(hào)語(yǔ)言（定義及性質(zhì)）：定義：對(duì)?m?α，l?m，則：l?α.性質(zhì)：若l?α，b?α，則：l?b.文字語(yǔ)言(定義)：若一條直線垂直于一平面內(nèi)的所有直線，則這條直線垂直該平面.文字語(yǔ)言(性質(zhì))：若一直線垂直一平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線.設(shè)計(jì)意圖：借助信息技術(shù)的演示過(guò)程構(gòu)建直線與平面垂直的定義，可以幫助學(xué)生建立對(duì)定義的直觀感受，既真實(shí)又有效,運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解決問(wèn)題.辨析：直線與平面垂直的定義中，“任意”能改為“無(wú)數(shù)”嗎？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生回答.當(dāng)直線與平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線垂直時(shí)，不能得到直線與平面垂直.教師以動(dòng)圖形式向?qū)W生展示，便于理解.設(shè)計(jì)意圖：開門見山引入如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述生活中的直線與平面垂直的問(wèn)題，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比與思考，把直觀、模糊的感知抽象化、確切化.讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直時(shí)，“任意”不能改為“無(wú)數(shù)”，即便直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，但只要平面內(nèi)存在一條直線與之不垂直，就不能說(shuō)直線與平面垂直，從而加深對(duì)直線與平面垂直的定義的理解.問(wèn)題2：我們知道，在一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結(jié)論推廣到空間，過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？圖5師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，師生共同討論，直觀感知和操作確認(rèn)“過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條”，并給出簡(jiǎn)要證明.進(jìn)而給出垂線段、點(diǎn)和平面的距離的概念.順勢(shì)介紹在棱錐的體積公式中，棱錐的高就是棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離圖5點(diǎn)到平面的距離（圖5）：過(guò)點(diǎn)M作直線MP垂直于平面α，垂足為P，垂線段MP長(zhǎng)度就是點(diǎn)M到平面α的距離.設(shè)計(jì)意圖：類比平面幾何的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合直線與平面垂直的定義，給出空間類似的性質(zhì).呼應(yīng)前面棱錐的高的概念，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)線面垂直的意義.環(huán)節(jié)二：探究、發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理引導(dǎo)語(yǔ)：這是我校升旗儀式的國(guó)旗旗桿，因時(shí)間已久，旗桿有傾斜的可能.現(xiàn)有某數(shù)學(xué)興趣小組想要檢驗(yàn)這個(gè)旗桿是否依然與地面保持垂直，請(qǐng)問(wèn)你有什么好的辦法？根據(jù)定義可知，若要判斷直線與平面垂直，需要驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直.問(wèn)題3：用定義判斷直線與平面垂直是否方便？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生回答.利用定義來(lái)判斷過(guò)于繁瑣，不利于證明的推進(jìn).進(jìn)而教師引出思考：有沒有判定直線與平面垂直的簡(jiǎn)單、易行的方法.能否類比平面與平面平行的判定定理，將無(wú)數(shù)條直線進(jìn)行減少，用有限條直線“代替”呢？追問(wèn)1：已知直線和平面內(nèi)的一條直線垂直可以嗎？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答，并舉出反例.追問(wèn)2：已知直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直可以嗎？（分兩條平行直線和兩條相交直線）師生活動(dòng)：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析,提出猜想.若平面內(nèi)的兩條直線平行時(shí)不能說(shuō)明直線與平面垂直，進(jìn)而引出當(dāng)平面內(nèi)的兩條直線相交時(shí)，若平面外的直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直.追問(wèn)3：為什么一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直時(shí)，這條直線就和這個(gè)平面垂直？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從平面向量的角度思考.由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)一組不共線的向量可以作為基底，平面內(nèi)任一向量都可以由同一基底唯一表示.類比平面向量基本定理，這兩條相交直線可以“表示”這個(gè)平面內(nèi)的所有直線.圖6學(xué)生動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC（如圖6），過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD.（要求:BD，DC圖6思考:（1）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？（2）是否只有這么翻折才能使得折痕與桌面垂直？圖8師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生用三角形紙片進(jìn)行探究活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束提問(wèn)學(xué)生，并總結(jié)：折痕AD有兩種可能，一種是和底邊BC垂直，一種是不和底邊BC垂直（如圖7、圖8），而AD與桌面垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.這時(shí)，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直，也就是垂直于兩條相交直線，而在兩條相交直線在桌面內(nèi)，且BD和DC通過(guò)旋轉(zhuǎn)平移可以表示平面內(nèi)的任意一條直線，即：折痕AD和桌面垂直圖8圖圖7設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)層層遞進(jìn)式問(wèn)題探究，尋找具有可操作性的判定方法.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，獲得判定定理，然后通過(guò)實(shí)踐操作與活動(dòng)，證實(shí)判定定理,讓學(xué)生體會(huì)將空間問(wèn)題平面化，無(wú)限問(wèn)題有限化的轉(zhuǎn)化思想.特別地，在實(shí)踐操作中舉出反例，通過(guò)第二小問(wèn)讓學(xué)生確認(rèn)此定理的正確性.結(jié)合判定定理的形成過(guò)程，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)直線與平面垂直向直線與直線垂直的轉(zhuǎn)化，體會(huì)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證的研究立體幾何的一般過(guò)程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).思考：平面內(nèi)相交直線需要過(guò)垂足嗎？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考后回答.設(shè)計(jì)意圖：觀察學(xué)生的折紙結(jié)果是否滿足要求，能否在分析折疊步驟中，體會(huì)出折痕的特點(diǎn)，自然發(fā)現(xiàn)直線與平面的判定方法.讓學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)研究過(guò)程中的重要作用.線面垂直的判定定理（總結(jié)歸納三種語(yǔ)言）:文字語(yǔ)言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（注意：平面內(nèi)兩條相交直線）圖形語(yǔ)言（圖9）：圖圖9符號(hào)語(yǔ)言：若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，m∩n=P，則:l?α設(shè)計(jì)意圖：實(shí)現(xiàn)圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換是讓學(xué)生進(jìn)一步理解判定定理的需要，也是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的需要．而舉例說(shuō)明它的應(yīng)用則有助于學(xué)生更好地理解判定定理.（三）理解概念，應(yīng)用升華例1求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.教師引導(dǎo)：證明之前，需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為符號(hào)和圖形語(yǔ)言，運(yùn)用判定定理在平面內(nèi)找兩條相交直線.師生活動(dòng)：教師要求學(xué)生寫出已知、求證，并與學(xué)生共同分析證明思路：在此問(wèn)題中，需要先構(gòu)造出平面內(nèi)的兩條相交直線，再利用“兩條平行直線中的一條垂直于某一直線，則另一條也垂直于這一條直線”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．教師可先讓學(xué)生在自己在本上書寫證明過(guò)程，再以板書的形式寫出具體的解題步驟．教會(huì)學(xué)生如何規(guī)范答題.追問(wèn)：你能用直線與平面垂直的定義證明這個(gè)問(wèn)題嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，鞏固直線與平面垂直的判定定理，并結(jié)合例題讓學(xué)生把握判定定理中“兩條相交直線”這一關(guān)鍵．通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從線面垂直的定義出發(fā)進(jìn)行證明這一不同證法，讓學(xué)生在運(yùn)用不同方法證明的過(guò)程中提高思維的靈活性．在這個(gè)過(guò)程中使學(xué)生認(rèn)識(shí)到證明直線與平面垂直一般有兩種方法：一種方法是利用直線與平面垂直的定義直接證明，一種方法是利用直線與平面垂直的判定定理證明.解法二（定義法）：證明：如圖，在平面解法二（定義法）：證明：如圖，在平面α內(nèi)任取一條直線∵a?α∴a?m又∵b//a∴b?m又m是α內(nèi)任意一條直線∴b?α解法一（判定定理法）：證明：在平面α內(nèi)任取兩條相交直線m,n,相交于點(diǎn)p.∵a?α，m?α∴a?m同理：a?n又∵a//b∴b?m,b?n又m?α，n?α，m,n是兩條相交直線∴b?α.練習(xí)如圖10，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn).求證:BC?平面PAC.師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生作答.教師用信息技術(shù)將學(xué)生答題過(guò)程投影到電子白板上，其他同學(xué)在自己的本子上書寫解題步驟.學(xué)生交流，教師講解，共同完成證明.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用線面垂直的判定定理，也為后面引出斜線的概念埋下伏筆.證明：∵PA?平面ABC,BC?平面ABC∴BC?PA又∵C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，圖10且AB為直徑圖10∴∠BCA=90?，即：BC?AC又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC∴BC?平面PAC.環(huán)節(jié)三：直線與平面所成的角及其應(yīng)用引導(dǎo)語(yǔ)：在練習(xí)中，PA、PB和PC均和平面ABC相交，其中PA?平面ABC，而PB、PC不垂直于平面ABC.我們發(fā)現(xiàn)，PB、PC和平面ABC相交的情況也是不同的，如何描述這種不同呢？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，給出斜線的概念．引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)，斜線與平面相交的位置關(guān)系的不同在于它們相對(duì)于平面的“傾斜程度不同”．進(jìn)而給出直線與平面所成的角的概念，并用它來(lái)描述直線和平面的位置關(guān)系.直線與平面所成的角相關(guān)概念：斜線：若一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，則稱直線l叫做這個(gè)平面的斜線.斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.線面角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這個(gè)直線和這個(gè)平面所成的角.思考：直線與平面所成的角的取值范圍是什么?設(shè)計(jì)意圖：引出直線與平面所成的角的概念，同時(shí)建立平面的一條斜線在平面上的射影的概念．呼應(yīng)了引入部分提出的線面垂直無(wú)法定義問(wèn)題，感受線面垂直的意義與作用.圖11例2如圖11，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角圖11追問(wèn)：由直線與平面所成角的概念知，應(yīng)該先找到或者作出直線在平面上的射影，那么怎樣才能得到這條射影呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析，從要解決的問(wèn)題出發(fā)，要求直線和平面所成角，需要找到這條直線在平面上的射影；而要找到射影，需要找到這個(gè)平面的垂線；再利用直線與平面垂直的判定定理解決此問(wèn)題.師生共同分析解決問(wèn)題的思路，學(xué)生完成題目求解再進(jìn)行交流，教師電子屏幕顯示解題過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題教學(xué)，鞏固直線和平面所成的角的概念以及直線和平面垂直的判定定理．結(jié)合題目的分析，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成回歸定義思考問(wèn)題的意識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生形成從特殊情形入手解決問(wèn)題的習(xí)慣.歸納總結(jié)、思想升華1.教學(xué)過(guò)程：本節(jié)課先是復(fù)習(xí)回顧空間直線與平面的位置關(guān)系、線線垂直的定義，進(jìn)而引出線面垂直的概念，利用生活中的案例抽象出直線與平面垂直的概念.讓學(xué)生在分析操作過(guò)程發(fā)現(xiàn)規(guī)律特點(diǎn)，從而自發(fā)地生成定義；接著讓學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中自覺提出判定直線與平面垂直是否有更簡(jiǎn)潔方便的方法，先猜想線面垂直的判定定理，再進(jìn)行理論探究，然后通過(guò)折紙活動(dòng)進(jìn)行實(shí)踐證明.通過(guò)例題的練習(xí)，一方面加深對(duì)線面垂直的定義和判定定理的理解與應(yīng)用，另一方面引出直線與平面所成的角的概念，以例題強(qiáng)化知識(shí)的理解并總結(jié)具體解題步驟，最后梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.2.知識(shí)方法：直線與平面垂直圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作：l?α.定義：若對(duì)?m?α，l?m，則：l?α性質(zhì)：若l?α，b?α，則：l?b判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（注意：平面內(nèi)兩條相交直線）若l⊥a，l⊥b，a∩b=P，a?α，b?α，則：l?α點(diǎn)到平面的距離直線與平面的夾角1.如何畫出線面角？2.距離、斜線、射影、線面角的概念3.思想方法：學(xué)習(xí)過(guò)程中，蘊(yùn)含了由復(fù)雜向簡(jiǎn)單、無(wú)限問(wèn)題向有限問(wèn)題、空間問(wèn)題“平面化”和以簡(jiǎn)馭繁的轉(zhuǎn)化思想.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，并回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)立體幾何的研究?jī)?nèi)容和研究方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容反思的意識(shí)和習(xí)慣，幫助學(xué)生在更大的范圍內(nèi)把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法.（五）布置作業(yè)、知識(shí)應(yīng)用基礎(chǔ)：教科書第152頁(yè)練習(xí)第1,2,4題；提高：校本作業(yè)習(xí)題8.6.1（六）教學(xué)設(shè)計(jì)板書8.6.2直線與平面垂直（一）1.定義：圖形、符號(hào)語(yǔ)言2.判定定理：圖形、符號(hào)語(yǔ)言3.線面角斜線、射影投影區(qū)例題板演（七）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.辨析：下列說(shuō)法是否正確：（1）若一條直線與一個(gè)三角形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于三角形所在的平面.（2）若一條直線與一個(gè)平行四邊形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于平行四邊形所在的平面.（3）若一條直線與一個(gè)梯形的兩腰垂直,則這條直線垂直于梯形所在的平面.設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)直線與平面判定定理的理解.2.如圖12，六面體ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()圖12A.BD//平面CB1D圖12B.AC1?BDC.AC1?平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60?設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生“直線與直線垂直”與“直線與平面垂直”相互轉(zhuǎn)化，以及對(duì)直線與平面夾角概念理解的能力.3.如圖13，在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn).圖13(1)求證:AD?平面BCC1B1圖13(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.設(shè)計(jì)意圖：本題可供學(xué)有余力的學(xué)生選擇使用.主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用直線與平面垂直的定義與判定定理的能力、空間想象能力和分析與解決問(wèn)題的能力.總覽本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及在本章的地位和作用，并指出直線與平面垂直的學(xué)習(xí)思路是類比空間直線、平面位置關(guān)系的學(xué)習(xí)：定義→判定→性質(zhì)→運(yùn)用復(fù)習(xí)回顧線線垂直的定義，自然引出空間線面垂直的概念觀看視頻，直觀感知生活中線面垂直的現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生愛國(guó)情懷.借助學(xué)生觀察生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題引出課題，自然生動(dòng)，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.用GeoGebra軟件進(jìn)行模擬操作，以動(dòng)畫和視頻的形式展示給學(xué)生，結(jié)合課堂活動(dòng)，更為直觀.