湖南省重點(diǎn)中學(xué)2012屆高三月考試卷一理數(shù)

2012屆高三月考試卷（一）理科數(shù)學(xué)本試題卷包含選擇題、填空題和解答題三部分，共8頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．1．復(fù)數(shù)(2＋i)i的虛部是A．1B．－1C．2D．2i2．命題“xR,x22x30”的否認(rèn)是A．xR,x22x30B．xR,x22x30C．xR,x22x30D．xR,x22x303．11)dx的值為(sinx1A．2B．0C．2＋2cos1D．2－2cos14．下列圖是一個(gè)幾何體的三視圖，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是A．6πB．7πC．8πD．9πuuuruuur5．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O為△ABC的外心，則AOBCA．34B．16C．8D．0x20，則y的最大值是6．已知變量x，y知足xy4xy1x0A．4B．2C．1D．127．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上(其中m，n＞0)，則12的最小值等于mnA．16B．12C．9D．88．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)＝10，且關(guān)于隨意x∈R都有f(x＋20)≥f(x)＋20，f(x1)≤f(x)＋1，若g(x)＝f(x)＋1－x，則g(10)＝A．20B．10C．1D．0二、填空題：本大題共8個(gè)小題，考生作答7小題，每題5分，共35分．（一）必做題(9~13題)9．某程序的框圖以下圖，則履行該程序，輸出的結(jié)果a＝．10．在區(qū)間[0，1]上任取兩實(shí)數(shù)a，b，則使a＋b≥1的概率為．11．已知曲線y＝3x2＋2x在點(diǎn)(1，5)處的切線與直線2ax－y－6＝0平行，則a＝．12．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作斜率為4的直線交拋物線于uuuruuurA、B兩點(diǎn)，若AFFB(1)，3則λ＝．13．以下圖，將數(shù)以斜線作以下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)，(16，24，20，14，9)，，并按序稱其為第1群，第2群，第3群，第4群，，（1）第7群中的第2項(xiàng)是：；（2）第n群中n個(gè)數(shù)的和是：．（二）選做題(14~16題，考生只好選做兩題，三題全答的，只計(jì)算第14、15題的得分)14．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)(2，π)，動(dòng)點(diǎn)B在直線sin()242動(dòng)，則線段AB的最短長(zhǎng)度為．15．(幾何證明選講)如圖，在半徑為2的⊙中，∠＝90°，D為的中點(diǎn)，的延伸線交⊙OAOBOBADO于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為．16．(精選法選講)用0.618法選用試點(diǎn)的過程中，假如實(shí)驗(yàn)區(qū)間為[2，4]，前兩個(gè)試點(diǎn)挨次為x1，x2，若x1處的實(shí)驗(yàn)結(jié)果好，則第三試點(diǎn)的值為．三、解答題：本大題共6小題，共75分．17．(本小題滿分12分)已知a＝(sinx，－cosx)，b(cosx,3cosx)，函數(shù)f(x)ab3．21）求f(x)的最小正周期；2）當(dāng)0x時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．218．(本小題滿分12分)某工廠2011年第一季度生產(chǎn)的A，B，C，D四種型號(hào)的產(chǎn)品產(chǎn)量用條形圖表示如圖，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中選用50件樣品，參加四月份的一個(gè)展銷會(huì)．（1）問A，B，C，D型號(hào)的產(chǎn)品各抽取多少件？從好是不一樣型號(hào)的產(chǎn)品的概率；

50件樣品中隨機(jī)的抽取

2件，求這兩件產(chǎn)品?。?）從A，C型號(hào)的產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取

3件，用

ξ

表示抽取

A種型號(hào)的產(chǎn)品件數(shù)，求

ξ

的散布列和數(shù)學(xué)希望．19．(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．1）若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；2）當(dāng)AD的長(zhǎng)等于多少時(shí)？二面角B1－DC－C1的大小為60°．20．(本小題滿分13分)為了增強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提升社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，長(zhǎng)沙市計(jì)劃用若干時(shí)間改換一萬(wàn)輛燃油型公交車，每改換一輛新車，則裁減一輛舊車，替代車為電力型和混淆動(dòng)力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混淆動(dòng)力型公交車400輛；計(jì)劃此后電力型車每年的投入量比上一年增添50%，混淆動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛．（1）求經(jīng)過n年，該市被改換的公交車總數(shù)()；Sn（2）若該市計(jì)劃7年內(nèi)達(dá)成所有改換，求a的最小值．21．(本小題滿分13分)已知橢圓的中心在座標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的極點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．1）求橢圓的方程；2）在線段OF上能否存在點(diǎn)M(m，0)，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．22．(本小題滿分13分)已知f(x)＝lnx－ax2－bx．（1）若a＝－1，函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；2）當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，證明函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；3）f(x)的圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為C(x0，0)，求證：f′(x0)0．理數(shù)答案一、1-5CBABC6-8CDB二、填空9、答案：12710、答案：111、答案：412、答案：4213、答案：（1）96n14、答案：3215、答案：35（2）3·2－2n－32516、答案：3.528或2.472（填一個(gè)即可）三、解答17、分析：（1）∵f(x)sinxcosx3cos2x321sin2x3(cos2x1)3222sin(2x)．3

??????1分??????3分??????5分∴函數(shù)f()的最小正周期π．??????6分x（2）∵0x，∴2x28分3，??????233∴3sin(2x)1，??????11分23即f(x)的域[3,1]．??????12分218、分析：（1）從條形上可知，共生品有50＋100＋150＋200＝500(件)，品比501，50010因此，，，四種型號(hào)的品分取ABCD110010,120020,1505,115015，10101010即品中抽取A品10件，B品20件，C品5件，D品15件．?????3分從50件品中任取2件共有C5021225種方法，2件恰同一品的方法數(shù)C102C202C52C152350種，因此2件恰巧不一樣型號(hào)的品的概率13505??????6分1225．7（2）C532C101C5220C102C1545P(0)C15391，P(1)C15391，P(2)C15391，P(C10324，??????10分3)391C15因此ξ的散布列??????11分E20453242．??????12分912919119、分析：解法一：（1）∵∠ACB＝∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．1111111又由直三棱柱性知BC⊥CC，∴BC⊥平面ACCA．1111111∴11⊥．①????2分BCCD由D中點(diǎn)可知，DCDC12222111由①②可知CD⊥平面B1C1D，又CD平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．??6分2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1內(nèi)C1作C1E⊥平面CD，交CD或延于E，接EB1．由三垂定理可知∠B1EC1二面角B1－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．??8分由B1C1＝2，知23，＝，DCx21．3∵△DCC1的面1，∴1x21231，解得x2，即AD2．??12分23解法二：（1）如所示，以C原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直x，y，z成立空直角坐系，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，1)，uuuuruuuuruuur即C1B1(0,2,0),DC1(1,0,1),CD(1,0,1)．uuuruuuur由CDC1B1(1,0,1)(0,2,0)0000，得⊥11．CDCBuuuruuuur(1,0,1)(1,0,1)1010，得CD⊥DC．由CDDC11又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D，平面B1CD⊥平面B1C1D．6分（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0，)，uuuruuur＝，則DCD(1,0,a),CB1ADaauuurmCB10設(shè)平面B1CD的法向量為m＝(x，y，z)，則由uuurmCD0令z＝－1，得m＝(a，1，－1)．

(0,2,2)．xaz0．2y2z0又平面CDC的法向量為n＝(0，1，0)，則由cos60omn111mn22a2即a2，故AD2．12分20、分析：（1）設(shè)an，bn分別為第n年投入的電力型公交車，混淆動(dòng)力型公交車的數(shù)目，依題意，{an}是首項(xiàng)為128，公比為150%3的的等比數(shù)列，2{bn}是首項(xiàng)為400，公差為a的等差數(shù)列．128[1(3)n]3{an}的前n項(xiàng)和Sn2n1]，3256[()212{bn}的前n項(xiàng)和Tnn(n1)a．400n2因此經(jīng)過n年，該市改換的公交車總數(shù)為S(n)SnTn256[(3)n1]400nn(n1)a．7分22（2）若計(jì)劃

7年內(nèi)達(dá)成所有改換，因此

S(7)

≥10000，因此256[(3)71]400776a10000，即21a≥3082，因此a14616．2221又a∈N*，因此a的最小值為147．13分21、分析：（1）b＝c＝1，a2，所求橢圓的方程為x2y21．4分2（2）假定在線段OF上存在點(diǎn)M(m，0)(0＜m＜1)，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本€與x軸不垂直，因此設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．x22y222222由k(x，可得(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0．y1)∴x1x214k22,x1x22k222．8分2k12kuuuruuuruuury1)，此中x2－x1≠0．MP(x1m,y1),MP(x2m,y2),PQ(x2x1,y2以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形uuuruuuuruuuruuuruuuuruuur(MPMQ)PQ(MPMQ)PQ0(x1x22m,y1y2)(x2x1,y2y1)0(x1x22m)(x2x1)(y1y2)(y2y1)0(x1x22m)k(y1y2)0(4k22m)k2(4k22)012k212k22k2(24k2)m0mk22(k0)12k∴0m113分．222、分析：（1）依題意：f(x)＝lnx＋2－．xbx∵f(x)在(0，＋∞)上遞加，∴f(x)12xb0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，x1(1即b2x對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，只要b2x)min．2分xx∵x＞0，∴12x22，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取“＝”，x2∴b22，∴b的取值范圍為(,22]．4分（2）當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，f(x)＝lnx－x2＋x，其定義域是(0，＋∞)，∴f(x)12x12x2x1(x1)(2x1)xxx．∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0．∴函數(shù)f()在區(qū)間(0，1)上單一遞加，在區(qū)間(0，＋∞)上單一遞減．6分x∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)獲得最大值，其值為f(1)＝ln1－12＋1＝0；當(dāng)x≠1時(shí)，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0，∴函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．8分（3）由已知得f(x1)lnx1ax12bx10lnx1ax12bx1，f(x2)lnx2ax22bx20lnx1ax12bx1兩式相減，得lnx1a(x1x2)(x1x