第二章行列式習(xí)題輔導(dǎo)

第二章 基本要了解行列式的概念 熟練掌握行列式的性質(zhì)熟練掌握三階、四階行列式的計算法 會計算簡單的n階行列式掌握克拉默法則 掌握克拉默法則判別齊次線性方程組只有零解的充分必要件掌握方陣可逆的充分必要條件,了解伴隨矩陣的概念,的逆陣重點內(nèi)n階行列式的概念 行列式的性質(zhì)行列式的計算方法解多元線性方程組的克拉默法則難點內(nèi)n階行列式的計算伴隨矩陣及其相關(guān)性質(zhì) 主要內(nèi)行列式的定義2.2.1.設(shè)A=(aij)是n階方陣,則定義A的行列式是一個數(shù),記為|A|或det(A),當(dāng)n1時|A|nk當(dāng)n>1時,|A| (?1)1+k |Ak( j這里 i表示A中去掉第i行、第j列元素后所得的(n?1) 陣j(1n階方陣A的行列式也稱為n階行列式且與矩陣類似aij也可以稱為n階行列式|A|的第i行,第j列元素.1 二階、三階行列式可按如下計算a11

=a11a22—aa12a11a12a21a22 a31a32?a11a23a32?a12a21a33?上述可以用下面的對角則來描述其中用實線連接的元素相乘后前面賦予“+”號 用虛線連接的元素相乘后前面賦予“?”號定理2.2.1.設(shè)Aaij)是n階方陣|A|

?)jaij

(ij

(i=1,2,···, (2.2.1)稱為行列式按行展開式為元素aij的代數(shù)式 記為

(ij

)ij性質(zhì) 方陣轉(zhuǎn)置的行列式等于該方陣的行列式由性質(zhì)2.2.1可以看出,行列式的行和列的地位相同.行所具有的性質(zhì)對于列也成立.反之亦然.因此n階行列式的計算也可按任意一列展開,即|A|

?)jaij

(ij

(j=1,2,···, 推論 方陣中若有一行(列)的元素全為零,則其行列式為零性質(zhì)2.2.2.方陣A作一次換法變換后得到B則|B|推論2.2.2若方陣A中有兩行(列)元素對應(yīng)相等則|A|定理2.2.2.設(shè)Aaij)是n階方陣,aikAjk= (i?=j;i,j=1,2,···,其中Ajk是元素ajk的代數(shù)式推論2.2.3.設(shè)Aaij)是n階方陣,

aikAjk

i?=|A| i= 性質(zhì)2.2.3.對方陣A作一次倍法變換,即A的某一行(列)乘上數(shù)k得到B,則|B|k推論2.2.4.方陣A中若有兩行(列)元素對應(yīng)成比例,則|A|=性質(zhì)2.2.4.對方陣A作一次消法變換得到B,則|B|=性質(zhì)2.2.5若n階方陣A,B,C的第i行元素滿足cijaijbj(1jn且其它行元素對應(yīng)相同,則|C|=|A|+|B|.性質(zhì)2.2.6.方陣A可逆的充要條件是|A|?=性質(zhì)2.2.7.設(shè)A,B為n階方陣,|AB|=|A||B|定理2.2.3.(克拉默法則)設(shè)A是n階可逆陣,則線性方程組Ax=bx=|Ai(b)|(i=1,2,···, 其中Ai(b)表示用b替換A的第i列向量后所得的新矩陣推論2.2.5.設(shè)A為n階方陣.若線性方程組Ax=b無解或有兩組以上的解,則|A|定理2..4.設(shè)為階方陣.則齊次線性方程組x=0只有零解的充要條件是||推論2.2.6.設(shè)A為n階方陣.若齊次線性方程組Ax=0有非零解,則|A|=定義2.2.2.設(shè)Aaij)是n階方陣.·············為A的伴隨矩陣,其中Aij=(?1)i+j

(ij

表示矩陣A中元素aij的代數(shù)式定理2.2.5.(逆矩陣)設(shè)A是n階可逆陣.A?1

一些常用n ·· ·· a··· ..

.

=a11 n階下三角行列

=aa··· .. 11 ·· nn

.. =a11a22··· ··· ···

=(?1)n(n?1)a ···a..

1n ...n .

=(?1)n(n?1)a ···a1n ·· n階角行列..

=

n(n?1)

a2,n?1···111··111··1··1 1

··

xx (xi?xx ·· ·· ·· ·· ·· nx ·· nx2 2

其中n≥2,連乘積號是滿足1≤ji≤n的所有因子(xixj)的乘積設(shè)A,B分別為n階和m階方陣, =|A||B| =

=(?1)mn|A||B| 設(shè)A?是n階方陣A的伴隨矩陣,則AA?=A?A=|A|設(shè)A?是n階方陣A的伴隨矩陣,則|A?|= 典型題計算行列式的值一般都是通過行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理來實現(xiàn)的,利用行列式的性質(zhì)設(shè)法將行列式恒等變化為便于計算的行列式(如上(下)三角行列式,或某行(或列)元素都為零的行列式等等)直接得其值,或利用行列式按行(或列)展開定理將行列式轉(zhuǎn)化為低一階的行列式進行計算.但應(yīng)該注意到,這些方法使用的是否得當(dāng)(性質(zhì)的選擇、性質(zhì)使用的先后次序等)將直接影響到計算過程的繁簡程度.在這里我們通過例題來分析一些常見的行列式的計算方法：化三角形法、行列式法、降階法、化三角利用行列式的性質(zhì)將一個行列式化為三角形行列式,再利用三角形行列式的結(jié)論例2.3.1.1—1251—12513201—133解(方法一)化三角形法1—

— D ?2 r2?

?1=

?20 11— 1—1 2— ?1

r4+

02?1

= 0 0 0(方法二)降階法.注意到在行列式D中,第三行(或第二列)中已經(jīng)有一個元素為零,故可利用行列式的性質(zhì),使第三行(或第二列)出現(xiàn)盡可能多的零元素,再將行列式按該行(列)展開,使行列式降階.

6 展1—1展1—1604r 1401

== 214 c

按第二 = = 展 2222 x例2.3.2.計算行列式：D1x+1x1x+1x?1.解觀察行列式+1的和都相等?1此可考慮如下變換D1

x? xxx+x+=xx?11x?1x111

x?===100x10x01===100x10x01x001000+

=x·

=例2.3.3.計算下列行列式 1+ —11111+1 11111? —11111+1 11111?111101111000000=000解(1D1?x1?011?x1?01=10101y1011101y1?0111?

10001000100

2=xy

1a1+ ·· 例2.3.4. ·· 123··n?n10··00(1)a2+··;02··00;............1··an+000··n??(n?0··00x1+x1+··x1+0··00;x+··x+2x2+n00··00............... xn+xn+2··xn+000··?an111·· DDn+1i=1,2···

100··100··010··010·· = ···

2···bn1+2+···+02+3+···+3+41+2+···+02+3+···+3+4+···+0····(n?1)+0n000··00.....000··?(n?0000··0?(n?Dn2=(1+2+···+n)(?1)n?1(n?1)!=(?1)n?12x1+ 1··· n≥ x2+ 1···=

—x,n=n

xn+ 1···

x1+1,n= ·· ··

cc

?a3·· n+1···,cn+1 ·· ·· n+=(?1)n(n+ 1+1+ 1+1+······ ........··1+解該行列式的每一行的元素和相同nai+ ·· 1+j

ai+11+ ·· DnDj=2,3,···

ai+ 1+a3·· ai+ ···1+ ·· 11+ ·· n= ai+1) 1+a3·· ···1+100··0110··100··0110··0= ai+ 1···

ai+j=2,3,···

. 0···例2.3.6.計算n x·· D x(x?=a,i=1,2,···, x···解把Dn的第一行元素均乘以-1,分別加到23···n行對應(yīng)的元素上, ·· x? a2?x·· n x? ···an?對此行列式各列分別提取因子a1?x,a2?x,···an?x,a1/(a1? x/(a2? ·· x/(an? ·· Dn

(ai?

a

··

a?xa?x·· j=2

an ·· (ai?

(

. .

·· =

a1?x+j=2aj?例2.3.7.計算n階“箭形”行列 b···bn .Dn ...

(n>解分兩種情形ai?=0i=23···n將Dn的第i列的?ci/ai倍加到Dn的第一列上,i=23···使Dn中第一列除第一個元素外全部為零 即得上三角行列na1 (bici/ai)b···Dn

..

=[a1

bii/i··· ai(i=23···n)中某些為零,不妨假設(shè)an=0,則將Dn依它的第n列展開,是Dn=1bnn1容易算出△n?1=(?1)na2a3···an?1cn,因此Dn=?a2··· 對于其他ai=0(i?=1)的情形可類似求得例2.3.8.計算n a+ba+2b···a+(n?1)ba+b a+2ba+3b··· Dn

a+ a+3ba+4b·· a+ ·· ·· ·· ·· ··a+(n

a+2b·· a+(n

ba+2bb······?(n?a+(n??(n?b············bb?(n?··bbb?(n?b··bbD —

···(n?2)b(n? ·· ·· 3c··c············b0··00b0··002nc1+12ncc+1nnc1+1n

a+n?1 2b···(n?2)b(n?00000··0000··0············00··0000··00=a+

···

?0b 2····· ·· ··?nb·· (n?1)(n?2)=a+n?12

·(

2)2=

21) 2

a b2行列根據(jù)行列式的拆項性質(zhì),將一個行列式為若干個較為簡單的行列式之和,再進行計算的方法稱為”行列式法”.有時還可根據(jù)行列式的乘法法則將行列式拆成若干個行列式的積,然后再計算.例2.3.9已知分塊矩陣A3×3=(αβγ)的行列式|A|=a,求分塊矩陣(αββ+2γ,γ+3α)的行列式值.解利用行列式的性質(zhì),|α+β,β+2γ,γ+=|α,β+2γ,γ+3α|+|β,β+2γ,γ+=|α,β+2γ,γ|+|β,2γ,γ+=|α,β,γ|+|β,2γ,=|α,β,γ|+(?1)2|3α,β,=|α,β,γ|+3×2|α,β,=例2.3.10.計算na1+b1 a2+ a2+b2···a2+D an+b1an+b2···an+bn解1a+ a1 0··· 1···1a+ a+ ···

a2 0··· b1b2b3···n+n

0··· 0··· an+b1an+b2···an+

.

an 0··· 0···所a110··· 1···a210···Dn=a310···0

b3··· 0···

n>(a1?a2)(b2?b1),n=. . .

n=an10···降階

0···降階法,即利用行列式按行(列)展開定理,將一個行列式化為階數(shù)更低的行列式,例2.3.11.計算下列行列式1?a00;01?a00;01?a0.001?a0001?a100b100c100d解(1)根據(jù)行列式的性質(zhì),1+a0=1+a0=0c1dD — r 1+ 1+ 1= ?1?cd ?1?=(1+ab)(1+cd)+(2)將第2,3,4,5列都加到第1列后再按第1列展開(以下各步得到的第1個行列式均 0001? 00D01?a0001?a001?1?a00a000第 1? ?a1? 01?a1?a0001?01?a1a001

1? 1? 1?

—1? = 1? 1?

+(?a)(?1)

1? 0? 1? 1+21+2

1? + 1?

– 1? +?)

0+

– 1? 1?a=(1?a)2+a?a3+a4?=1?a+a2?a3+a4?加邊加邊法也稱升階法是在原行列式的基礎(chǔ)上增加一行一列(即升一階)且保持其值不變,并易于計算.它的理論依據(jù)是行列式按行(列)展開定理.····················Dn

?=bi,i=1,2,···,解該行列式的特點是除主對角線元素外第j列的元素都是j.(方法一)化三角形法.··b?a2?0··0b1?0a3?··0i=2,3,·············b?00··0b?00··an?a1 b2 b3 ·· a iii

n1010··001·· ··········00··00b··1a1 + ··· abn j?j 010··0001··0.··········000··0000··1

–i=1,2··· 1+

–=+(=+

)aj?

(ai?1?

(方法二)加邊法········00Dn ·· ·· ···· ·· ··

·· 1··1··a1?00··00a2?0··000··0············000··0000··an?irii=2,3,···c1+j+1(j?bj=1,2,···

1+n123bbb··123bbb··a1?00··00a2?0··000a3?··0··········000··0000··an?000··00 1

aj?

)

(ai? 1+1··1例2.3.13計算行列式D22+··2(aa···an......1 nn··n+解加邊法.將原行列式加一行、一列構(gòu)造行列式Dn+1(如下顯然原行列式Dn 1··1111···01+1··10···Dn=

= 2+a2··

··· .. i=2,··· .... ···n+ ?n 0···na1 i ··· aic1+ii

1+

= an(1

ii=1,2,···

0102······ .

. 0···例2.3.14.計算nx2+ ·· 22 x2+ ·· 22Dn

··

·············nx2+n解采用加邊法,····1 x2+1 x2+ ··

x x2+1·· x 3 3·· ·· ·· ·· ·· ··n ···x2+ni=2,3,···,

x3··· ·· ·· ·· ··

··0

··0

··0

····

··1x1x1 i i

x3···i=2,3,···,

0·· 0·· 1·· ·· ··············

n=1

0···利用范德蒙行列式的結(jié)論進行計算的方法稱為”范德蒙行列式法例2.3.15.計算下列行列式11112411112434918(a?·(a?··(a?(a?··(a?Dn+1 a? ·· a? ·· ·· ·· xx xxDn

·· xx3xxx3x·· ·· ·· ·· ·· ··

··

解(1)此為范德蒙行列式,根據(jù)其行列式計算,D=(4?2)(3?2)(?1?2)(3?4)(?1?4)(?1?3)=Dn+1經(jīng)過初等行、列變換可以化為如下的范德蒙行列式

(a? (a?n+1)n···

(i?1a?11a?1a?n+····1a......Dn與范德蒙行列式非常接近,只要在第n?1行與第n行之間適當(dāng)增加一行,再加上列便構(gòu)成范德蒙行列式,根據(jù)此范德蒙行列式與Dn的關(guān)系計算Dn的值.設(shè) ·· ·· fn+1(x)

··

··

·· ·· ·· ··x x

··· nx3nx3

xx

···n·· n

nx 則fn+1(x)=(x?x1)(x?x2)···(x?

∏

(xi?由于行列式Dn恰好是行列式fn+1(x)中的元素xn?1的式Mn,n+1,Dn=Mn,n+1=由fn+1(x)的表達式知xn?1的系數(shù)?(x1+x2+···+

∏

(xi?故Dn=?An,n+1=?(x1+x2+···+

∏

(xi?遞推利用行列式的性質(zhì),把給定的n階行列式Dn用同樣結(jié)構(gòu)的n?1階(或更低階的)行列式表示出來(即找出遞推關(guān)系式 然后根據(jù)遞推關(guān)系式求出Dn的方法稱為“遞推法x0··000x··00例2.3.16.計算行列式Dn.... 000··x··x+解將Dn按第一列展開,x0··000x··00Dn=x· ············+000··x··x00··00x0··00+an· ·············000··0=xDn?1+

0·· 由此得遞推所

Dn=xDn?1+an,D1=x+Dn=xDn?1+=x(xDn?2+an?1)+an=x2Dn?2+an?1x+=x2(xDn?3+an?2)+an?1x+=x3Dn?3+an?2x2+an?1x+=··=xn?2D2+a3xn?3+···+an?1x+=xn?2(xD1+a2)+a3xn?3+···+an?1x+=xn?1D1+a2xn?2+a3xn?3+···+an?1x+=xn+a1xn?1+a2xn?2+a3xn?3+···+an?1x+例2.3.17.計算na+ ·· a+ ·· D a+b·· (ab?=.......000···a+000·· a+解將DnDn=(a+b)Dn? 其中D1abD2

a+ =a2+ab+a+式(2.3.1)Dn?aDn?1=Dn?因此{Dn?aDn?1}是首項為2公比為b的等比數(shù)列.Dn?aDn?1= 同理對式(2.3.1)Dn?bDn?1=a(Dn?1?仿照上述Dn?bDn?1= 當(dāng)a?=b時,由(2.3.2),(2.3.3)Dn=(n?bn1?當(dāng)ab時,2 Dn=aDn?1+an,Dn?1=aDn?2+an?1,···, aD+a2,D=2 即Dn=an?1D1+(n?1)an=(n+例2.3.18.證明行列式Dn

.......... =n+..

證根據(jù)行列式的性質(zhì), 0·· 0··0000 ··0000 2··0000 000··20000··02100··0001—ni=1,2,···按第=

+1n

=

+)1)..

.. .. =Dn?1+1=···=D2+(n?2)=3+(n?2)=n+數(shù)學(xué)歸先用不完全歸納法尋找行列式的猜想值 再用數(shù)學(xué)歸納法給出這個猜想的嚴格明例2.3.19.證明ncos11Dn2cos .. .. ..=cos 2cos1 2cos證用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n為1,2時,結(jié)論顯然成立假設(shè)結(jié)論對所有小于等于k的自然數(shù)都成立,cos 2cosθDk+1

.. .. .. 2cos 2cosθ=2cosθ·Dk+1k1

cos 2cos .. .. .. 2cosθ 1=2cosθ·Dk?Dk?1=2cosθcoskθ?cos(k?=cos(k+即當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立綜上結(jié)論對一切自然數(shù)都成立其他雜例2.3.20.x1+λx2+x3=0,x?x+x=0,1λx1+x2+2x3=有非零解,則λ應(yīng)取何值?若線性方程組右端變?yōu)?,3,2,則λ為何值時,新的線性方程解因為齊次線性方程組有非零解,所以系數(shù)行列式為零, 1?11=λ2?λ?2=(λ?2)(λ+1)= 故λ=2或若線性方程組有段變?yōu)?,3,2,x1+λx2+x3=2,x?x+x=3,1λx1+x2+2x3=因為該非齊次線性方程組有唯一解,所以系數(shù)行列式不為零.故λ?=2且λ?=例2.3.21.設(shè)A為3階方陣,且|A|=?1/2,求|(3A)?12A?|的值2解由A?|A|A?1?1A?12(3A)?1?2A?

1A?1+A?1

(4

A?1

(4

|A|?1= 例2.3.22.AXA?1=XA?1+其中|A|0,A的伴隨矩陣A?=diag(2?2?4),求矩陣解在AXA?1XA?12I兩端同時右乘A,AX=X+從而有(AI)X=2A.X=2(A?I)?1A=2[A?1(A?I)]?1=2(I?又A為三階方陣,且AA?=|A|I,兩邊取行列|A|·|A?|=|A|3即|A|2|A?|16,再由|A|0,可得|A|=4，所A?1 1A?=所X=2(I?A?1)?1=2diag(2,2/3,1/2)=diag(4,4/3,例2.3.23.設(shè)n(n>2)階方陣A的伴隨矩陣為A?.證明(1)若|A|=0,則|A?|=0; (2)|A?|=|A|n?1;(3)(A?)?=|A|n?2A;若A可逆,則有(A?)?1=(證(1)(反證法)假設(shè) 0,則A?可逆,即A?(A?)?1=I,所A=AA?(A?)?1=|A|(A?)?1=故A=0,則A?=0,這與|A?|?=0,故當(dāng)|A|=0時,有|A?|=(2)因為AA?=|A|I,所|A||A?|=|A|n若|A|?=0,則|A?|=|A|n?1若|A|0,由(1)知,|A?|0,此時也成立|A?||A|n?1所以|A?|=|A|n?1當(dāng)|A|0時,A可逆,(A?)?=(|A| )=|A| (|A| =

|A|A=|A|n?2當(dāng)|A|=0時,只需證(A?)?=當(dāng)n2時,根據(jù)§2.4習(xí)題選解中的習(xí)題2.3.9的結(jié)果知,當(dāng)|A|=0時,r(A?)而n11,r(A?)≤1<n?所以由本書第一章定理1.2.7知(A?)?0.此時(A?)?|A|n?2所以(A?)?|A|n?2因為A可逆,所以A?1=1A?.即A?|A|A?1.(A?)?1=(AA?1)?1 1|

(A?1

= =|A|所以(A?)?1=(

§2.4習(xí)題2.1.1按定義計算下列行列式 ?1 解設(shè)行列式的值為D.按第一行展開,00200D=221+02 繼續(xù)按第一行展開,4121D=3·(?1)

+(?2)

=(?3)(?11)+(?2)·2·(?11)=

=|A||B|(其中A,B為方陣)D

=(?3?4)×(?10?1)= 0·· 2·· ··········· ·· 000··n?n00··0解設(shè)行列式的值為D.按第nD=n·

0·· 2·· =n·(?1)n+1·(n?1)!=1!········ ·· 0···n?習(xí)題2.1.2證明00 =000000證設(shè)行列式的值為D.將行列式先按第5行展開,再按第4D=e·

+e·

2 =e1·d2·=

—e2·d1·

習(xí)題2.2.1

=1,

?3a21 解設(shè)所求行列式的值為D,

?10a13

?3×

(–

2

2)= ====

=習(xí)題2.2.3設(shè)4階行列式的第1行元素依次為1,2,3,4,第2行元素的代數(shù)式次為x,2x,1,求x的值n 設(shè)Akj表示akj對應(yīng)的代數(shù)式 aijAkj= (i?= i,k12···n得則x=?2.

1×x+2×2+3×x+4×1=習(xí)題2.2.5已知4117311731801435125求A14+A24+A34+A44的值,其中Aij為元素aij的代數(shù)式n解則

aijAij0(i?k;i,k12···n),1×A14+1×A24+1×A34+1×A44=0,A14+A24+A34+A44=0. i>

i>aij

i≤

aij

j i≤=試分別計算當(dāng)n=2,3,4時的行列式值,并推測對任意大于1的自然數(shù)n,相應(yīng)=解2

=1?(?1)= D

1

= 0 r 00 D =4

·· ·· 由此可推測Dn ?1 ·· =2n?1····· ········ ?1···(2)D2

=2?(?2)=4=2· D

1 c

3 1=3· 2 D4

====

0

=4·?1

?1

+

0 ?1 ?1?1 0 ··· ···由此可推測Dn ?1 ··· =n······ ········?1 ?1···a0010ba0010b0000c0100d 0001—0001—0b0000c0100dD

=1×=1×b000c0=?b×?1+ 1?ad=b[0?(1?ad)c]=(ad? 111111114759解這是一個四階范德蒙行列式1111475111147543

=(?3?4)(7?4)(5?4)(7+3)(5+3)(5?7)=a0··010a··00 ·············· 0··· 0··· 解設(shè)所求行列式的值為D.將行列式按第1列展開, 0··· a···

0··· 0···D=a×(?1)1+1·············· +1× 0··· 0··· ·············· 0··· 0··· 第1=aan?1

0··· 0··· a··· =an?·············· 0··· 123·· n?n03·· n?n?1 ·· n? ····· ····· ·· ··?1 ?3·· ?1 ?3···?(n? 解設(shè)所求行列式的值為D.

123·· n?n026·· 2(n?003·· 2(n?D==1×2×3×···×n= ··· 2· 0·· a0000 a··· 0···0a00b

··

..······..··

00ab0 00cd00c00d

D2n

0··· b···.0··· d···.. ...··解

c0000a0

bb0

··c

········

···000000a00b0ab00cd00D第a(?1)1+106

d00+c× 展 c

d00 0

c d 按第5 ×

bd—c×b×

a 00 b0 d展 0 c 0=(ad?同理可

a 00 b0 dc 0

c =(ad?2a2D6=(ad?且

=(ad?

=

= bc)cD2n=(ad?bc)D2n?2=(ad?bc)2D2n?4=··ab習(xí)題2.2.9計算下列行列式 =(ad?bc)Dn|aij|,其中aij|ij|(i,j=1,2,···, ···n? n?2n?解Dn

·· n? n? ·· n? n?·· ·· ·· ·· ·· ··n—3n? n?5·· n—2n? n?4·· n—1n? n?3··

n?n?··210n

·01011·11··2··········n?··n?··n?··111··111··1111··11 ···n? n?2n?1·1··020··000r4—··022··000022··200022··220

····· ····· ·· ·· ··n ···n? n?2n? ?1·· ·· ····· ····· ·· ·· ·· ·· ·· ·· 按第=(n1)(?1

11··020··000022··000··············022··200022··220022··222200··0220··0222··01

(?1)1+n(n?1)×

·············· =(?1)1+n(n? 習(xí)題2.2.10解下列方程111··111··1111?1··11112?··11············111··(n?2)?1111··1(n?1)?設(shè)所求行列式的值為D.解r3—11r3—111··1100··00001?··00············000··(n?3)?0000··0(n?2)D=x=?x(1?x)(2?x)···[(n?3)?x][(n?2)?x]=得方程的n?1x1=0,x2=1,x3=2,···,xn?1=n?00··000000··0000··0000··00000··000················0000··n00000··n0000··0Dn 解將Dn按第n行展開,a1 0·· c2 0·· b·· a4·· Dn=cn·

··0

··0

··0

·····0··

··

··n

··0 0·· 0·· 00··00000··0000··0000··00000··000·················0000··n00000··n000··000··000000··0000··0000··00000··000

+an ·············· ·· ·· ·· n0000··00000·· 0·· =?cnbn?1Dn?2+=anDn?1?且D1= D2

=a1a2—bccac1 所以該三對角行列式的遞推{Dn=anDn?1?nnDn?2(n≥3),D1=a1,D2=a1a2?b1c1.習(xí)題2.3.3討論λμ取何值時下列齊次方程組有非零解并求出其中一組非零解.(λ+1)x1+x2+x3=0,x1+(λ+1)x2+x3=x1+x2+(λ+1)x3=解因為齊次方程組有非零解,所以系數(shù)行列式等于零,1+λ+ λ+ 1+ λ+

c1+c

λ+ λ+ λ+ λ+ λ+

λ+

λ+ (λ+

=λ2(λ+3)=

λ+ 所以λ0或λ當(dāng)λ0時方程

x1+x2+x3=0,x1+x2+x3=x1+x2+x3=x1=即為x1x2x30可取其一組非零解為x2=x3=?2x1+x2+x3=

=當(dāng)λ=?3時,方程λx1+x2+x3= x1+μx2+x3=

x1?2x2+x3=0,x1+x2?2x3=

可取其一組非零

x2=x3=x1+2μx2+x3=解因為齊次方程組有非零解,所以系數(shù)行列式等于零,

c

λ? 1 =(λ? =?(λ?1)μ= 所以λ=1或μ=

x1+x2+x3 {x+x+x=當(dāng)λ1時

x1+μx+x= 即

可取其一非零

x1x2=

x1+2μx2+x3=

x1+x3=x3={當(dāng)μ0時方程組

λx+x+x3=

可取其一組非零

x1=x2=1?x1+x3=111習(xí)題2.3.6設(shè)A?1121求113解因為AA?1I所以|A||A?1||AA?1||I|1則|A|

|11| A?1

= 2所以|A|=1,2

1A?=|A|A?12

(A?)?1= 1而r1 1 2r

1 00 0?111 01

0 2?101 ?1

?111r 0 0 1r 1r3×

0 21222 0 1?1 22所

0 1— 111=121=11111=121=113

—0 —0 2習(xí)題2.3.7A為3階方陣,且|A|=1求|(2A)?12 解因為(2A)?1=1A?1=1·1A? (2A)?1?5A?=|?4A?|=(?4)3|A?|4而A?A|A|I,故|A?|·|A||A|3,即|A?||A|2=1,4(2A)?1

5A?

–64·14

–習(xí)題2.3.9設(shè)A是n(n≥2)階方陣,A?是A的伴隨矩陣.證明r(A?)=n的充要條件是r(A)=r(A?)=1的充要條件是r(A)=nr(A?)=0的充要條件是r(A)<n?證(1)由于|A?|=|A|n?1因此|A?|?0的充分必要條件是|A|?0.而A可逆的充分必要條件是r(A)=n,由此得r(A?)=n的充要條件是r(A)=n.若A奇異則|A|0于是AA?|A|I0從r(A)+r(A?)≤下證(2)成立.若r(A?)=1,則r(A)≤n?1.若r(A)<n?1,則A中所有的n?1子式都為零,此時A?為零矩陣,與r(A?)=1,所以r(A)=n?反之當(dāng)r(An1時,則A中存在n1階非零子式,由此有A??0,1≤r(A?)≤n?r(A)=所以有r(A?)=(3)當(dāng)r(A?0時,則A?為零矩陣所以A中所有的n1階子式都為零則r(An反之,若r(A)<n?1,則A中所有的n?1階子式都為零,此時A?為零矩陣,則r(A?)=總習(xí)題3計算下列行列式··

········

122·122··2222··2(1)Dn223··2 2···

1···解Dn1r1÷2

2··· 3················· 2··· r i=3,···

1111··1111··10111··10010··0·002··0

2········ ·· 0···n

=?2(n?Dn

a··· axa···aaaax···a;··················aaa···xaaaa···ax解 a···a a···

x+(n?1)aa a··· x+(n?1)a a·· D

x···

1 x+(n?

x·· ···········

·····

·· ·············· a···x a···

x+(n?1)aa a···x x+(n?1)a a··· a··· a···

[x+(n—

x··· ·················

a··· a··· ·· 0x? ·· x?a·· [x+(n?·· ·· ·· ·· ·· ·· ···x? ·· x?=[x+(n?1)a](x?(5)

n+1

a2··· a2··· a1 x··· ··········· ·· ··a1 a3·· a1 a3·· D D解

x? a1? a2?a3···an?1?an x? a2?a3···an?1? ···

· · x?·· ···a···an··000··x?1000··01=(x?a1)(x?a2000··x?1000··01總習(xí)題5λ取什么值時,(λ+3)x1+x2+2x3=λx1+(λ?1)x2+x3=3(λ+1)x1+λx2+(λ+3)x3=只有零解?(2)有非零解解λ+ D λ?

3? 3? λ? 3(λ+ λ+ 3? ?λ2?λ+ =1· 3? 3?3? ?λ2?λ+=?[(3?λ)(?λ2?λ+3)?(3?2λ)(3?=λ2(λ?則當(dāng)D?=0即λ?=0且λ?=1時齊次線性方程組只有零解當(dāng)D=0即λ=0或λ=1時齊次線性方程組有非零解總習(xí)題8(2)已知A的伴隨陣A?=diag(1,1,1,8),且AXA?1=XA?1求解由AXA?1=XA?13I(AXA?1)A=(XA?1)A+ 即AXX所A?1(AX)=A?1X+即X=A?1X+ (I?A?1)X=所 X=3(I?A?1)?1=3I

1A?)?1 √ 而|A?|=|A|,則|A|=3|A?| 1·1·1·8=2,所 0 010 0 I?|A|A?

001

0002 2 1 2 0

0則1 2

2 6 X=

0 20

= 0

0 0 0 10 0 000?

0 0 總習(xí)題14設(shè)f(x) 3?x5? 3x3+5,試證存在常數(shù)c(0<c<1), 3x5? 7x8?得f′(c)=證對f(x)進行化簡 f(x) 3?x?3x+x+ 3x+x+

3x5?2x2? 7x8?2x2? ?3x+x+ 3x+x+ 3x5?2x2? 7x8?2x2?1由2階行列式的定義知f(x)是x的10次多項式,顯然在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且因為f(0

?1

=0,f(1)

0所以f(0f 則由羅爾定理知存在常數(shù)c(0c1),使得f′(c總習(xí)題15證明:如果一個n(n≥2)階行列式的所有元素不是1就是?1,則該行列證設(shè)n(n≥2)階行列式為

a12··· a22···a2n,其中 =1或 ·· ········ an2···因a11+ a12+a22···a1n+D ·· ·· ·· ·· ·· ·· 而由aij=1或?1易知a1j+a2j(j=1,2,···,n)只可能是2,?2或0這三數(shù),因此Dn的第一行的n個元素有公因子2,則由行列式的性質(zhì)知該行列式是偶數(shù).總習(xí)題16證明 34··n?n 23··n?n? 12··n?n? x1··n?n?=(?1)n+1xn?2(n≥·············· ·· ··1xxx·121xxx·x1 34··n?n 23··n?n? 12··n?n?證 x1··n?n?·············· ·· ·· x·· n x·· nr3—12r3—1234··n?n0··0x?··0x?x?················0x?x?x?··2?2?0x?x?x?··x?(n?1?x?x? x?x?x?x?······················x?x?x?x?··2?2?x?x?x?x?··x?(n?1?

n···x000···0x+x00···0x+x+x0···0···············x+(n?x+(n?x+x+(n+1)···0x+(n?x+(n?x+(n?x+ ···0rx00··00x+x00··00x+x0··00x+x+x··00········00x+(n?x+(n?x+··x0=

x+(n? x+(n? x+(n?1)···x+1§2.5

=3, 已(A) (B) (C) (D)設(shè)四階矩陣Aα,γ2,γ3,γ4Bβ,γ2,γ3,γ4其中α,β,γ2,γ3,γ4均為4維列向量且已知行列式|A|=4,|B|=1,則行列式|A+B|=().(A) (B) (C) (D)設(shè)A為n階方陣,則|A|=0的必要條件是 A中有兩行(列)A中各行(列)元和為A中有一行(列)以|A|0 a 0已 =1,則a 020001(A)?0.11(B) (C)(D)方程1 =0的根為 144114418(A)1,2, (B)1,2, (C)0,1, (D)1,?1,kx1+2x2+x3=在下列何種情況下k?= (B)k?=

2x1+kx2=0,x1?x2+x3=0

僅有零解 (C)k?=?2或k?= (D)k?=?2且k?=kx+z= kx?2y+z=(A)k?= (B)k?= (C)k?= (D)k?=a11x1+a12x2+···+a1nxn=對于非齊次線性方程組a21x1a22x2···a2nxn=································an1x1+an2x2+···+annxn=

以下結(jié)論確的是 若方程組無解,則系數(shù)行列式D=若方程組有解則或者有惟一解若方程組有解,則系數(shù)行列式D?=系數(shù)行列式D?=0二.填空題(每題3分,共24分 395= 2.設(shè)A為3×3矩陣,B為4×4矩陣,且|A|=1,|B|=?2,則||B|A|= 111011011101101101101112 設(shè)D 3 1,則 + — + ,其中A 5元素aij的代數(shù)式 0000x30045

=0,則x= 0x10x1111111

是x的一次多項式,則x的一次項的系數(shù)等 xx223xxx223x—4311x若Dn=|aij|=a,則D=|?aij|= 三.計算題(每題10分,共30分計算n(n≥2)x1+x2+Dn x3+··

x1+2x1+3···x2+2x2+3···x3+2x3+3···· ·· ··

x1+nx2+nx3+n.·· ··· 已

n+ n+ n+ n12D31412D314 52 0且元素aij的代 式為Aij,求(1)A31+A32+A33;(2)A34+ 設(shè)矩陣A ,矩陣X滿足A?X=A?1+2X,其中A?是A的 隨矩陣,求矩陣四.證明題(每題10分,共30分證明奇數(shù)階稱矩陣的行列式為零試證:如果n次多項式f(x)=a0a1xa2x2···anxn對任意n1個不同的x值都是零,則此多項式恒等于零.證明:3個平面xaiya3za20(i1,2,3)(a1,a2,a3互不相同)交于 點的充要

ai?=§2.6單元練習(xí)二一.選擇題(每題2分,共16分)a1b 2a14a1?3

a2b

=2,

2a24a2?3

2a34a3?33(A)(B)(C)(D)設(shè)A,B都是n階方陣,且滿足等式AB=0,則().(A)A=0或B=0 (B)A+B=0(C)|A|=0或|B|= (D)|A|+|B|=設(shè)A為n階方陣,k是非零常數(shù),則|(kA)?|=( (A)k||n (B)|k|||n(C)kn(n?1) (D)kn?1設(shè)A,B為n(n≥2)階方陣,則必有 (A)|A+B|=|A|+ (B)|AB|=(C)||A|B|=||B| |B(0 設(shè)A,B都是n階可逆陣,則 0

(A)(?3)n|A|B (B)?3|A|T(C)(3)nAT?B (D)(|3)2n|

λx+y+z=λx+3y?z=0,僅有零解,則 ?y+λz=(A)λ?=0且λ?= (B)λ=0或λ=(C)λ?= (D)λ?=x+y+z= a

xyz=b,有唯一解,且x=1,那么1?1x?y+z= 11

(A) (B) (C) (D)設(shè)A是n(n≥2)階可逆陣,A?是A的伴隨矩陣,則有().(A)(A?)?=|A|n?1A (B)(A?)?=|A|n+1A(C)(A?)?=|A|n?2A (D)(A?)?=|A|n+2A二.填空題(每題3分,共24分設(shè)A,B為3×3矩陣,且|A|=?1,|B|=4則8(ATB?1)2 設(shè)A,B為n(n≥2)階方陣,且|A|=2,|B|=?3,則?B1 設(shè)A為33矩陣,|A|=?2,把A按列分塊為A=(α1,α2,α3),αj(j1,2,3)是A的第j列,則|α?2α1,3α2,1 設(shè)有3階矩陣A= B= ,其中α,β,γ2,γ3均為3維行向量, 且已知行列式|A|

|B|

3,則|A?B|= 1— 設(shè)D

3,則A41+A42+A43+A44= ,其中Aij為 素aij的代數(shù)式312312x011x4,則x4項的系數(shù) 21設(shè)f(x) 2x設(shè)n階方陣A,BA?BA=4BA?且|A|=2,|I?2A|?=0,則B= nn00··01000··21000··20·· ·· ·· ········0n?n?···00n?0···0三.計算題(每題3分,共30分計算行D計算n(n≥2)

= cdbd b Dn

x1a a··· ab a·· ax3·· (a?=··················bbb···xn?1abbb···bxn設(shè)A是n(n≥2)階非零實矩陣,且任一元素aij與其代數(shù)式Aij均相等,四.證明題(每題10分,共30分a1+ ·· ··

··

∑ 000·000··01000··Dn

·· ·· ····· ·· ··

其中n≥2且xi?=0(i=1,2,···,設(shè)··1··1D ·············1··1把它的第i行(i12,···,n)換成x1,x2,···,xn?1,1而其他的行不變所得的行列式記為Di,試證D

若空間4個平面aixbiycizdi0(i12,3,4)相交于一點,試證a3,單元練解一選擇12345678DDDABDCC2a112a12 a11a12 a11a12

=23

=?8

=?8×3=2a212a22所以應(yīng)選

a21a22 a31a32).|B|.正確計算如下|A+B|=|α+β,2γ2,2γ3,2γ4|=8|α+β,γ2,γ3,=8(|α,γ2,γ3,γ4|+|β,γ2,γ3,γ4|)=8(|A|+|B|)=8(4+1)=所以應(yīng)選ABC均為|A|=0的充分條件而非必要條件.0 0 由a 0?1=a·(?1)2+120?1=?a·1·(?1)1+32 =?2a=2得a=12

0 00 1

01 0所以應(yīng)選11111115.由2 =2x14418 12(?2)214418 13(?2)323=(?2?1)(2?1)(x?1)[2?(?2)][x?(?2)](x?=?12(x?1)(x+2)(x?2)=解得x1,x?2,x所以應(yīng)選 k? k? 0 0 =(k?1)k?6=(k+2)(k?3)?= 解得k?=?2且k?=所以應(yīng)選由克拉默法則知當(dāng)非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零時 方程組有唯解則k01解則k01k012k1=2?k0=k100=?2(2?k)?= 解得k?=所以應(yīng)選

{x+

=對非齊次線性方程

而言,其系數(shù)行列式為零,2x1+2x2=有解所以應(yīng)選二.103100 31

199200 ?1200 100?12301300

13c 3?8 ?81100?15 = =100(40?20)= 52.||B|A|=|B|3|A|=(?2)3·1=111011111011011011011

1 0 c÷1

1 11 0 1 1 131r?r31

?1

?1

0

=3 1=3·(?1)·

=因4,2,?3,6恰好為D中第三列元素,而A12,A22,A32,A42為D中第二列元素的代數(shù)式,故4A12+2A22?3A32+6A42表示D中第三列元素與第二列對應(yīng)元素的式乘積之和等于零所以4A12+2A22?3A32+6A42=12341234567800x30045

?4(5x120得x=5將D按第一行展開可知D是x的一次多項式,其中x的一次項的系數(shù)為x 式(?1)1+31?1?1=0 =0 =1 0 2 ?01?7 ?01?7 03+ 11x ?1?xx? 16+22x?1? =1 0103+3+16+ ?= =?[(16+22x)·(3+18x)?(?2x2)· 3+=34x2?354x?所以該四階行列式是x的2次多項式D=|?aij|=(?1)n|aij|=三.解當(dāng)n2時, x1+ x1+ ···x1+1x1+x1+··x1+x2+x2+··x2+1x2+x2+··x2+=x3+x3+··x3++1x3+x3+··x3+····················xn+xn+··xn+1xn+xn+··xn+ 3···n x1x1···x1 3··· x2x2··· 3················· 3···當(dāng)n2時,

x3x3··· =0+0=··············1xnxn···21D=x1+ x1+2=21

—x2x2+1x2+解 根據(jù)定理知行列式某一行元素與另一行對應(yīng)元素的代數(shù)式乘積之和等于零,所以有{2(A31+A32+A33)+(A34+A35)=(A31+A32+A33)+2(A34+A35)=解{A31+A32+A33=A34+A35=解由A?XA?12X得A(A?XAA?12AX即|A|XI所(|A|I?2A)X=I, X=(|A|I?2A)?1111111由于|A|11=020=020=4,所1102002|A|I?2A而

022 0 2 0 2?20 22

1

?4

0 0 0 4 1144014200 1 11144014 ,441 040 1 01 ,441004 0所

001 0 0 X=(|A|I?2A)?1 四.

0 0 ··· ··· 設(shè)n階稱矩陣A ··· ,其中n為奇數(shù)··············則 ··· ?a13··· ··· ?a23···|A|=

··· =

···?a3n····················即··0··0|A|=?AT=|A|所以|A|證設(shè)x1,x2,···,xn+1是任意n1個互不相同的實數(shù), f(xi)=a0+a1xi+a2x2+···+anxn=0(i=1,2,···,n+ 則

··

·· ··

·· ·· ·· ····· ···

因為齊次線性方程組(2.3.4) x2·· 1·· n 2·· x1x2x3··· x2··

x2x2···x2

(xi?xj)?= n····· ········ ·············· 1xn+1

···

xxx xxx

···f(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxn≡證3個平面交于一點的充要條件是非齊次線性方程組有唯一解,則知 非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是其系數(shù)行列式不等于零 a1 D a = a? a3?

2?

a3? a3? a3 a2+a2a1+=(a?a)(a?a

a2+a

+ 3 =(a2?a1)(a3?a1)(a3?a2)(a1+a2+a3)?=因為a1,a2,a3互不相同,所以a1a2a3?單元練習(xí)一.12345678CCCBDADC 4a1? 2a1?3 a1b 1= 2bc4a3? r222=?6×2=所以應(yīng)選因為AB0,所以|AB|0,即|A||B|0,故|A|0或|B|所以選因為(kA)?=kn?1A?所以|(kA)?|=|kn?1A?|kn?1)n|A?|=knn1所以應(yīng)選一般地|A+B|?=|A|+||A|B||A|n|B|||B|A||B|n|A|,||A|B|=||B|A||A|=|(BA)|=(?)n|BA|故A|而|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.所以應(yīng)選因為A,B都是為n階可逆陣,

|B?A|

(

0

=(

0B

=

= |A| 所以應(yīng)選λ λ 2λ3?1 02?2= λ(2λ?22λ(λ?1?0得λ?0且λ?0?1 0?1 ?1所以應(yīng)選D由克拉默法則知x=D11其中D1D

,D

1

所a1111a11111111D1 1=11=00=c11100則?2

=

a 1— b = b1 =?D1= c?1所以應(yīng)選由AA?|A|I得A?|A|A?1,于(A?)?

|A|

=|A|

|A|

=

A?1·1(A?1)?1=

n?2所以應(yīng)選二.8(ATB?1)2=8(ATB?1)(ATB?1)=83|A||B?1|AT 1 = ·|B|2=8·(?1)·42= |2A?B?1|