數(shù)列專 求通項(xiàng)方法

23n2223n22數(shù)列專題三）求通項(xiàng)方法一、觀法（即不完歸納法當(dāng)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)時(shí)（即數(shù)是以列舉法給出的）我們可以通過觀察數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的關(guān)系得出通項(xiàng)公式。例1

1125，，，，，…3537145分析：上面的數(shù)列可以變?yōu)椋?，，，，，，?578所以通項(xiàng)a=n

nn（、、、、…分析：上面的數(shù)列可以變?yōu)?+1，2+12+1，+12+1，所以通項(xiàng)a=2+1二、公法當(dāng)已知數(shù)列的類型（如已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列）時(shí)，可以設(shè)出首項(xiàng)和公差（公比），列式算。例2知差數(shù)列{a}，其前三項(xiàng)分別為a1a+2a+5，通項(xiàng)公式。n分析：由題意可得：首項(xiàng)a=a1，公差d=—=31所以根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a=a—1+3（—）—n（知比數(shù)列{a}，首a=2，公比，并且滿足=an1n分析：因?yàn)閧}是等比數(shù)列，以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：n數(shù)列也是等比數(shù)列，并且首項(xiàng)b＝＝，公比＝16，n

2n

，求數(shù)的通項(xiàng)公式n根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得b＝n

n

＝

1

1nnn11n1nnn11n三、利前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)已知數(shù){a}前n項(xiàng)和S，通項(xiàng)公式，利用a＝S(特地，當(dāng)n=1的值S的相同時(shí)，合并為一個(gè)通項(xiàng)公式，否則寫成分段1n)n的形式。例3列a}前n項(xiàng)S＝n

2

—4n，求數(shù)列{a

}的通項(xiàng)公式。分析：當(dāng)n＝1時(shí)S＝2，當(dāng)時(shí)a＝

n

S

n

＝－又因?yàn)椋綍r(shí)值與S的相，所以通項(xiàng)公式為a＝－6（列a}前n項(xiàng)滿足logn

(S2

＝n+1，求數(shù)列{a}的項(xiàng)公式。n分析：由題意可得S=n

n

，以，當(dāng)＝時(shí)S＝，當(dāng)n

2時(shí)a＝S＝nn

n

，又n＝1時(shí)的與的不相同，所以通項(xiàng)a＝n

(n(n四、已遞推關(guān)系式通項(xiàng)公類1累法(差加)形annn11例4:已知列滿足a，2n

，求

n

。解：由條件知：

n

n

112n(n分別令

，代入上式得

(

個(gè)等式累加之，即(a)a))22n

n

)111)所a2234nn113a，22n練習(xí)：已知數(shù)列{a滿足a=1，=2n+，數(shù)列{}的項(xiàng)公式n1n+1nn2

nn1nnn1n類2累法(商乘)形

n

fn)a

n解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

anan

f(

，利用求解。例5:已知列

n

a1

2n，3

a

n

，求

n

。解：由條件知

anann

，分別令

n

，代入上式得

(n

個(gè)等式累乘之，即aaa12n23a234n13

ana1又

a1

2，a3例6:已知

a，a

n

nn

a(n，a。nn解：

n

3(n33a3(2)

n3n52n3n3

。練習(xí)：已知數(shù)列{an}，足

a

1

a=1，n12

n

(n≥，則{a}的通項(xiàng)n

nn解由已知得

n

aa12

n

na

n

用式減去已知式得

當(dāng)

2

時(shí)，

n

n

n

，即

n

n

，又

aa

，1

aa24aa1

，將以上個(gè)子相乘，得

!a23

nqnnnnnnnnnnqnnnnnnnnn類3形

n

pan

（中，q均為常，

((

解

構(gòu)法待系法把遞公轉(zhuǎn)為

n

p()n

，中

t

，利換法化等數(shù)求。例7:已知列

n

a，

n

2，.n解遞推公式

n

2n

可以轉(zhuǎn)化為

n

2()即an

n

2tn

.故遞推公式為

an

,令

nn

，則

b

,且

bn2bann

.所

n

是以b

為首項(xiàng)，為公的等比數(shù)列，則

nnn

,所

2nn

.變:（2006，慶文,）在數(shù)列

1

n

n

，則該數(shù)列的通項(xiàng)

_______________（key:

n

）類4轉(zhuǎn)法①形如

n

n

n

（中p，均常，

(pq(p

（或n

n

n

其中，r均常）解：般，先原推式邊除

n

，：

apnqnqqn

引輔數(shù)

n

（中

abq

得

1bn

再定數(shù)解。例8:已知列

n

a1

51,a)632

n

，求

n

。解：在

11a)n兩乘以2得n(232

n

)n令

n

n

2，則b,之得：b2()3

n所以

an

b11n)n)2n2

n4

nnnnnnannnnnnnan②形rp0,0)nnn解：這種類型一般是等兩取對(duì)后轉(zhuǎn)化為

n

n

，再利待系法解。例：知數(shù)列｛

n

｝中，

a1n

1a

2n

(0)

，求數(shù)列

n解：由

1a邊取對(duì)數(shù)得lglgalga

，令

，nn

blgn

11，再利用待定系數(shù)法解得：()aa

2

。③形

a

n

f(n)ng()(n)n解法：這種類型一般是等兩邊倒后換轉(zhuǎn)化為

n

pan

。例10：已數(shù)列｛a｝足

aan3n

1

，求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：

1ann等差數(shù)列，

11naaan1

1n3練:已數(shù)列｛a｝足a＝，a＝2式；

（n，n2a＋n

求數(shù)列a｝的項(xiàng)公解將條件變?yōu)椋?/p>

n11n＝－此1｝一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝aaaann1n11n，公比，而1－＝，此得（3a3n31n5

，nA，nA)xnn類5(征法)形

n

pa

n

n

（中，q均常。解對(duì)于由推式

n

n

n

a

給的列

n

方程

x

2

px0

，叫數(shù)

n

的征程若

xx

是征程兩根當(dāng)

xx

時(shí)數(shù)

n

的項(xiàng)n1

n2

，其中A，B由

a

決定（即把

aa,xx21

和

1,2

，代入n1

n2

得到關(guān)AB方組

xx

時(shí)數(shù)列

n

aABnn的項(xiàng)n1，其AB由

a

決（把

aa,xx22

和，入n1，得到于、B的方程。例11:數(shù)列

n

3a

n

n

nnN)a,a,求an2n解特根的征方程是：

x

0

。

xx12

23

,

n1

Bx

n2

2B)3

n

。又由

aaa

，于是BA

AB)

故

2aa)()3

n練1:已知數(shù)

n

a

,

a

,

a

n

2a33

n

，求

n

。n

731()443

n

。6

nnnn練2:已數(shù)列

n

1

aa2

n

nn

*

).

求數(shù)列

n

式（）：

an