第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第一頁，共九十六頁，2022年，8月28日第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：二進(jìn)制、二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換邏輯代數(shù)的基本概念、公式與定理邏輯函數(shù)化簡幾種常用邏輯函數(shù)的表示及其相互轉(zhuǎn)換第二頁，共九十六頁，2022年，8月28日一、數(shù)字電路模擬信號(hào)：在時(shí)間上和數(shù)值上連續(xù)的信號(hào)。數(shù)字信號(hào)：在時(shí)間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號(hào)。uu模擬信號(hào)波形數(shù)字信號(hào)波形tt對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。1、數(shù)字信號(hào)和數(shù)字電路概述第三頁，共九十六頁，2022年，8月28日（1）工作信號(hào)是二進(jìn)制的數(shù)字信號(hào)，在時(shí)間上和數(shù)值上是離散的（不連續(xù)），反映在電路上就是低電平和高電平兩種狀態(tài)（即0和1兩個(gè)邏輯值）。（2）在數(shù)字電路中，研究的主要問題是電路的邏輯功能，即輸入信號(hào)的狀態(tài)和輸出信號(hào)的狀態(tài)之間的關(guān)系。（3）對(duì)組成數(shù)字電路的元器件的精度要求不高，只要在工作時(shí)能夠可靠地區(qū)分0和1兩種狀態(tài)即可。2、數(shù)字電路的特點(diǎn)第四頁，共九十六頁，2022年，8月28日3、數(shù)字電路的分類（2）按所用器件制作工藝的不同：數(shù)字電路可分為雙極型（TTL型）和單極型（MOS型）兩類。（3）按照電路的結(jié)構(gòu)和工作原理的不同：數(shù)字電路可分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路兩類。組合邏輯電路沒有記憶功能，其輸出信號(hào)只與當(dāng)時(shí)的輸入信號(hào)有關(guān)，而與電路以前的狀態(tài)無關(guān)。時(shí)序邏輯電路具有記憶功能，其輸出信號(hào)不僅和當(dāng)時(shí)的輸入信號(hào)有關(guān)，而且與電路以前的狀態(tài)有關(guān)。（1）按集成度分類：數(shù)字電路可分為小規(guī)模（SSI，每片數(shù)十器件）、中規(guī)模（MSI，每片數(shù)百器件）、大規(guī)模（LSI，每片數(shù)千器件）和超大規(guī)模（VLSI，每片器件數(shù)目大于1萬）數(shù)字集成電路。集成電路從應(yīng)用的角度又可分為通用型和專用型兩大類型。第五頁，共九十六頁，2022年，8月28日（1）數(shù)制：表示數(shù)的大小時(shí)，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成方法以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為數(shù)制。二、數(shù)制及其相互轉(zhuǎn)換（2）基數(shù)：數(shù)制的基數(shù)，就是在該數(shù)制中每一位可能用到的數(shù)碼個(gè)數(shù)。（3）位權(quán)（位的權(quán)數(shù)）：在某一數(shù)制的數(shù)中，每一位的大小都對(duì)應(yīng)著該位上的數(shù)碼乘上一個(gè)固定的數(shù)，這個(gè)固定的數(shù)就是這一位的權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)是一個(gè)冪。第六頁，共九十六頁，2022年，8月28日數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10。運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：1、十進(jìn)制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。＋任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2第七頁，共九十六頁，2022年，8月28日2、二進(jìn)制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則：0.0=0，0.1=0，1.0=0，1.1=1運(yùn)算規(guī)則各數(shù)位的權(quán)是２的冪二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，它的每一位都可以用電子元件來實(shí)現(xiàn)，且運(yùn)算規(guī)則簡單，相應(yīng)的運(yùn)算電路也容易實(shí)現(xiàn)。第八頁，共九十六頁，2022年，8月28日數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7＋1＝10。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(207.04)8＝2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)103、八進(jìn)制4、十六進(jìn)制數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16。運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(D8.A)16

＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各數(shù)位的權(quán)是8的冪各數(shù)位的權(quán)是16的冪第九頁，共九十六頁，2022年，8月28日小結(jié)①一般地，N進(jìn)制需要用到N個(gè)數(shù)碼，基數(shù)是N；運(yùn)算規(guī)律為逢N進(jìn)一。②如果一個(gè)N進(jìn)制數(shù)M包含ｎ位整數(shù)和ｍ位小數(shù)，即(an-1an-2…a1a0·a－1a－2…a－m)N則該數(shù)的權(quán)展開式為：(M)N

＝an-1×Nn-1

＋

an-2×Nn-2

＋…＋a1×N1＋

a0

×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m③由權(quán)展開式很容易將一個(gè)N進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。第十頁，共九十六頁，2022年，8月28日第十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日（1）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每3位分成一組，不夠3位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù)。將N進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開，即可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。（1）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換1101010.01000＝(152.2)8（2）八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。 =011111100.010110(374.26)85、幾種常用進(jìn)制的轉(zhuǎn)換第十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日（2）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換111010100.0110000＝(1D4.6)16=101011110100.01110110(AF4.76)16二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，按照每4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。（3）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)采用的方法—基數(shù)連除、連乘法原理：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分采用基數(shù)連除法，小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法。轉(zhuǎn)換后再合并。第十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日整數(shù)部分采用基數(shù)連除法，先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法，先得到的整數(shù)為高位，后得到的整數(shù)為低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N進(jìn)制數(shù)。第十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)來表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息稱為編碼。用以表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息的一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)稱為二進(jìn)制代碼。三、編碼數(shù)字系統(tǒng)只能識(shí)別0和1，怎樣才能表示更多的數(shù)碼、符號(hào)、字母呢？用編碼可以解決此問題。二-十進(jìn)制代碼：用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0來表示十進(jìn)制數(shù)中的0~9十個(gè)數(shù)碼。簡稱BCD碼。

2421碼的權(quán)值依次為2、4、2、1；余3碼由8421碼加0011得到；格雷碼是一種循環(huán)碼，其特點(diǎn)是任何相鄰的兩個(gè)碼字，僅有一位代碼不同，其它位相同。用四位自然二進(jìn)制碼中的前十個(gè)碼字來表示十進(jìn)制數(shù)碼，因各位的權(quán)值依次為8、4、2、1，故稱8421BCD碼。第十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日第十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日本節(jié)小結(jié)

數(shù)字信號(hào)的數(shù)值相對(duì)于時(shí)間的變化過程是跳變的、間斷性的。對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。模擬信號(hào)通過模數(shù)轉(zhuǎn)換后變成數(shù)字信號(hào)，即可用數(shù)字電路進(jìn)行傳輸、處理。

日常生活中使用十進(jìn)制，但在計(jì)算機(jī)中基本上使用二進(jìn)制，有時(shí)也使用八進(jìn)制或十六進(jìn)制。利用權(quán)展開式可將任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。利用1位八進(jìn)制數(shù)由3位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成，1位十六進(jìn)制數(shù)由4位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成，可以實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)以及二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換。二進(jìn)制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號(hào)及文字，使信息交換靈活方便。BCD碼是用4位二進(jìn)制代碼代表1位十進(jìn)制數(shù)的編碼，有多種BCD碼形式，最常用的是8421BCD碼。第十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日事物往往存在兩種對(duì)立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為0和1，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有０和１兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算，還有或非,與非、與或非、異或四種常用邏輯運(yùn)算。

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0和1稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運(yùn)算來表示，也就是用邏輯代數(shù)來描述。1.1邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理第十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.1.1基本和常用邏輯運(yùn)算一、三種基本邏輯運(yùn)算（1）與邏輯與邏輯定義為：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時(shí)，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YＹ＝ＡＢＣ…第十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：功能表實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號(hào)：Ｙ＝ＡＢ真值表邏輯符號(hào)第二十頁，共九十六頁，2022年，8月28日（2）或邏輯或邏輯定義為：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，…)中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…第二十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門。或門的邏輯符號(hào)：Y=A+B真值表功能表邏輯符號(hào)第二十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）非邏輯非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：Ｙ＝Ａ開關(guān)A控制燈泡Y第二十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號(hào)：Y=AA斷開，燈亮。A接通，燈滅。真值表功能表邏輯符號(hào)第二十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、常用的邏輯運(yùn)算（1）與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（2）或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：第二十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（4）與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：第二十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日三、邏輯函數(shù)及其相等概念（1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運(yùn)算符的叫做原變量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。（2）邏輯函數(shù)：如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為

注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。第二十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)它們的變量都是A、B、C、…，如果對(duì)應(yīng)于變量A、B、C、…的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個(gè)函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個(gè)函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。證明等式：第二十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.1.2邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則一、邏輯代數(shù)的公式和定理（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。第二十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：第三十頁，共九十六頁，2022年，8月28日(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)證明：第三十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A·1=1第三十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日互補(bǔ)率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1第三十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：二、邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則（1）代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。（2）反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：第三十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)＇，Y＇稱為函Y的對(duì)偶函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則。例如：對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：

注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。第三十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日小結(jié)

邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問題。與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)。第三十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.2.1邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1.2邏輯函數(shù)的化簡方法第三十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（最小項(xiàng)之和的形式）（1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。

3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：（2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。

3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：第三十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)：①任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項(xiàng)的和必為1。ABCABC②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。第三十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日（4）邏輯函數(shù)表示成最小項(xiàng)之和的方法任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。第四十頁，共九十六頁，2022年，8月28日如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。第四十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式（1）最簡與或表達(dá)式乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式。最簡與或表達(dá)式（2）最簡與非-與非表達(dá)式非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。①在最簡與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉下面的非號(hào)第四十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）最簡或與表達(dá)式括號(hào)最少、并且每個(gè)括號(hào)內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。①求出反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達(dá)式第四十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日（4）最簡或非-或非表達(dá)式非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面相加的變量也最少的或非-或非表達(dá)式。①求最簡或與表達(dá)式②兩次取反（５）最簡與或非表達(dá)式非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式。①求最簡或非-或非表達(dá)式③用摩根定律去掉下面的非號(hào)②用摩根定律去掉大非號(hào)下面的非號(hào)第四十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.2.2邏輯函數(shù)的公式化簡法一、并項(xiàng)法邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。

若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時(shí)，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律邏輯函數(shù)化簡的意義：邏輯表達(dá)式越簡單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。第四十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、吸收法

如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。運(yùn)用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。

如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這個(gè)因子是多余的。第四十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日三、配項(xiàng)法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。第四十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日四、消去冗余項(xiàng)法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項(xiàng)ＢＣ消去。第四十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日例：化簡函數(shù)解：第四十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日例：化簡函數(shù)解：①先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y＇，并對(duì)其進(jìn)行化簡。②求Y＇的對(duì)偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達(dá)式。第五十頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)化簡：第五十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.2.3邏輯函數(shù)的圖形化簡法一、卡諾圖的構(gòu)成邏輯函數(shù)的圖形化簡法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡邏輯函數(shù)。將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖?？ㄖZ圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)）。每個(gè)2變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰第五十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量邏輯函數(shù)化簡的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并第五十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。m1m3m4m6m7m11m14m15例：有錯(cuò)嗎？第五十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達(dá)式ＡＤ為公因子ＢＣ為公因子說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)，則對(duì)反函數(shù)中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。第五十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日三、卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。第五十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。第五十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日BDＢＤＢＤＢＤ第五十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。ＤＢ

小結(jié)：相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為2的n次方個(gè)才能合并為一項(xiàng)，并消去n個(gè)變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理。第五十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日四、圖形法化簡的基本步驟邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖

1

1第六十頁，共九十六頁，2022年，8月28日合并最小項(xiàng)①圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個(gè)。②同一個(gè)方格可同時(shí)畫在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)１的方格。最簡與或表達(dá)式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項(xiàng)

2

2

3

3將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加第六十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日兩點(diǎn)說明：①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡第六十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ第六十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.2.4含約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡隨意項(xiàng)：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為隨意項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或無關(guān)項(xiàng)。一、含約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)說明×

11110

0111×

11101

0110×

11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×

10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD第六十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時(shí)，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時(shí)為1，奇數(shù)時(shí)為0。

A，B，C，D取值為1010～1111的情況不會(huì)出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)屬于隨意項(xiàng)。用符號(hào)“φ”、“×”或“d”表示。隨意項(xiàng)之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式叫做隨意條件或約束條件，用一個(gè)值恒為0的條件等式表示。第六十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下形式：二、含約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡在邏輯函數(shù)的化簡中，充分利用隨意項(xiàng)可以得到更加簡單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡單。在化簡過程中，隨意項(xiàng)的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡有利，則取1；如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡不利，則取0。不利用隨意項(xiàng)的化簡結(jié)果為：利用隨意項(xiàng)的化簡結(jié)果為：第六十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日三、變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡在一組變量中，如果只要有一個(gè)變量取值為1，則其它變量的值就一定為0，具有這種制約關(guān)系的變量叫做互相排斥的變量。變量互相排斥的邏輯函數(shù)也是一種含有隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)。簡化真值表第六十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日小結(jié)

邏輯函數(shù)的化簡有公式法和圖形法等。公式法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則來對(duì)邏輯函數(shù)化簡，這種方法適用于各種復(fù)雜的邏輯函數(shù)，但需要熟練地運(yùn)用公式和定理，且具有一定的運(yùn)算技巧。圖形法就是利用函數(shù)的卡諾圖來對(duì)邏輯函數(shù)化簡，這種方法簡單直觀，容易掌握，但變量太多時(shí)卡諾圖太復(fù)雜，圖形法已不適用。在對(duì)邏輯函數(shù)化簡時(shí)，充分利用隨意項(xiàng)可以得到十分簡單的結(jié)果。第六十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.3.1邏輯函數(shù)的表示方法一、真值表真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。真值表列寫方法：每一個(gè)變量均有0、1兩種取值，i個(gè)變量共有2i種不同的取值，將這2i種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來，同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時(shí)，函數(shù)Y=1；否則Y=0。1.3邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換第六十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式：是由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)相加，便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。三、卡諾圖卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。第七十頁，共九十六頁，2022年，8月28日四、邏輯圖邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＢＣ五、波形圖波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣＹ００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００Ｙ第七十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日1.3.2邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換一、由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換真值表邏輯表達(dá)式或卡諾圖

1

1最簡與或表達(dá)式化簡

2或

2第七十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日

&畫邏輯圖

3&&≥1ABCA最簡與或表達(dá)式&CBBAACABACYACBBAACY&&&ABCABAC若用與非門實(shí)現(xiàn)，將最簡與或表達(dá)式變換乘最簡與非-與非表達(dá)式

3第七十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換邏輯圖邏輯表達(dá)式

1

1最簡與或表達(dá)式化簡

2

&A≥1CBBAACY≥1≥1

2從輸入到輸出逐級(jí)寫出第七十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日最簡與或表達(dá)式

3真值表

3第七十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日本節(jié)小結(jié)

①邏輯函數(shù)可用真值表、邏輯表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖和波形圖5種方式表示，它們各具特點(diǎn)，但本質(zhì)相通，可以互相轉(zhuǎn)換。②對(duì)于一個(gè)具體的邏輯函數(shù)，究竟采用哪種表示方式應(yīng)視實(shí)際需要而定。③在使用時(shí)應(yīng)充分利用每一種表示方式的優(yōu)點(diǎn)。由于由真值表到邏輯圖和由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換，直接涉及到數(shù)字電路的分析和設(shè)計(jì)問題，因此顯得更為重要。第七十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日LIBRARYIEEE;USEIEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;ENTITYand2ISPORT(a,b:INSTD_LOGIC;y:OUTSTD_LOGIC);ENDand2;ARCHITECTUREoneOFand2ISBEGINy<=aandb;ENDone;1.4EDA技術(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1.4.1VHDL語言基礎(chǔ)例：第七十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日LIBRARY是關(guān)鍵詞，表示打開IEEE庫。庫是用來存放可編譯設(shè)計(jì)單元的地方。設(shè)計(jì)單元是一些元件、程序包等，他們可以用作其他VHDL描述的資源，是設(shè)計(jì)者可以共享的已經(jīng)編譯好的設(shè)計(jì)結(jié)果的集合。使用IEEE庫中的STD_LOGIC_1164程序包中的所有內(nèi)容。庫的說明語句格式為：LIBRARY庫名使用庫中某個(gè)程序包的說明語句格式為：USE庫名.程序包.ALL。除了IEEE庫還有STD、ASIC、WORK、用戶自定義庫LIBRARYIEEE;第七十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日ENTITY、IS、PORT、END都是描述實(shí)體的關(guān)鍵詞實(shí)體用于實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)單元的端口說明，用ENTITY引導(dǎo)，格式為：ENTITY實(shí)體名IS最后用END實(shí)體名結(jié)束對(duì)實(shí)體的描述;端口說明是對(duì)實(shí)體的一組端口定義，即對(duì)設(shè)計(jì)單元的外部接口的描述，用PORT引導(dǎo)，并在語句的結(jié)尾加分號(hào)“；”。格式為：PORT（端口名{，端口名}：端口模式數(shù)據(jù)類型；端口名{，端口名}：端口模式數(shù)據(jù)類型；）端口模式：用來定義引腳上的數(shù)據(jù)傳送方向，常用的有IN、OUT、INOUT、BUFER數(shù)據(jù)類型：是端口傳送數(shù)據(jù)的表達(dá)格式或取值類型，常用的有：INTEGER、REAL、BIT、BIT_VECTOR、BOOLEAN、CHARCTER、STRING實(shí)體名端口名：一般不用數(shù)字或中文，不用EDA工具庫中已存在的元件名ENTITYand2ISPORT(a,b:INSTD_LOGIC;y:OUTSTD_LOGIC);ENDand2;第七十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日ARCHITECTURE、OF、IS、BEGIN、和END都是描述結(jié)構(gòu)體的關(guān)鍵詞結(jié)構(gòu)體用于描述設(shè)計(jì)單元的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和功能，建立輸入與輸出之間的關(guān)系。其語法結(jié)構(gòu)中‘結(jié)構(gòu)體說明語句’用來說明結(jié)構(gòu)體內(nèi)部‘功能描述語句’中要用到的信號(hào)、常數(shù)、數(shù)據(jù)類型、函數(shù)，如果沒有這些內(nèi)部的對(duì)象需要說明，則可以省略功能描述語句：對(duì)設(shè)計(jì)單元的功能描述。例題中y<=aandb實(shí)現(xiàn)的是與邏輯的功能。這里y、a、b屬于信號(hào)，是數(shù)據(jù)對(duì)象中的一種，還有還有兩種數(shù)據(jù)對(duì)象分別是常量和變量。<=是信號(hào)的賦值符號(hào)，變量和常量都用：=賦值，and是與邏輯的操作符，其他邏輯操作符還有or、nand、nor、xor、xnor、not;ARCHITECTUREoneOFand2ISBEGINy<=aandb;ENDone;結(jié)構(gòu)體的語法結(jié)構(gòu)為：ARCHITECTURE結(jié)構(gòu)體名OF實(shí)體名IS結(jié)構(gòu)體說明語句BEGIN功能描述語句END結(jié)構(gòu)體名第八十頁，共九十六頁，2022年，8月28日1、設(shè)計(jì)輸入輸入方式有圖形輸入、文本輸入、波形輸入和符號(hào)輸入等例：文本輸入（1）打開MAX+plusⅡ的主菜單:點(diǎn)擊圖示快捷圖案1.4.2MAX+plusⅡ的應(yīng)用一、MAX+plusⅡ的系統(tǒng)安裝二、MAX+plusⅡ的設(shè)計(jì)流程第八十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日（2）在主菜單中單擊“File”→”“New”….選擇“TextEditorfile”打開文件編輯窗口例：設(shè)計(jì)一個(gè)二輸入的與門LIBRARYIEEE;USEIEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;ENTITYand2ISPORT(a,b:INSTD_LOGIC;y:OUTSTD_LOGIC);ENDand2;ARCHITECTUREoneOFand2ISBEGINy<=aandb;ENDone;二輸入的與門的VHDL文本為:第八十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日在文本編輯框中輸入程序后如圖所示第八十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日（3）保存文件注意：保存文件時(shí)一定要選擇“vhd”的文件后綴，文件名與實(shí)體名相同；保存文件的文件夾不能用中文命令。編輯修改已存盤的程序時(shí)，open后除了選擇文件所在的磁盤和文件夾。還要選擇文件的編輯方式。即在“ShowinFileList”中選擇“TextEditorfiles”并選后綴名為.vhd第八十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日2.新建一個(gè)項(xiàng)目在主菜單中選擇“File”→“Project”→“Name”