高考數(shù)學(xué)刷題首秧第三章三角函數(shù)解三角形與平面向量考點(diǎn)測試20函數(shù)y=Asinωxφ圖象與性質(zhì)文含解析

考點(diǎn)測試20函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)高考概覽本考點(diǎn)是高考必考知識(shí)點(diǎn)，?？碱}型為選擇題、解答題，分值5分、12分，中等難度考綱研讀1．認(rèn)識(shí)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，認(rèn)識(shí)參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響2．認(rèn)識(shí)三角函數(shù)是描繪周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)質(zhì)問題一、基礎(chǔ)小題π1．要獲得函數(shù)f(x)＝cos2x－4的圖象，只要將函數(shù)y＝cos2x的圖象()ππA．向右平移8個(gè)單位長度B．向左平移8個(gè)單位長度C．向左平移π個(gè)單位長度D．向右平移π個(gè)單位長度44答案Aπππ分析由f(x)＝cos2x－4＝cos2x－8，可知將y＝cos2x圖象向右平移8個(gè)單位可得f(x)＝cos2x－π的圖象．應(yīng)選A．42．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)x∈R，ω>0，|φ|<π的部分圖象以下圖，則函數(shù)f(x)2的分析式為( )1πA．f(x)＝sin2x＋4πB．f(x)＝sin2x－4πC．f(x)＝sin4x＋4πD．f(x)＝sin4x－答案A2π3ππ分析由題圖可知，函數(shù)y＝f(x)的最小正周期為T＝ω＝8－8×4＝π，因此ωππππ＝2，又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)8，1，因此sin4＋φ＝1，則4＋φ＝2kπ＋2(k∈，解得φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|<π2，因此φ＝π4，即函數(shù)f(x)＝sin2x＋π4．應(yīng)選A．3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長為π，則fπ的26值是( )3A．－3B．3C．1D．3答案D分析由已知得f(x)的最小正周期為π，則π＝π，因此ω＝2，f(x)＝tan2x，因此2ω2ππ6＝tan3＝3．4．將函數(shù)y＝3sin2x＋π的圖象向右平移π個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)( )322A．在區(qū)間π12，712π上單一遞減π7πB．在區(qū)間12，12上單一遞加C．在區(qū)間－π，π上單一遞減63ππD．在區(qū)間－6，3上單一遞加答案Bπππ分析函數(shù)y＝3sin2x＋3的圖象向右平移2個(gè)單位長度所得函數(shù)為y＝3sin2x－2＋π2ππ2πππ7π3＝3sin2x－3．令－2＋2kπ≤2x－3≤2＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋12≤x≤kπ＋12，k∈Z，故y＝3sin2x－2π在區(qū)間π＋kπ，7π＋kπ(k∈Z)上單一遞加，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)31212π7ππ2π3π在區(qū)間12，12上單一遞加．A錯(cuò)誤，B正確．令2＋2kπ≤2x－3≤2＋2kπ，k∈Z，解7π13π得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，C，D錯(cuò)誤．應(yīng)選B．1212π5．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2，直線x＝π是其圖象的一條對稱軸，則以下各式中切合條件的分析式是( )3ππA．y＝4sin4x＋6B．y＝2sin2x＋3＋2ππC．y＝2sin4x＋3＋2D．y＝2sin4x＋6＋2答案D分析函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小值是0，清除A；最小正周期是π，清除B；2將x＝π代入y＝2sin4x＋π＋2，得y＝2sin4π＋π＋2＝2sin－π＋2＝2－3．而2－333333π既不是y＝2sin4x＋3＋2的最大值，也不是最小值，清除C．應(yīng)選D．36．函數(shù)y＝2sinππ≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )6x－3(0A．2－3B．0C．－1D．－1－3答案Aπππ7π3ππ分析∵0≤x≤9，∴－3≤6x－3≤6，∴－2≤sin6x－3≤1，∴－3≤2sinπx－π≤2，∴函數(shù)y＝2sinπx－π2－6363(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為3．應(yīng)選A．7．已知ω>0,0<φ<π，直線x＝π和x＝5π是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相44鄰的對稱軸，則φ＝()πππ3πA．4B．3C．2D．4答案A5ππ分析由題意可知函數(shù)f(x)的周期T＝2×4－4＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，將x＝π代入可得φ＝kπ＋π(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ244π＝4．應(yīng)選A．8．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對隨意x都有fπ＋x＝fπ－x，則π＝66f6________．答案±2分析函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對隨意x都有fπ＋x＝fπ－x，則其對稱軸為x＝π，666π因此f6＝±2．二、高考小題49．(2018·天津高考)將函數(shù)y＝sin2x＋π5的圖象向右平移π10個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)( )A．在區(qū)間3π，5π上單一遞加443πB．在區(qū)間4，π上單一遞減5π3πC．在區(qū)間，上單一遞加423πD．在區(qū)間2，2π上單一遞減答案A分析將y＝sin2x＋π的圖象向右平移π個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝510ππππππsin2x－10＋5＝sin2x，令2kπ－2≤2x≤2kπ＋2(k∈Z)，得kπ－4≤x≤kπ＋4(k∈Z)．因此＝sin2x的遞加區(qū)間為kπ－π，π＋π(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，＝sin2x在3π，y4k4y45π4

上單一遞加，應(yīng)選A．2π10．(2017·全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋3，則下邊結(jié)論正確的是( )A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向右平移π6個(gè)單位長度，獲得曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向左平移π12個(gè)單位長度，獲得曲線C2C．把1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到本來的1，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向右平移π個(gè)C26單位長度，獲得曲線2C5D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到本來的12，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向左平移π12個(gè)單位長度，獲得曲線C2答案D2π2ππππ分析y＝sin2x＋3＝cos2x＋3－2＝cos2x＋6＝cos2x＋12，由y＝cosx的圖象獲得y＝cos2x的圖象，需將曲線1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到本來的1，縱坐標(biāo)不變；由y＝cos2xC2ππ的圖象獲得y＝cos2x＋12的圖象，需將y＝cos2x的圖象上的各點(diǎn)向左平移12個(gè)單位長度．故選D．11．(2017·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，此中ω＞0，|φ|＜π．若5π11πf8＝2，f8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則()2π211πA．ω＝3，φ＝12B．ω＝3，φ＝－12111π17πC．ω＝3，φ＝－24D．ω＝3，φ＝24答案A分析∵5π＝2，11π()的最小正周期大于T11π5π3π，得f8f8＝0，x2π，∴＝－＝f48842π25π25π5π5πT＝3π，則ω＝T＝3．又f8＝2sin3×8＋φ＝2，∴sin12＋φ＝1，∴12＋φ＝2kππππ＋2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋12，k∈Z．∵|φ|＜π，∴φ＝12．應(yīng)選A．12．(2016·北京高考)將函數(shù)y＝sin2x－π圖象上的點(diǎn)Pπ，t向左平移s(s>0)個(gè)34單位長度獲得點(diǎn)′．若′位于函數(shù)y＝sin2x的圖象上，則()PPA．t＝1，s的最小值為π263πB．t＝2，s的最小值為66C．t＝12，s的最小值為π3D．t＝3，s的最小值為π23答案Aππππ1分析點(diǎn)P4，t在函數(shù)y＝sin2x－3的圖象上，∴t＝sin2×4－3＝2．函數(shù)y＝sin2x－ππy＝sin2x的圖象，故s的最小值3的圖象向左平移6個(gè)單位長度即可獲得函數(shù)為π．613．(2018·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx－π(ω>0)．若f(x)≤fπ對隨意的實(shí)數(shù)x64都建立，則ω的最小值為________．答案23ππππ分析∵f(x)≤f4對隨意的實(shí)數(shù)x都建立，∴f4＝1，∴4·ω－6＝2kπ，k∈Z，整理得ω＝8k2∈Z．又ω>0，∴當(dāng)k＝0時(shí)，ω獲得最小值2＋，．3k3πππ14．(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)－2<φ<2的圖象對于直線x＝3對稱，則φ的值是________．答案－π6ππ分析∵函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象對于直線x＝3對稱，∴x＝3時(shí)，函數(shù)獲得最大值或最小值，∴sin2π＋φ＝±1．∴2π＋φ＝π＋π(k∈Z)，∴φ＝π－π(k∈Z)，又33k2k6πππ2<φ<2，∴φ＝－6．三、模擬小題7115．(2018·福州期末)將函數(shù)y＝2sinx＋cosx的圖象向右平移2個(gè)周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )A．y＝sinx－2cosxB．y＝2sinx－cosxC．y＝－sinx＋2cosxD．y＝－2sinx－cosx答案D分析因?yàn)閥＝2sinx＋cosx＝5sin(x＋φ)，tanφ＝1，因此函數(shù)f(x)＝2sinx＋cosx21的周期為2π．進(jìn)而將其圖象向右平移2個(gè)周期后，有f(x－π)＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sinx－cosx，應(yīng)選D．π16．(2018·佛山模擬)已知x0＝3是函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則f(x)的一個(gè)單一遞減區(qū)間是()π2ππ5ππ2πA．6，3B．3，6C．2，πD．3，π答案B分析由題意得sin2×π＋φ＝1，解得φ＝2π－π，∈Z．不如取φ＝－π，此3k6k6πππ3ππ5π時(shí)f(x)＝sin2x－6，令2kπ＋2<2x－6<2kπ＋2，得kπ＋3<x<kπ＋6．取k＝0，π5π得函數(shù)f(x)的一個(gè)單一遞減區(qū)間為3，6．π17．(2018·長沙統(tǒng)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則f(0)＝( )83A．3B．2C．2D．1答案D2π2π5π2π分析T＝ω＝4×3－12＝π，因此ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f3＝2sin4π＋φ＝－2，因此sin4π＋φ＝－1，因此4π＋φ＝－π＋2kπ(k∈Z)，因此φ＝3332－11π＋2π(k∈Z)，又|φ|<π，因此φ＝π，因此f(x)＝2sin2＋π．因此f(0)＝2sinπ26666＝1．應(yīng)選D．18．(2018·太原三模)已知函數(shù)f(x)＝2cosπx＋φ的一個(gè)對稱中心是(2,0)，且3f(1)>f(3)，要獲得函數(shù)f(x)的圖象，可將函數(shù)y＝2cosπx的圖象()31A．向右平移2個(gè)單位長度B．向右平移π個(gè)單位長度61C．向左平移2個(gè)單位長度πD．向左平移6個(gè)單位長度答案A2πππ分析由題意3＋φ＝2＋kπ，k∈Z，因此φ＝－6＋kπ，k∈Z，因此可取φ＝－π．()＝2cosπx－π知足f(1)>f(3)．因此可將y＝2cosπx的圖象向右平移1個(gè)單位長度，6fx3632πxπ獲得f(x)＝2cos3－6的圖象．應(yīng)選A．19．(2018·合肥質(zhì)檢二)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為3π且fπ＝0，則以下說法正確的選項(xiàng)是()22A．ω＝29B．函數(shù)y＝f(x－π)為偶函數(shù)πC．函數(shù)f(x)在－π，－2上單一遞加D．函數(shù)y＝( )的圖象對于點(diǎn)3π，0對稱fx4答案CTπ3π2πππ分析依題意，有2＝ω＝2，則ω＝3．又f2＝2sin3＋φ＝0，得3＋φ＝kπ(kπ2π22π2∈Z)，即φ＝－3＋kπ(k∈Z)，且0<φ<π，故φ＝3．進(jìn)而f(x)＝2sin3x＋3，由3x2πππ7ππ7π＋3∈－2＋2kπ，2＋2kπ得x∈－4＋3kπ，－4＋3kπ(k∈Z)，知f(x)在－4＋3π，－π＋3kπ(∈Z)上單一遞加，而－π，－π7π＋3kπ，－π＋3π．(x－π)k4k2?－44kf23π23π2π2π＝2sin3x是奇函數(shù)．當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝2sin3×4＋3＝2cos3＝－1．應(yīng)選C．20．(2018·衡陽二模)已知ω>0，a>0，f(x)＝asinωx＋3acosωx，g(x)＝2cosaxπfx＋6，h(x)＝gx．這3個(gè)函數(shù)在同向來角坐標(biāo)系中的部分圖象以下圖，則函數(shù)g(x)＋h(x)的圖象的一條對稱軸方程能夠?yàn)? )π13πA．x＝6B．x＝6C．x＝－23π29π12D．x＝－12答案Cππ分析因?yàn)閒(x)＝asinωx＋3acosωx＝2asinωx＋3，g(x)＝2cosax＋6，又由函10數(shù)圖象可知，三個(gè)函數(shù)的最大值均為2，可得a＝1，因此f(x)＝2sinωx＋π3，g(x)＝2cosxπfxπ＋6．由h(x)＝gx，可知h(x)在x＝3處無定義，進(jìn)而圖象有空心點(diǎn)的為h(x)的圖象．又當(dāng)x＝－π時(shí)，g(x)＝2，進(jìn)而y軸左邊圖象在最上邊的為g(x)的圖象．g(x)的最小正周期6πfx2sin2x＋3為2π，則由圖象可知，f(x)的最小正周期為π，得ω＝2．h(x)＝gx＝π＝2sinx2cosx＋6＋π．那么函數(shù)g(x)＋()＝2cosx＋π＋2sinx＋π＝22sinx＋π＋π＝22sinx＋6hx66645π5πππ12．令x＋12＝2＋kπ(k∈Z)，可得對稱軸方程為x＝12＋kπ(k∈Z)．當(dāng)k＝－2時(shí)，可得x＝－23π．應(yīng)選C．12一、高考大題1．(2017·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3cos2x－π－2sinxcosx．3(1)求f(x)的最小正周期；(2)求證：當(dāng)xππ時(shí)，f1∈－，( )≥－．44233解(1)f(x)＝2cos2x＋2sin2x－sin2x1x＋3x＝sin2x＋π＝sin2cos2，2232π因此f(x)的最小正周期T＝2＝π．證明：因?yàn)椋小躼≤π，因此－π≤2x＋π≤5π，4463611ππ1因此sin2x＋3≥sin－6＝－2，ππ1因此當(dāng)x∈－4，4時(shí)，f(x)≥－2．πππ2．(2017·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx－6＋sinωx－2，此中0<ω<3．已知f6＝0．(1)求ω；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為本來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將獲得的圖象向左平移π個(gè)單位，獲得函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在－π，3π上的最小值．444ππ解(1)因?yàn)閒(x)＝sinωx－6＋sinωx－2，31因此f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx223313＝2sinωx－2cosωx＝32sinωx－2cosωx3sinωx－π．3πωππ由題設(shè)知f6＝0，因此6－3＝kπ，k∈Z．故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，因此ω＝2．(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，πππ因此g(x)＝3sinx＋4－3＝3sinx－12．π3πππ2π因?yàn)閤∈－4，4，因此x－12∈－3，3，πππ當(dāng)x－12＝－3，即x＝－4時(shí)，12g(x)獲得最小值－3．2π3．(2015·湖北高考)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<2在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，以下表：ωx＋φππ3π02π22π5πx63Asin(ωx＋05－50)請將上表數(shù)據(jù)增補(bǔ)完好，并直接寫出函數(shù)f(x)的分析式；將y＝f(x)圖象上全部點(diǎn)向左平行挪動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長度，獲得y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個(gè)對稱中心為5π，0，求θ的最小值．12π解(1)依據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－6．?dāng)?shù)據(jù)補(bǔ)全以下表：ωx＋φ0π3ππ2π22ππ7π5π13πx3126121213sin(ω＋φ)050－50Axπ且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin2x－6．π(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－6，π則g(x)＝5sin2x＋2θ－6．因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z．令2＋2θ－π＝kπ，∈Z，解得x＝kπ＋π－θ，∈Z．6212因?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)的圖象對于點(diǎn)5π12，0成中心對稱，因此令kπ＋π－θ＝5π，k∈Z，21212kππ，k∈Z．解得θ＝2－3π由θ>0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ獲得最小值6．二、模擬大題4．(2018·合肥質(zhì)檢三)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位長度，再把所得圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍，能夠獲得函數(shù)y＝cos2x的圖象．求f(x)的分析式；比較f(1)與f(π)的大?。?解(1)將函數(shù)y＝cos2x的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到本來的，獲得函數(shù)y＝cos4x2πππ的圖象，再將所得圖象向右平移12個(gè)單位長度，獲得函數(shù)y＝cos4x－12＝cos4x－3的圖象，14即f(x)＝cos4x－π3．ππ(2)f(π)＝cos4π－3＝cos3，而f(1)＝cos4－π．因?yàn)棣?lt;4－π<π，323因此f(1)<0<f(π)，即f(1)<f(π)．5．(2018·山東天成第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin8xcos4xsin4x＋π－6cos8xsin4x(3sin4x＋cos4x)．(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間－π，π上的最值．2412π解(1)f(x)＝2sin8xcos4xsin4x＋6－cos8xsin4x·3sin4x＋cos4x31＝2sin8xcos4xsin4x＋cos4x－cos8xsin4x·(3sin4x＋cos4x)22＝sin8xcos4x(3sin4x＋cos4x)－cos8xsin4x(3sin4x＋cos4x)＝(3sin4x＋cos4x)(sin8xcos4x－cos8xsin4x)＝(3sin4x＋cos4x)sin(8x－4x)＝(3sin4x＋cos4x)sin4x23sin4x＋sin4xcos4x1－cos8x1＝3×2＋2sin8x1332sin8x－2cos8x＋23sin8x－3＋2．15令8x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ8＋548π(k∈Z)．kπ5π因此函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝8＋48(k∈Z)．由(1)得f(x)＝sin8x－π＋3．32ππ因?yàn)閤∈－24，12，因此8x－π∈－2π，π．333π3故sin8x－3∈－1，2．因此－1＋3≤sin8x－π＋3≤3，2