高考數(shù)學25個必考點專題08解三角形檢測

專題08解三角形一、基礎過關題1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于()A．135°B．105°C．45°D．75°【答案】C【解析】由正弦定理知sinAEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(BC,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(BC,sinA＝sinCEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(AB,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(AB,sinC，即sinAhps21\o(\s\up9(2,hps21\o(\s\up9(2,sinA＝sin60EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,sin60°,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3°，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2因此sinA＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,2，又由題知，<，∴＝45°.BCABA2．(2016·全國乙卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA\*hps21\o(\s\up9(2，則b等于()＝3,\*hps21\o(\s\up9(2,3．2D．3【答案】D3．(2016·西安模擬)設△的內(nèi)角，，C所對的邊分別為，，，若bcos＋cosBABCABabcCcasinA，且sin2B＝sin2C，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，在三角形中sinA≠0，sinA＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C，知b＝c，綜上可知△ABC為等腰直角三角形．4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的狀況是()A．有一解B．有兩解C．無解D．有解但解的個數(shù)不確立【答案】C【解析】由正弦定理得sinBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,sinB＝sinC*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c,*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c,sinC，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC＝2＝>1.∴sin＝c,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC,cB∴角B不存在，即知足條件的三角形不存在．5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c－bc－a,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c－b,c－a＝sinCEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(sinA＋sinB＋sinB,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(sinA,sinC，則B等于()A.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πB.6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πC.4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πD.3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3π,4【答案】C26．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πC6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6，＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4，則△ABC的面積為()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1【答案】BEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π【分析】∵b＝2，B＝6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6，C＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4.由正弦定理sinBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,sinB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(csinC,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c,sinC，csinBc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC得＝,c0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC,sinB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1＝2，2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2A(EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π＝π－6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π)4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4＝libri"\*hps21\o(\s\up9(712,libri"\*hps21\o(\s\up9(7,12π，∴sinAsin(EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π)sin3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πcos4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,43hps21\o(\s\up9(πcos3,hps21\o(\s\up9(π,3＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πsin4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2.4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,41EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1則S△ABC＝2,1,2bc·sinA＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2＝＋1.×2×2×4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,47．(2016·全國甲卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4，cosC5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4,5＝Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(5，＝1，則＝.13,Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(5,13abEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21【答案】13,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,13【解析】在△ABC中，由cosA＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4cosC5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4,5，＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(51,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(5,1，sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3，sinC＝可得A＝5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,5EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(12，sinB＝sin(A＋C)＝sin13,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(12,13cos＋cos·sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(63＝65,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(63,65，ACACb＝sinAt:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(asinB由正弦定理得,t:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(asinB,sinA＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21.13,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,138．在△中，角，，C的對邊分別為，，c.若(a2c2b2＝ac，則角B的值＋－)tanABCABabB為．EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π【答案】3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3或i"\*hps21\o(\s\up9(2π3,i"\*hps21\o(\s\up9(2π,3【解析】由余弦定理，得4EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(a2＋c2－b22ac,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(a2＋c2－b2,2ac＝cosB，結合已知等式得cosB·tanB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2，∴sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3，∴B＝B＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3或EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π,3.9．在△中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知△的面積為3，－＝2，ABCABCabcABCbcEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1，則acosA＝－4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,4的值為．【答案】8如圖，某住所小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個進出口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小道CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若這人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米．【答案】50【分析】如圖，連結OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得222°＝17500，解得OC＝50.OC＝100＋150－2×100×150×cos60511．(2015·陜西)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cosA，sinB)平行．求A；若a＝，b＝2，求△ABC的面積．【答案】(1)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πA＝3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3；EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.(2)面積為2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2方法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π而由a＝，b＝2，A＝3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因為c＞0，因此c＝3，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1bcsinA故△ABC的面積為S＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π方法二由正弦定理，得3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝sinBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,sinB，進而sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21B＝7,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,7，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(77,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(7,7，故sinC＝sin(EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πA＋B)＝sin3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝sincosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＋cossinBBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21.14,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,146EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1absin因此△ABC的面積為S＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.C＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,212(2018·全國卷Ι·17)在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.（2）由題設及（1）知，.在中，由余弦定理得.因此.13.(2018·北京卷·15)在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．7（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如下圖，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．二、能力提升題在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且知足asinB＝bcosA．若a＝4，則△ABC周長的最大值為．【答案】12在Rt△ABC中，C＝90°，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且知足a＋b＝cx，則實數(shù)x的取值范圍是________．【答案】(1，]8EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a＋b【分析】x＝c,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a＋b,c＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(sinA＋sinBsinC,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(sinA＋sinB,sinC＝sinA＋cosAEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π＝sin4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4.又A∈EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,2，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π∴sin4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4＜sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4≤sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π，即x∈(1，]．2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,23．(2015·湖南)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btanA.(1)證明：sinB＝cosA；(2)若sinC－sinAcosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3B＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4，且B為鈍角，求A，B，C.(2)解由sinC－sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3AcosB＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4知，sin(A＋B)－sinAcosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3B＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4，∴cosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.AsinB＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4由(1)知，sinB＝cosA，∴cos2A＝9EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3，因為B是鈍角，4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4πEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3π故A∈,2，∴cosA＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2，A＝,6.sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3BB＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2，＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π,3，∴C＝π－(A＋B)＝,6.4.在△中，角，，C的對邊分別為a，，，且2－(b－)2＝(2－)bc，sinsinBABCABbcacA2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(C，BC邊上的中線AM的長＝cos2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(C,2為.求角A和角B的大?。磺蟆鰽BC的面積．【答案】(1)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πA＝6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6，B＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6；△ABC的面積為.【分析】(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cosEQ\*jc0\*"Font:Ca