示范教案(向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義)

2.2.3向量乘算其何義整設(shè)教分向量的數(shù)乘運(yùn)算其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡(jiǎn)化與法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算.教學(xué)時(shí)從加法入手入數(shù)乘運(yùn)算,充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)與量的乘積仍然是一個(gè)向量有大小,有方向.別是方向與已知向量是共線向量進(jìn)引出共線向量定理共向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)用相當(dāng)廣泛且易出錯(cuò)其是定理的前提條件向量a是零向量共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性,且與后續(xù)的知識(shí)有著緊密的聯(lián).三目通過(guò)經(jīng)探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過(guò)程掌握實(shí)數(shù)與向量的定義,解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)理解兩向量共線的等價(jià)條,能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定向量是否平.通過(guò)探體會(huì)類比遷移的思想方,透研究新問(wèn)題的思想和方法,養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神通過(guò)解決具體問(wèn),會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作重難教學(xué)重點(diǎn):實(shí)與向量積的意義.2.數(shù)與向量積的運(yùn)算律兩向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)課安時(shí)教過(guò)導(dǎo)新思1.前面兩節(jié)課,我們起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算這一節(jié),我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡(jiǎn)便計(jì)算及推廣在代數(shù)運(yùn)算中故數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算方那么相同向量的求和算是否也有類似的簡(jiǎn)便計(jì).思2一物體做勻速直線運(yùn)一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為那在同一向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是嗎？怎樣用圖形表示？由此展開(kāi)新推新新探提問(wèn)①已知非零向量a試一試作出aaa和()+(-)+(-②你能對(duì)你的探究結(jié)果作出解并說(shuō)明它們的幾何意義?③引入向量數(shù)乘運(yùn)算后你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎怎理兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活:引學(xué)生回顧相關(guān)知并猜想結(jié)果對(duì)運(yùn)算律的驗(yàn)證點(diǎn)學(xué)生通過(guò)作圖來(lái)進(jìn)行.通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手作圖,學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其何意教師要引導(dǎo)學(xué)生別注意a而是=0.個(gè)零向量是一個(gè)特殊的向,似乎很不起但又處處存稍不注意就會(huì)出錯(cuò),所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向之間的關(guān)實(shí)數(shù)與向量可以求積但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算,比如,λ-都法進(jìn)行.向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有種不同的形(λ+μ)aλμ和λ(a+)=λb數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等,方向相判兩個(gè)向量是否平共)實(shí)際上就是看能否找出一個(gè)實(shí)數(shù)使這個(gè)實(shí)數(shù)乘以其中一個(gè)向量等另一個(gè)向.一定要切實(shí)理解兩向量共線的條它是證明幾何中的三點(diǎn)共和兩直線平行等問(wèn)題的有效手/

對(duì)問(wèn)題①學(xué)生通過(guò)作圖可現(xiàn),

OC

=

OA

+

AB

+

BC

=a+類似數(shù)的乘法,可把a(bǔ)記作3即

OC

=3顯然3的方向與的向相,的度a的長(zhǎng)度的倍即3|=3||.同樣由圖可知,圖=QMMN

=(-)+(-),即-)+(-a)+(-a).顯3(-)的方向與的向相反,3(-a)的長(zhǎng)度是a的度的3倍,這樣3(-)=-3對(duì)問(wèn)題②上述過(guò)程推廣后即為實(shí)數(shù)向量的我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與量的是一個(gè)向量這運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下(1)|aa|;當(dāng)時(shí)λ方向與方向相;λ<0時(shí)λ的方向與a的向相反.由1)可知λ=0,λa=0根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定,們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為數(shù)那(1)λ(aλμ)a;(2)(a=aμ;(3)λ(bλb特別地我們有-=-λ)=λ(-a),λ(-)=λ-b.對(duì)問(wèn)題③向量共線的等價(jià)條件如果(a與b共那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b.推證過(guò)程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成,推證過(guò)程如下:對(duì)向a≠0)、b,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)使bλa,那么由向量數(shù)乘的定知線.反過(guò)來(lái)已向量a與線a且量b長(zhǎng)度是向量的度μ倍即ba那么當(dāng)a與b同向,bμ;a與反方向時(shí),b=-μ關(guān)于向量共線的條件,教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探,讓學(xué)生思若掉0這條件,上述條件成立嗎?目的是通過(guò)與意向量平行來(lái)加深對(duì)向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識(shí).在判斷兩個(gè)非零向量是否共線,需看這兩個(gè)向量的方向是否相同或相反即,與這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)沒(méi)有指明非零向量的情況下,共向量可能有以下幾種情況:(1)有一個(gè)零向量?jī)蓚€(gè)都為零向量;同向且模相等;同向且模不等;(5)反且模相等;反向且不等討結(jié):①數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量,向的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定,大小由λ|·|確.②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或的方向放大或縮.③向量的平行與直線的平行是不同直線的平行是指兩條線在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共;向量的平行既包含沒(méi)有交點(diǎn)的情,包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情.應(yīng)示/

思1例1計(jì):(1)(-3)×4a;(2)3(+b)-2(-b;(3)(2b-a-2+).活:本是數(shù)乘運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用讓學(xué)生自己完成,要學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)的運(yùn)算律.教中撥學(xué)生不能將本題看作字母的代數(shù)運(yùn)算以讓他們?cè)诖鷶?shù)運(yùn)算的同時(shí)說(shuō)出其幾何意義,學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特同時(shí)向?qū)W生點(diǎn)出,量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)對(duì)于任意向量、,及任意實(shí)數(shù)、、μ,有λ(μaμ)=λμ±μ.12121解原==-12a原式bab原式=2-c-3b-c=-b-2c點(diǎn):運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)算,解向量的數(shù)乘其運(yùn)算過(guò)程可以仿照多項(xiàng)式運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)”變訓(xùn)若3+2=,m-3n=b其a,b已知向求,n.解:因+2=①mn②3×得3-9n=3.③①-③得na-3b.∴=

13④11將④代入②,=bn=

32+.1111點(diǎn):此題可把已知條件看作向量、n的,通過(guò)方程組的求解獲得、n在此題求解過(guò)程中利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合,而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一圖例2如2,知任意兩個(gè)非零向量a、b試作

OA

=a,

OB

=a

OC

=a+3你能判斷A、B、C點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎?什?活:本給出了利用向量共線判斷點(diǎn)共線的方法,這判斷三點(diǎn)共線常用的方法學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖,通過(guò)觀察圖形得到三共線的猜再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共.題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思具體過(guò)程可由學(xué)生自己完成.外,題是一個(gè)很好的與信息技術(shù)整合的題材,教中可以通過(guò)計(jì)算機(jī)作圖,進(jìn)動(dòng)態(tài)演示揭示向量、變化過(guò)程AB、點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)/

解:如圖3別作向量

、

圖過(guò)點(diǎn)A、C作線AC.觀發(fā)不論向量、怎變化點(diǎn)始在直線上,想A、、三共線.事實(shí)上因?yàn)锳BOB-OA=a+2a+bb,而

=

OC

-

OA

=b-(a)=2b,于是

AB所以A、BC三共線.點(diǎn):關(guān)三點(diǎn)共線問(wèn)題學(xué)生接觸較多這里是用向量證明三點(diǎn)共線法是必須先證明兩個(gè)向量共線并且有公共點(diǎn)教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進(jìn)行反體向量證法的穎獨(dú).例3如圖ABCD的條對(duì)角線相交于點(diǎn)

M,且

AB

=a,

AD

=,你能用、表示MAMD?圖活本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì)另外,向量表示幾何元點(diǎn)、線段)是用向量方法證明幾何問(wèn)題的重要步驟,學(xué)中可以給學(xué)生明確指出這一點(diǎn).解:在ABCD中∵ACADb,-AD=a-b,又∵平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平,∴

MA

=

111(a+b)=-b22211MB==(-bb2211MC=ACa,22MD

=

MB

=-

11=-.222/

點(diǎn):結(jié)向量加法和減法的平行四形法則和三角形法則,將兩個(gè)向量的和或差表示出來(lái)這是解決這類幾何題的關(guān)思2例1凸邊形ABCD的AD、BC的中點(diǎn)分別為E、求證:

EF

=

12

(

+

).活:教師引導(dǎo)學(xué)生探能否構(gòu)造三角形使作三角形中位,助于三角形中位線定理解決或創(chuàng)造相同起點(diǎn)以立向量間關(guān).勵(lì)學(xué)生多角度觀察思考問(wèn).圖解:方法一:過(guò)點(diǎn)C在平面內(nèi)作CG=AB則四邊形ABGC是行四邊形,故F為AG點(diǎn)(如圖5)∴EF是ADG的位線∴EF

12

∴EF=

12

DG

而

DG

=

+

CG

=

+

AB

∴EF=

12

(

).方法二如6,連接EB、EC,有=+AB+DC圖又∵E是之點(diǎn),∴有

EA

+

ED

=0,即有EB=

以EB與為邊作

EBGC,則由F是之中,可得F也中.∴

EF

=

11EG(EB+EC)=(22

+

).點(diǎn)向的運(yùn)算主要從以下幾個(gè)方面加強(qiáng)練習(xí):(1)加數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練畫(huà)草圖幫助/

解決問(wèn)題加三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用練做到準(zhǔn)確熟練運(yùn).例2已

OA

和

OB

是不共線向量

AP

=t

AB

(tR試用

OA

、

OB

表示

OP

活:教師引導(dǎo)學(xué)生思由

AP

=t

AB

∈知A、BP三共而

OP

=

OA

+

AP

然后以AB表示AP進(jìn)而建立OA,OB的系.題可讓學(xué)生自己解決,師適時(shí)點(diǎn)解

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+t·

AB

=

OA

OB

-

OA

)=(1-t)·

OA

+t·

OB

點(diǎn):靈活運(yùn)用向量共線的條若令則

OP

=m·

OA

+n·

OB

,m+n=1.變訓(xùn)設(shè)兩個(gè)共線的向量e、e,向量=2-3,量+3e,向量c=2問(wèn)否存在這12221樣的實(shí)數(shù)λ、使量d+b與量共線？解=λ(2)+μ(2+3)=(2λ+2μ)+(3μ-λ)e,使與c共線,存在實(shí)數(shù)k使=kc,11即2λ+2μ)+(3μ-λ)=2k-9ke.12由λ+2μ=2k及--9k得-μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ和只λ=2μ就使d與c共線.2.(2007浙高考)若零向量、足a+b則)A.|2aa|<|2+b|C.|2a+2b|D.|2b|<|答:C3.(2007國(guó)高考eq\o\ac(△,在)ABC,已知D是邊一點(diǎn)若

=2

=

13

+

則等()

212C.-D.-3333答:A知訓(xùn)本節(jié)練習(xí)解圖略AC

52.77點(diǎn):本題可先畫(huà)一個(gè)示意根據(jù)圖形容易得出正確答.值得注意的是與AB反.b=2a;(2)b

7;(3)ba;(4)b=4共;(2)共線aa;(2)

111+a;(3)2y123圖略課小讓學(xué)生顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知:向量的數(shù)乘運(yùn)算法則向量的數(shù)乘運(yùn)算向量共線的條件體會(huì)本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方:特殊到一般,納、猜想、類,類討等轉(zhuǎn)化./

向量及運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比這類比是我們提高思想的有效手段,今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重它是我們學(xué)習(xí)中大的引路作課本習(xí)題2.2A組題、12.設(shè)感本教案設(shè)計(jì)流程符合新課程理念,充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、猜想、證等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)