第三章 應(yīng)力與應(yīng)變

第三章應(yīng)力與應(yīng)變第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.1力和應(yīng)力的概念1、體積力（體力）——作用在物體微元體積上的力（如重力、慣性力、電磁力）

ABOyzxA點(diǎn)的體積力，量綱N/m32、面積力（面力）——沿著物體表面的分布力（風(fēng)力、液體壓力、兩物體間的接觸力）第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日3、內(nèi)力——物體內(nèi)部兩部分之間因外力等因素產(chǎn)生相互作用力。B點(diǎn)的面積力，量綱N/m24、應(yīng)力當(dāng)有外荷載作用時(shí)，物體內(nèi)產(chǎn)生的內(nèi)力。n極限定義為外法線為n的截面上M點(diǎn)處的應(yīng)力。和截面方位及點(diǎn)的位置有關(guān)。(3.1）第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日5、全應(yīng)力矢量的分解，正應(yīng)力和剪應(yīng)力若把應(yīng)力矢量沿微分面的法線方向和切線方向分解，則沿法線方向的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，沿切線方向的應(yīng)力成為剪應(yīng)力。用數(shù)學(xué)式子可以表示為式中：n和s分別為微分面的法線和切線方向的單位矢量。全應(yīng)力和應(yīng)力分量之間有(3.2)(3.3)第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日研究具體問題時(shí)，總是在一個(gè)可以選定坐標(biāo)系里進(jìn)行。對(duì)給定的直角坐標(biāo)系，全應(yīng)力還可以沿坐標(biāo)系方向進(jìn)行分解。(3.4)第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日6應(yīng)力張量物體內(nèi)同一點(diǎn)各微分面上的應(yīng)力情況，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，需要研究各微分面上的應(yīng)力情況?，F(xiàn)過物體內(nèi)某一點(diǎn)M分別截取三個(gè)相互垂直的微分面，并使這三個(gè)微分面的外法線方向分別與三個(gè)坐標(biāo)軸的方向一致。MxyzonyxzOM第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日若把三個(gè)微分面上的應(yīng)力矢量沿三個(gè)坐標(biāo)軸分解，得應(yīng)力分量的正負(fù)規(guī)定：正面正向?yàn)檎?，?fù)面負(fù)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。(3.5)第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日一點(diǎn)處互相垂直的三個(gè)微分面（正六面體的三對(duì)面）上有9個(gè)應(yīng)力分量。這9個(gè)應(yīng)力分量的整體組成了一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量，而其中的每一個(gè)量，稱為應(yīng)力張量的分量。記應(yīng)力張量為，并表示為后面的討論將證明這9個(gè)量的各個(gè)分量在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，服從二階張量的坐標(biāo)表換規(guī)律，因此為二階張量。(3.6)第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日7、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的描繪應(yīng)力張量描繪了一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，即只要知道了一點(diǎn)的應(yīng)力張量，就可以完全確定通過該點(diǎn)的各微分面上的應(yīng)力。證明：假想過物體內(nèi)任意一點(diǎn)M作三個(gè)互相垂直的微分面，并在點(diǎn)M附近作一個(gè)與坐標(biāo)軸傾斜的任意微分面，這四個(gè)微分面相交組成的四面體微元如圖所示。nyxzABCM考察四面體平衡。第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日記斜截面ABC的單位法向量n的方向余弦為,設(shè)體積力在三個(gè)坐標(biāo)方向的分量為X、Y、Z,點(diǎn)M到斜截面的距離為，則由平衡條件有第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日即有采用張量下標(biāo)記法和愛因斯坦求和約定，有由微單元體MABC的力矩平衡條件（）等，得(3.7)(3.8)(3.9)第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日結(jié)論：1）應(yīng)力張量是一個(gè)對(duì)稱張量，9個(gè)應(yīng)力分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的；2）式（3.7)或（3.8)給出了物體內(nèi)任意一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量與過該點(diǎn)的任意斜截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。3）任意微分面（斜截面）上的全應(yīng)力及正應(yīng)力和剪應(yīng)力可通過下式來計(jì)算（3.10)其中第2式(3.11)第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日8應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換規(guī)律應(yīng)力張量是一個(gè)二階張量，因此，在數(shù)學(xué)上，應(yīng)力張量的各分量在坐標(biāo)變換時(shí)，要服從二階張量的坐標(biāo)變換規(guī)律。容易證明，如果坐標(biāo)系僅作平移變換，則同一點(diǎn)的各應(yīng)力分量是不會(huì)發(fā)生變化的；只有在坐標(biāo)系作旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，同一點(diǎn)的各應(yīng)力分量才會(huì)改變。下面證明給出坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力張量所服從的規(guī)律。設(shè)給定的坐標(biāo)系Oxyz下，某點(diǎn)M的應(yīng)力張量為第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日現(xiàn)讓該坐標(biāo)系原點(diǎn)不動(dòng)，坐標(biāo)軸任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度而得到新坐標(biāo)系Ox’y’z’,新舊坐標(biāo)關(guān)系如下表：xyzX’Y’Z’在新坐標(biāo)系Ox’y’z’里，該點(diǎn)的應(yīng)力張量表示為第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日根據(jù)前面的定義，應(yīng)力分量表示過M點(diǎn)且外法線方向?yàn)閤’的微分面的應(yīng)力矢量在三個(gè)新坐標(biāo)系的分量。設(shè)應(yīng)力矢量在舊坐標(biāo)系Oxyz里的三個(gè)分量為，則（3.10)的第二式有(3.12)第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日將(3.7)和(3.9)代人上式，則上式可以改寫為同理可以寫出其它應(yīng)力分量，經(jīng)整理后可簡寫為(3.13)上式就是應(yīng)力張量各分量在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)所服從的變換規(guī)律，它恰好符合二階張量定義，剪應(yīng)力互等表明它是對(duì)稱張量。第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.2主應(yīng)力與主應(yīng)力空間在受力物體內(nèi)一點(diǎn)任意方向的微分面上，一般都有正應(yīng)力分量和剪應(yīng)力分量存在。由應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換規(guī)律知，當(dāng)通過同一點(diǎn)的微分面發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其法線也發(fā)生改變，相應(yīng)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力數(shù)值也會(huì)變化。在微分面的不斷轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，將會(huì)出現(xiàn)這樣的微分面，在該面上只有正應(yīng)力而剪應(yīng)力為零。只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面，其法線方向稱為應(yīng)力主方向，簡稱主方向，其上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。根據(jù)主平面的定義，若設(shè)n為過物體內(nèi)任意一點(diǎn)M的主平面的單位法向量，它與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角余弦為則該主平面上的應(yīng)力矢量可表示為(3.14)3.2.1主應(yīng)力和主方向第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日或式中：表示主應(yīng)力將應(yīng)力分量表達(dá)式(3.7)代入上式，經(jīng)移項(xiàng)并整理后得(3.15)(3.16)或簡寫為(3.17)第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日方程組（3.17)可以用矩陣表達(dá)式給出(3.18)它表示數(shù)學(xué)上的矩陣特征值問題，主應(yīng)力為由應(yīng)力張量的9個(gè)分量所組成的矩陣（稱為應(yīng)力矩陣）的特征值，要使主方向存在，也即要使方程組（3.17)或（3.18)有非零解，則其系數(shù)行列式必須為零。(3.19a)第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日方程組(3.19)也可以寫成(3.19b)式（3.19)展開后，得（3.20）其中(3.21)第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日方程（3.21)稱為應(yīng)力狀態(tài)的特征方程。對(duì)受力物體內(nèi)任一點(diǎn)而言，其應(yīng)力張量顯然是實(shí)對(duì)稱張量，應(yīng)力矩陣也是實(shí)對(duì)稱矩陣。由線性代數(shù)理論可知，應(yīng)力矩陣的特征值即主應(yīng)力必定存在，而且皆為實(shí)數(shù)。這也就是是說，方程必定有三個(gè)實(shí)根，記這三個(gè)根為，則它們分別代表該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力。把分別代入方程組中，并利用(3.22)就可聯(lián)立求解出分別與主應(yīng)力對(duì)應(yīng)的主方向?？梢宰C明：①若特征方程無重根，則它們相應(yīng)的三個(gè)主方向必兩兩相互垂直；②若特征方程有兩個(gè)重根，如，則與方向垂直的任何方向都是主方向；③若特征方程有三個(gè)重根，則任何方向均為主方向。第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.2.2主應(yīng)力空間若把這三個(gè)相互垂直的主方向取為坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸方向,依次建立起來的幾何空間,稱為主應(yīng)力空間,該空間中的三個(gè)坐標(biāo)軸稱為應(yīng)力主軸.在主應(yīng)力空間里,該點(diǎn)的應(yīng)力張量可以表示為(3.23)第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日由于主應(yīng)力的大小和坐標(biāo)選擇無關(guān),分別稱系數(shù)為第一、第二和第三不變量?？梢岳斫鉃椋海〝?shù)學(xué)上）三個(gè)不變量反映了張量具有不變性的特性；（物理上），應(yīng)力張量的三個(gè)不變量反映了物體在特定的外部因素作用下，內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨坐標(biāo)的改變而改變。在主應(yīng)力空間，根據(jù)（3.7)和（3.10)，物體內(nèi)某一點(diǎn)任意微分面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力為(3.24)推論：1）通過同一點(diǎn)的所有微分面上的正應(yīng)力中，最大和最小的是主應(yīng)力；2）通過同一點(diǎn)的任意微分面上的總應(yīng)力，其絕對(duì)值介于最大和最小主應(yīng)力的絕對(duì)值之間。第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日在主應(yīng)力空間，可求出物體內(nèi)任一點(diǎn)的最大剪應(yīng)力（主剪應(yīng)力）及其作用面的方向。剪應(yīng)力的極值表

000000000000最大剪應(yīng)力所在的微分面與某一應(yīng)力主軸平行，并且平分另外兩個(gè)應(yīng)力主軸，若主應(yīng)力按代數(shù)值大小排隊(duì)，則有（3.25）第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.3應(yīng)力張量的分解3.3.1球形應(yīng)力張量在主應(yīng)力空間里，物體內(nèi)一點(diǎn)任意微分面上的應(yīng)力矢量分量為它們滿足如下的方程（3.26)在主應(yīng)力空間里，這是一個(gè)橢球面方程。若物體內(nèi)存在這樣一個(gè)點(diǎn)，其相應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力均相等，則在該點(diǎn)的主應(yīng)力空間里，任意微分面上的應(yīng)力矢量分量均滿足如下的球面方程（3.27)第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日這里，設(shè)該點(diǎn)的應(yīng)力張量因此稱為球形應(yīng)力張量或應(yīng)力球張量。記為如果物體內(nèi)一點(diǎn)處于球形應(yīng)力狀態(tài)下，則該點(diǎn)的各個(gè)方向上都僅受相同的拉應(yīng)力或壓應(yīng)力作用。在這種情況下，通過該點(diǎn)的微分單元體只會(huì)均勻膨脹或壓縮，因此只會(huì)產(chǎn)生微元體的體積變化而不會(huì)產(chǎn)生形狀改變。3.3.2偏斜應(yīng)力張量(3.28)第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.3.2偏斜應(yīng)力張量

在一般情況下，物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力張量可以分解為兩個(gè)部分這里，稱為平均應(yīng)力或靜水壓力。上式的第一部分即為應(yīng)力球張量；第二部分的各分量反映了一個(gè)實(shí)際的應(yīng)力狀態(tài)偏離均勻應(yīng)力狀態(tài)的程度，稱偏斜應(yīng)力張量或應(yīng)力偏量，記為(3.29)(3.30)第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)力張量分解式可以簡寫為(3.31)式中：表示單位張量，即與應(yīng)力張量一樣，應(yīng)力偏量也是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，它可以描繪一點(diǎn)處特殊的應(yīng)力狀態(tài)，且和材料的塑性密切相關(guān)。(3.32)第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日1、應(yīng)力偏量的三個(gè)主應(yīng)力之和為零，即應(yīng)力偏量的性質(zhì)2、應(yīng)力偏量可以分解為五個(gè)純剪切應(yīng)力狀態(tài)的和，因此它只和微元體的剪切變形有關(guān)。(3.33)第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日3。三個(gè)不變量，有如下的表達(dá)式(3.34)在一般的應(yīng)力空間，可以表示為(3.35)第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日在主應(yīng)力空間，應(yīng)力偏張量的三個(gè)不變量可表示為式中：為應(yīng)力偏量的三個(gè)主值。容易證明，其相應(yīng)的主方向與應(yīng)力張量的主方向一致。在主應(yīng)力空間，第二不變量可以表示為也可以簡寫為（3.36)(3.37)(3.38)第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.3.3應(yīng)力張量分解的物理意義球形應(yīng)力張量代表一個(gè)各向均勻的應(yīng)力狀態(tài)。Bridgeman通過實(shí)驗(yàn)證明，金屬材料單元體處于這種應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，單元體一般都僅表現(xiàn)為彈性的體積變化，而無形狀的改變；換句話說，球形應(yīng)力張量代表的應(yīng)力狀態(tài)不會(huì)引起塑性變形或者說與塑性變形無關(guān)，因而在應(yīng)力張量中，可排除這部分對(duì)塑性變形的影響，認(rèn)為塑性變形是偏斜應(yīng)力張量代表的應(yīng)力狀態(tài)引起的。注意：以上結(jié)論只是對(duì)金屬材料而言的，對(duì)混凝土、巖土等非金屬材料則不成立。第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.4八面體應(yīng)力與應(yīng)力強(qiáng)度考察主應(yīng)力空間內(nèi)任意一點(diǎn)M的微分面，它的外法線方向與三個(gè)應(yīng)力主軸呈等傾斜（這種平面稱為等傾面）。有這樣的微分面共有8個(gè)，它們組成一個(gè)包含M點(diǎn)在內(nèi)的無限小的正八面體，這些微分面上的應(yīng)力稱為八面體應(yīng)力。第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日由任意微分面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力的計(jì)算公式（3.24)有（3.39）式（3.39)可以改寫成（3.40)第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)力強(qiáng)度與有效應(yīng)力八面體剪應(yīng)力對(duì)于塑性理論具有重要意義,為了使用方便,將它乘以,并稱之為應(yīng)力強(qiáng)度,用符號(hào)來表示,即應(yīng)力強(qiáng)度的物理意義:對(duì)單向應(yīng)力狀態(tài),有代入以上表達(dá)式即得,由此可見,在某種意義上來說,應(yīng)力強(qiáng)度是將一個(gè)復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)化作效應(yīng)相同的單向應(yīng)力狀態(tài).所以,又稱為有效應(yīng)力.（３．４１）第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日3．5平衡微分方程與靜力邊界條件如果物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)，則將其分割成任意形狀后，每個(gè)單元體仍應(yīng)處于平衡狀態(tài)，反之也然．假想穿過物體作三組與坐標(biāo)軸垂直的剖面，內(nèi)部分割無數(shù)個(gè)小的平行六面體，在靠近表面處，被分割成無數(shù)個(gè)小四面體．可通過考慮微六面體平衡得到平衡微分方程，考察四面體平衡得到靜力邊界條件（邊界平衡）３．5．１平衡微分方程Oxzy設(shè)微平行六面體三棱邊的長分別為dx,dy,dz,且三條棱邊與坐標(biāo)軸重合（也可不重合）．物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日若假設(shè)在x=0的微分面上的應(yīng)力分量為，則由連續(xù)函數(shù)的泰勒展開公式，可把x=dx的微分面上的應(yīng)力表示為(忽略二階以上微量）六面體無限小，可認(rèn)為各微分面上的應(yīng)力均勻分布，設(shè)體積力為（X,Y,Z),則通過平衡條件，得第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日可簡化為同理，由平衡條件，得其它兩個(gè)方程，寫在一起得（3.42)第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日（3.42)方程（３．４２）建立了物體處于平衡狀態(tài)時(shí)內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力和體力之間的關(guān)系，稱為平衡微分方程，也稱為Navier方程．若考慮物體運(yùn)動(dòng)情況，右邊不為零，應(yīng)等于括號(hào)里面的項(xiàng)，相應(yīng)地方程稱為運(yùn)動(dòng)微分方程．它可以簡寫為利用力矩平衡條件可得到剪應(yīng)力互等定理（３.４３）第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.5.2靜力邊界條件考察物體表面處任意一個(gè)微四面體的平衡條件，當(dāng)微分四面體趨于無限小時(shí)，它表示物體表面任一點(diǎn)的平衡條件．xyzn(3.44)(3.45)第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.6應(yīng)變的概念在外荷載的作用下,物體會(huì)發(fā)生形狀和體積的變化，該變化稱為變形。與應(yīng)力一樣，需要一個(gè)應(yīng)變張量描述某點(diǎn)的變形。定義應(yīng)變張量為，它也是一個(gè)對(duì)稱張量，由9個(gè)分量組成，具體形式為在直角坐標(biāo)系中，設(shè)物體內(nèi)某點(diǎn)沿x軸，y軸和z軸的位移分別為u、v、w，則上述各應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系為(3.36)(3.37)第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日從上式可知，9個(gè)應(yīng)變分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的。注：上式所定義的剪應(yīng)變與材料力學(xué)中定義的應(yīng)變不一樣，材料力學(xué)中定義的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變，它們之間的關(guān)系是兩倍的關(guān)系，如3.6.1dxdyOAB如圖取OA=dx,OB=dy,變形后點(diǎn)O移至O’,A至A’,B至B’,在小變形情況下,oA的伸長長度為第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日定義

所以表示沿x軸單位長度的伸長量或縮短量.同樣可知分別是沿y向z向單位長度的伸長量或縮短量,即是線應(yīng)變3.6.2剪應(yīng)變的物理意義在xy平面內(nèi)沿x軸、y軸各取一微小段OA、OB,第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日變形后，點(diǎn)O移至點(diǎn)O’,A點(diǎn)移至A’，B點(diǎn)移至B’。設(shè)O點(diǎn)沿x、y方向的位移分別為u,v,則A點(diǎn)水平和豎向位移分別為B點(diǎn)的水平位移和豎向位移分別為設(shè)分別為O’A’軸與x軸，O’B’與y軸的夾角。考慮到在荷載作用下只發(fā)生微小變形，所以它們分別為第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日所以為變形后直線之間的夾角，變形前為設(shè)為x軸與y軸夾角的變化，則可見剪應(yīng)變的物理意義為原互相垂直的線段直角改變量的一半。第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日線應(yīng)變與剪應(yīng)變可用下標(biāo)記法表示為可以驗(yàn)證，為對(duì)稱的二階張量，具有與應(yīng)力張量相似的性質(zhì)3.7應(yīng)變張量的性質(zhì)3.7.1應(yīng)變張量的主軸，主應(yīng)變及應(yīng)變不變量物體內(nèi)每一點(diǎn)都存在著應(yīng)變。這種狀態(tài)用應(yīng)變張量表示。應(yīng)變張量是對(duì)稱的二階張量，所以也一定存在三個(gè)主軸，對(duì)應(yīng)于三個(gè)主軸有主值。將三個(gè)主值分別定義為主應(yīng)變。在以主軸為法線的平面上只有線應(yīng)變，沒有剪應(yīng)變，且線應(yīng)變分別是。第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日現(xiàn)以三個(gè)主軸為坐標(biāo)軸建立主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，應(yīng)變張量應(yīng)變張量的三個(gè)不變量為第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日在主坐標(biāo)中，三個(gè)不變量可以證明，3.7.2應(yīng)變張量的分解與應(yīng)力張量類似，應(yīng)變張量可分解為應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量。各分量的關(guān)系為。第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中應(yīng)變偏張量為對(duì)稱的二階張量，存在三個(gè)主軸及相應(yīng)的三個(gè)主值可以證明應(yīng)變偏量的主軸與應(yīng)變張量的主軸一致，且它的主值與應(yīng)變張量的主應(yīng)變間存在以下關(guān)系第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日應(yīng)變偏張量也存在三個(gè)不變量，在此設(shè)為第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.7.3八面體剪應(yīng)變，應(yīng)變強(qiáng)度采用求八面體上的正應(yīng)力及剪應(yīng)力類似的過程，可求得八面體的線應(yīng)變稱為等效應(yīng)變或應(yīng)變強(qiáng)度，物理意義與應(yīng)力強(qiáng)度一樣，代表物體內(nèi)某處的變形程度。第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日§3-8

Plane

strainanalysis

平面應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變分析

Strainsatarbitrarydirection任意方位的應(yīng)變

Mohr'scircleforplanestrain應(yīng)變圓

Maximum&principalstrain最大應(yīng)變與主應(yīng)變

Examples

例題第五十二頁，共六十三頁，2022年，8