2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題09 解析幾何專題（數(shù)學(xué)文化）（原卷版）

專題09解析幾何專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項中滿足題意的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強調(diào)所有參賽運動員應(yīng)以公正、坦誠的運動員精神在比賽場上相見．其中奧運五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022春·云南曲靖·高二?？奸_學(xué)考試）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙），則橢圓的蒙日圓的半徑為（

）

A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓C為“最美橢圓”，且以橢圓C上一點P和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（

）．A． B．C． D．5．（2022秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點、是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當(dāng)在何處時，最大?問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動點，當(dāng)最大時，點的縱坐標(biāo)為（

）A． B．2 C． D．46．（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中校考期中）德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運行軌道是橢圓，已知地球運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，若軌道近日點到太陽中心的距離和遠(yuǎn)日點到太陽中心的距離之比為，那么地球運行軌道所在橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大.”如圖，其結(jié)論是：點為過，兩點且和射線相切的圓與射線的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B． C．1或 D．1或8．（2022秋·北京·高二北大附中?？计谀┕?世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯利用垂直于母線的平面去截頂角分別為銳角、鈍角和直角的圓錐，發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線.之后，數(shù)學(xué)家亞理士塔歐、歐幾里得、阿波羅尼斯等都對圓錐曲線進(jìn)行了深入的研究.直到3世紀(jì)末，帕普斯才在其《數(shù)學(xué)匯編》中首次證明：與定點和定直線的距離成定比的點的軌跡是圓錐曲線，定比小于、大于和等于1分別對應(yīng)橢圓、雙曲線和拋物線.已知是平面內(nèi)兩個定點，且|AB|=4，則下列關(guān)于軌跡的說法中錯誤的是（

）A．到兩點距離相等的點的軌跡是直線B．到兩點距離之比等于2的點的軌跡是圓C．到兩點距離之和等于5的點的軌跡是橢圓D．到兩點距離之差等于3的點的軌跡是雙曲線9．（2021秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進(jìn)行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，點P為橢圓C的上頂點．直線與橢圓C交于A，B兩點，若的斜率之積為，則橢圓C的長軸長為（

）A．3 B．6 C． D．12．（2022秋·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離.結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題16．（2020秋·重慶巴南·高二重慶市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2020年11月24日，我國在中國文昌航天發(fā)射場，用長征五號遙五運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，它將首次帶月壤返回地球，我們離月球的“距離”又近一步了.已知點，直線，若某直線上存在點，使得點到點的距離比到直線的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的軌跡曲線是一條線段B．不是“最遠(yuǎn)距離直線”C．是“最遠(yuǎn)距離直線”D．點的軌跡與直線：是沒有交會的軌跡即兩個軌跡沒有交點17．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．無解 B．的解為C．的最小值為2 D．的最大值為218．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）(多選)如圖所示，“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，下列式子正確的是（

）A． B．C．< D．19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家稱為黃金比，記為ω.定義：若橢圓的短軸與長軸之比為黃金比ω，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.以橢圓中心為圓心，半焦距長為半徑的圓稱為焦點圓.若黃金橢圓”：與它的焦點圓在第一象限的交點為Q，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．黃金橢圓離心率C．設(shè)直線OQ的傾斜角為θ，則 D．交點Q坐標(biāo)為(b,ωb)20．（2022·全國·高二假期作業(yè)）1765年，數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線就是后人所說的“歐拉線”.已知的頂點，重心，則下列說法正確的是（

）A．點的坐標(biāo)為B．為等邊三角形C．歐拉線方程為D．外接圓的方程為21．（2023秋·江蘇南京·高二校考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點滿足，記點的軌跡為圓，又已知動圓：.則下列說法正確的是（

）A．圓的方程是B．當(dāng)變化時，動點的軌跡方程為C．當(dāng)時，過直線上一點引圓的兩條切線，切點為，，則的最大值為D．存在使得圓與圓內(nèi)切22．（2022秋·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學(xué)?？计谀╇p紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布﹒伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點，下列說法中正確的有（

）A．雙紐線關(guān)于軸對稱 B．C．雙紐線上滿足的點有兩個 D．的最大值為三、填空題23．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀┯图垈闶侵袊鴤鹘y(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史．為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示．該傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為，當(dāng)陽光與地面夾角為時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率_____________．24．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標(biāo)球之間，設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標(biāo)球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需經(jīng)過邊，兩次反彈后擊打目標(biāo)球N，點M到的距離分別為，點N到的距離分別為，將M，N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，則___________．25．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）大約在2000多年前，我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”，意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100多年．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點和一動點滿足，若過點的直線將動點的軌跡分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率__________．26．（2022秋·湖南·高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓，則該橢圓的面積為________．27．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）我們知道距離是衡量兩點之間的遠(yuǎn)近程度的一個概念.數(shù)學(xué)中根據(jù)不同定義有好多種距離.平面上，歐幾里得距離是與兩點間的直線距離，即.切比雪夫距離是與兩點中橫坐標(biāo)差的絕對值和縱坐標(biāo)差的絕對值中的最大值，即.已知是直線上的動點，當(dāng)與（為坐標(biāo)原點）兩點之間的歐幾里得距離最小時，其切比雪夫距離為___________.28．（2022·全國·高二假期作業(yè)）中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為______厘米．29．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為______．30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個焦點．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．31．（2022春·江西九江·高二九江一中校考階段練習(xí)）天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點為，，點O為坐標(biāo)原點，動點滿足（且為常數(shù)），化簡得曲線E：．下列命題中正確序號是__________．①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；②的最小值為2a；③當(dāng)時，的最大值為；④面積不大于．32．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例壓縮后可近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為______．33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M，N是銳角的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)是________.34．（2022秋·北京·高二北京八十中?？计谀┓▏鴶?shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于P，Q兩點，直線交于A，B兩點，則下列說法，正確的有______.①橢圓的離心率為②面積的最大值為③到的左焦點的距離的最小值為④若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點，是坐標(biāo)原點，則的最小值是__．四、解答題36．（2022秋·江西宜春·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘時期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點所形成的圖形是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點A(0，6)，B(0，3)、動點M滿足，記動點M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點N(0、4)的直線l與曲線C交于P，Q兩點，若P為線段NQ的中點，求直線l的方程.37．（2021春·上海普陀·高二?？计谥校?972年9月，蘇步青先生第三次來到江南造船廠，這一次他是為解決造船難題、開發(fā)更好的船體數(shù)學(xué)放樣方法而來，他為我國計算機輔助幾何設(shè)計的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).造船時，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由于這條圓弧線的半徑很大，無法在鋼板上用圓規(guī)畫出，因此需要先求出這條圓弧線的方程，再用描點法畫出圓弧線.如圖，已知圓弧的半徑r29米，圓弧所對的弦長l12米，以米為單位，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求圓弧的方程（答案中數(shù)據(jù)精確到0.001米，）.38．（2