2017沖刺密押數(shù)學三卷二答案

一、選擇題:1～8小題,4分,32分,下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求,請將0設f(x)連續(xù)，f(0)1，當x0時，xsinxftdt與aln1xb是等價無窮小，則 01a，b31

a b3 ，3，

a b2 ，6，

a b2，3，【答案】

【解析】因為lim ft

lim

ftdtlim1cosxfxsinx0aln1xb 1 xf0lim x01

x0所以b3，a62(1cos

xfx

1

x0在x0處 x0cost x(A)不連續(xù) (B)連續(xù)但不可導(C)可導但導函數(shù)不連續(xù) (D)導函數(shù)連續(xù)【答案】

xcost2dtlimcosx21，故函數(shù)連續(xù) x0x 2(1cosx)limfxf0

lim2(1cosx)x2lim2sinx2x x x01xxcost2dt

xcost2dt

limfxf0limx lim limcosx1 x x 故函數(shù)f002xsinx41cos xfx

0xcosx2xcost

x

xfxlim2xsinx41cos 4 4

2x(x o(x)) o(x o(x

xcosx2

cost2 limfx limcosx2xsinxcosx x2已知函數(shù)f(x,y)x2

fx(0,0)fx(0,0)

fy(0,0)0fy(0,0)在(0,0)x2函數(shù)可微且全微分是dz dxx2x2x2【答案】

f(x,0)f(0,

f(x,0)f(0,

【解y0,x0

fx(0,0)fy(0,0)不存在，故(A)(B)均錯誤，(C)正確.在(0,0)點處，函數(shù)不可微，

0 fx,ydy交換積分次序為 arcsin1dyarcsin fx,ydx 2arcsin 1dyarcsin fx,ydx 2arcsin arcsin1dyarcsin fx,ydx 2arcsin arcsin fx,ydx0dyarcsin fx,ydx【答案】 【解析】0

fx,ydy0 fx,ydy arcsin

fx,y其中第一項0 fx,ydy0dyarcsin fx,y注意第二項當x2sinx02

fx,ydy2dx

fx,y

且當x3xarcsiny3x2x2arcsiny2

2arcsin

fx,ydy

dxsinxfx,ydy1dyarcsin fx,y設矩A451,2,3,4,5經(jīng)過初等行變換化為如下行階 1 2 5 2 3 2 0 則 向量1不能由向量2,3,4線性表向量2不能由向量2,4,5向量3不能由向量1,2,4線性表向量4不能由向量1,2,3線性表【答案】【解析r1,2,32r1,2,3,43則向量4不能由向量1,2,3或者利用1,2,3x4無解向量4不能由向量1,2,3線性表示，即正確選項為D.其余利用設A為mn矩陣，對于齊次線性方程組(I)Ax0和(II)ATAx0,必有 的解，(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)【答案】0，即(I)的解是(II)的解.ATAx0ATA0兩邊左乘TTATAT00整理可得A)TA0A0，即(II)的解是(I)的解設A與B的概率均大于零小于1，且A與B相互獨立，則 A與B互不相容 (B)A與B一定相容(C)A與B互不相容 (D)A與B互不相容【答案【解析】由題設知0PA1,0PB1.AB相互獨立PABPAPB0AB相容.故B成立AB相互獨立，故ABAB也分別獨立，故PABPAPB0PABPAPB0，所ABAB也相容.僅(B)入選若0PA10PB1AB互不相容，則AB必不獨立若0PA10PB1AB存在包含關系，則AB必不獨立設隨量X和Y都服從正態(tài)分布，且他們不相關，則隨量 X與Y一定獨立 (B)X,Y服從二維正態(tài)分布(C)XY服從一維正態(tài)分布 (D)X與Y未必獨立【答案】【解析X和YX與YX與YA、B、C都不能確定，選D.二、填空題:9～14小題,每小4分,24分,請將答案指定位置2222

sin4x dx

1arctanex 2 332【答案

2 2

2222【解析

arctanexsin4x e1 2t22t

arctanetsin4t

dt2 2et 2t22t2

et1arctane

sin4t

2 1

22sin422 12sin4xdx x2dx 2 31 212 42 4332設zfxy,gxylnx，ff均已知，則xzyz 2【答案f2

【解析】zfyfgy1zfxfg 2 x因此xzyz yfgy1yfxfgxf x 2 x 微分方程ya2ysinxa0,a1的通解 1【答案yC1cosaxC2sinaxa21sin1【解析】對應齊次通解為yC1cosaxC2sina1y*AcosxBsinxA0,B1yC1cosaxC2sinaxa21sin1

a2nPnnkk0次多項Pn恒正，冪級數(shù)

xx0的收斂區(qū)間 k【答案】x01，x01k【解析】k

xx Pk

n1Pkxx 0

Pn 故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為x01，x0PkPk

1.本題可作為結(jié)論記住x1x2x3x4 x1 x設線性方程組(I) ax0與(II) 2xx0有非零公共解,則非零公共解x x 解析】方程組(I)(II)有非零公共解，即(I)(II)1111 11 1 11 1 11 1100a 011a1011 011a1 1100 0211 0 112a0 1 12010312 0 213a0 0隨機的向半圓0y 2axx2(a0)內(nèi)投擲一點點落在半圓內(nèi)的任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面成正比，則原點和該點連線與x軸正方向夾角小于的概率 4【答案11

4{(x,y)0y 2axx2 P(A)SA 1 2三、解答題:15～23小題共94分.指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演.(本題滿分10分 計算極限limsec2xsin2xln1x4 【解析】limsec2xsin2xln1x4 ……3exp

ln1x4 tan2xsin2x 5exp

tan2x1cos2x

7 1cosx1+cosxexp (10分f(x在0,1上連續(xù)，在0,1f(0)f

1f(1)0

……9……102(I)1,2(0,1)，且12f1f1f2f2(II(0,1ff【解析】(I)令G(xexf

f(0)f

1f(10，故G(0)

G(1) 因此 (0,1)、(1)使G()

……4而G(x)exfxfx，即ffff (II)令F(x)exfxf 而F(x)exfxfxexfxfxexfxf F(0ff(本題滿分10分

平面曲線

y軸右側(cè)且恒過

,0，其上任意Px,yx0到原點的距離等于該點處切線

y的切線方程是YyyXxyyx2yx2……2 令uy，方程化為uuxdu 1x2方程的通解為lnu lnxlnC即y1x2帶入y10，解得C1，曲線方程y 1，整理即y1x2x0……8x2x22 旋轉(zhuǎn)體體積V2 x2dx ……10 (10分求由方程2x22y2z28xzz80zzxy的極值4x2zz8z8xzz

z ……2z4y2zy8xyy zz

z0y0，x2z，帶入原方程，解得駐點2,016,0

……3 7 （1（2） z 2 2 242x2zx28x8x8xx2x2

z 2 2 2 zz

2z 8x 2 2 2

……8 2xy2zxy8y8xxyxy 在點20A 12z8x

4，C

412412z

4，BACB20，A0，所以函數(shù)在2,0處取得極小值z2,0 …..9 412z在點 ，C 412z

8

168 41412z 7

7ACB20，A0，所以函數(shù)在16,0處取得極大值z16,0 …..10 (本題滿分10分

fxyx2y21fxy0 xfxx,yyfyx,yf0,01，計算lim

dxdy,Dx,y xy02

xD【解析】D

xfxx,yyfyx,yx2 1rcosfxrcos,rsinrsinfyrcos,rsin r

……310ddfrcos,rsin102fcos,sinfcos,sin0

函數(shù)fx,y在單位圓邊界上取值為0，所以該積分 fcos,sin ……70由積分中值定理，?0,2使2fcos?,sin?2fcos,sin ……80 xfxx,yyfyx,y

dxdy

12fcos?,sinD02 x2 02 D

fcos?sin?f00 10(20)(本題滿分11分 已知43A,,Axx3,2,1Tk1,2,3T，B=1,2,31By2 【解析】因20110()，故By23有解(0,1,1, …2 Axx3,2,1Tk1,2,3T，所以322 即412231)(10122330(1rArA)2可由1,2,3線性表示，則1可由1,2

是r(B)rA 6

……9By23y0,1,10)Tk(42,11)Tk(1,2,3,0)T（kk為任意常數(shù)）……11 (本題滿分11分已知三階矩陣A 1,具有二重特征值,且矩陣A可相似對角化,求參數(shù)a的值,及可逆矩 6 PP1AP 【解析】EA 0

226a如果 2是矩陣A的二重特征值,則2代入26aa83 0 此時r2EAr 11,矩陣A可相似對角 ……3 如果2A的二重特征值,則26a0364a0a93A 0 此時r3EAr 12 得3EAx0基礎解系中只有一個向a 0 2EAx 1x 解得2EAx01,0,0T0,1, 0 0 4EAx 1x 1x 0

6……8解得4EAx0的基礎解系：30,1, ……9令P,, 4

11 4 (11分設隨量X在區(qū)間(0,1)內(nèi)服從均勻分布，在Xx(0x1)的條件下，隨量Y在區(qū)間(0,隨量X和Y的聯(lián)合概率密度YX和Y(Ш)P{XY

0x【解析】(I)XfX(x0，

……1Xx(0x1)YfY|X(y|x)

0yx，1 0