數(shù)學(xué)中的抽屜原理

數(shù)中屜理先看簡單的事實(shí)：把3書放到兩個抽屜里，只有兩種情況：一個一本一個本，或一個三本一個沒有。無論哪種情況，都至少有一個屜里有兩本或兩本以上的書。更一般地說，只要被放置的數(shù)比抽屜數(shù)目大，就一定會有兩本或兩本以上的書放進(jìn)同抽屜。（一）抽屜原理的常式【原理一果把個東西放進(jìn)（mn只抽屜里，則至少有一只抽屜要放進(jìn)兩或兩個以上的東西?！纠?】求證：在任選取的n+1個整數(shù)中，至少存在兩個整數(shù)，它們的差能被n整除。證明：對于個整，被除所得的余數(shù)為01，…n－1共n，按余數(shù)的不分成的n中，至少有兩個在同一類里，即這兩個數(shù)被n除所得的余數(shù)相同，那么它們的差就一定能被n除?！纠?】幼兒園有三塑料玩具（白兔、熊貓、長頸鹿）各若干個，每個小朋友意選擇兩件。證明：不管怎樣挑選，在七個小朋友中總有個人選的玩具相同。證明三種玩具中選兩件配方式共有下列六種兔貓頸鹿、熊貓長頸鹿、頸鹿一種可以看作一個抽屜，七人的7種選法中，有6種不同的搭配，由抽屜原理，七1頁人中至少有兩人挑選具時搭配方式相同。【原理二果把于東西，任意放進(jìn)n個抽屜，那么至少有一個抽屜有不少于m+1東西?！纠?】在口袋里有色、藍(lán)色和黃色的小球若干個，21個人輪流從袋中取球，人每次取3球。求證：這21個人中至少有3人取出顏色相同。證明取出的三個球色是同一色即全紅全藍(lán)或全黃）有三種不同的情況是色（如兩紅一藍(lán)等有6種情況，是三色的（即紅、藍(lán)黃三色小球各一個）只有一種情況，故共可分成類。抽屜原理二知道，把21個人所取出的球按顏色可歸為這10類中則必有一類至少有（個所以，個人中至少人取的球的顏色相同。運(yùn)用抽屜原理只是肯了“存在”總有”至少有”，卻不能確切地指出哪抽屜里存在多少。（二）怎樣應(yīng)用抽屜理應(yīng)用抽屜原理解題，般有三個步驟：列出分類對象；找出分類規(guī)則（即構(gòu)抽屜）并證明每一類中的東西符合題意；根據(jù)題意應(yīng)用抽屜原證明結(jié)論成立。【例4】給定997個數(shù)1，3，，…，1993，求證：從中任取個不同的數(shù)其中必有兩個整數(shù)的和為19942頁證明：把這997個整中兩數(shù)相加和為1994的每兩個數(shù)分為一組，剩余的數(shù)為組，可分為499，為：｛，，999｝根據(jù)原理一，從這499組中任取數(shù)，必有兩個數(shù)取自同一組中，那么這兩數(shù)之和為問題得證。【例5】有個自然，且，求證：所有的差數(shù)中至少有四個相等。證明所有可能的1作為抽屜扣住“差”，構(gòu)成下列差數(shù)作為分對象。對于可作出個差（即于可作出19個差（即…直至可作出一個差數(shù)共有1+2+3+…+19+20=210個差數(shù)。根據(jù)原理二由]+1=4，即至少有4個差相等，于是命題得證?！纠?】求證：從任個自數(shù)中可以找到若干個數(shù)，使它們的和是的倍數(shù)證明：以自然數(shù)被n除得的余數(shù)1，2，…，n－分類制造抽屜，扣住“和構(gòu)造下列和數(shù)：若中有一個是n倍，問題得證）可以看到，如直接給了分類對象，只要恰當(dāng)制造抽屜就可以了；如果沒有直接出分類對象，就要根據(jù)題意先構(gòu)造出分類對象。有些問題要多次應(yīng)用屜原理才能解決。3頁【例7對任意給的84個互異的正整數(shù)試證其中一定存在四個正整數(shù)，僅用減、乘號和括號將它們適當(dāng)綜合為一個算式，其結(jié)果為的倍數(shù)提示：1992=83×24證明：由例可知，這84個互異正整數(shù)中，至少有兩個數(shù)被83除的余數(shù)同，不妨設(shè)，則：83|（）在這82個互異的正數(shù)中有兩數(shù)被24的余數(shù)相同，不妨設(shè)則24|（）因?yàn)椋?，?1所以，83×24|（即：1992|（則即為所求證存的四個互異的正整數(shù)?！纠?從前個自數(shù)中最少不看這些數(shù)而以任意方式）取出幾個數(shù)，才保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù)，其中較大的數(shù)是較小數(shù)的數(shù)？分析與解答：設(shè)想有30張分別寫1、2、3、…、的片，背面向上放在桌子上，從中任意取，如果抽取兩張，譬如說可能抽到35，它們之間沒有數(shù)關(guān)系，但也也許抽到24，它們之間就有倍數(shù)關(guān)系了。來只抽兩張，不能保證出現(xiàn)題設(shè)的結(jié)4頁果。抽3呢？如果抽出4、、，那遺憾。抽4呢？如果抽出163711也成這樣想下去，不容易找出題目所說“至少取幾個數(shù)”中的最小數(shù)，看來要想個好辦法。把前30個自然數(shù)分下列15組：｛，，4，8，｝｛，，，24｝｛，，｝｛，，｝｛，｝｛，22｝｛，26｝｛，30｝｛根據(jù)抽屜原則知：任取出個，至少有兩個取出的數(shù)落入同一個組內(nèi)，當(dāng)是落入前面8組的某組，這兩個數(shù)就有倍數(shù)關(guān)系。這說任意取出16個數(shù)后可以滿足題目的要求，所以，從前30個然數(shù)中至少取16個數(shù)，就可保證取出的數(shù)中有兩個數(shù)它們之間有倍數(shù)關(guān)系。【例9】能否在行列的格表（如圖）的每一個空格中分別填上1，，這個數(shù)中的任意一個，使得每行、每5頁列及對角線、BD上的各個數(shù)字的和互不相等？并對你的結(jié)論加以說明。分析與解答：這個問題初看起來似與抽屜原則關(guān)系不密切，下面我們先看圖：圖中行8列兩條對角線共18“線”，每條線上都填有8數(shù)字，使各條線上的數(shù)字和都不相同，那么每條線上數(shù)字和取不值的可能性必須超過18種。下面我們來看各條線上取不值的可能情況有多少種。如果一條線上的個數(shù)字都填3，那么數(shù)字和最大值24，由于數(shù)字和都是整數(shù)，以從到24共有17不同的值。我們把數(shù)字和的17種同的值當(dāng)作抽屜，而把18條線分到17個抽屜里，定有一個抽屜里有兩條和兩條以上的線，即18條線上的字和至少有兩個是相同的。因此，不可能使線上數(shù)字和互不相同?！纠?0】從前個然數(shù)中任意取出個數(shù)，證明：取出的數(shù)中一定有兩個數(shù)個數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的1.5。證明：把前個自數(shù)從1始，連續(xù)的幾個數(shù)為一組，其中最大的數(shù)小于最的數(shù)的1.5倍最少可以分成下面組：；，；4，5，；6頁7，8，，；11，12，13，14，15，1617，18，19，20，21，2223，24，25．因?yàn)閺那?5個自然中任意取出個數(shù)所以至少有兩個數(shù)取自上面第2到6組中的某同一組，這兩個數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的。說明：把前個自數(shù)分成的組以看成6個抽屜，所任意取的7數(shù)看成7個蘋果，那么至少有兩個蘋果要取自同一個抽屜。注意到一組數(shù)中任何兩個數(shù)的比值都不超過1.5，所以當(dāng)判定一有兩個數(shù)取自同一組時，這兩個數(shù)就符合題目要求。上面證明中，分組方是關(guān)鍵，分組的目的就是為使用抽屜原則，分組是在構(gòu)造屜?！纠?1】人考，總分為（百分制明至少有11人同分。證明：考試的得分可為0，，2…，99，100，每一得分可以