空間幾何體的表面積及體積

./空間幾何體的表面積和體積能夠熟練運(yùn)用柱、錐、臺、球的表面積和體積公式計(jì)算一些組合體的表面積和體積；用聯(lián)系、類比的方法解決一些有關(guān)空間幾體的實(shí)際問題．一、展開圖定義一些簡單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開而成平面圖形,這個平面圖形叫做該多面體的平面展開圖．二、特殊幾何體的定義1.直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱錐：底面是_________,并且頂點(diǎn)在底面的_______是底面的中心的棱錐叫正棱錐．正棱錐的性質(zhì)：〔1正棱錐的側(cè)棱相等；〔2側(cè)面是全等的等腰三角形；〔3側(cè)棱、高、底面構(gòu)成直角三角形．4.正棱臺：正棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面之間的部分角正棱臺．正棱臺的性質(zhì)：〔1正棱棱臺的側(cè)棱長相等〔2側(cè)面是全等的等腰三角形；〔3高,側(cè)棱,上、下底面的邊心距構(gòu)成直角梯形．三、側(cè)面積與表面積公式1.正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積與表面積公式<1>設(shè)直棱柱高為h,底面多邊形的周長為c,則直棱柱側(cè)面積計(jì)算公式：S直棱柱側(cè)＝ch,即直棱柱的側(cè)面積等于它的______和___的乘積．<2>設(shè)正n棱錐的底面邊長為a,底面周長為c,斜高為h′,則正n棱錐的側(cè)面積的計(jì)算公式：S正棱錐側(cè)＝12nah'=12ch'.即正棱錐的側(cè)面積等于它的<3>設(shè)正n棱臺下底面邊長為a、周長為c,上底面邊長為a′、周長為c′,斜高為h′,則正n棱臺的側(cè)面積公式：S正棱臺側(cè)＝12n(<4>棱柱、棱錐、棱臺的表面積<或全面積>等于底面積與側(cè)面積的和,即S表＝_______＋_____.2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積與表面積公式<1>S圓柱側(cè)＝2πrl<r為底面半徑,l為母線長<2>S圓錐側(cè)＝πrl<r為底面圓半徑,l為母線長><3>S圓臺側(cè)＝π(R+r)l<R、r分別為上、下底面半徑,l<4>圓柱、圓錐、圓臺的表面積等于它的側(cè)面積與底面積的和,即S表＝S底＋S側(cè).<5>若圓錐底面的半徑為,側(cè)面母線長為,側(cè)面展開圖扇形的圓心角為則,3.由球的半徑R計(jì)算球表面積的公式：S球＝4πR2.即球面面積等于它的大圓面積的四、體積1.長方體的體積：長方體的長、寬和高分別為a、b、c,長方體的體積V長方體＝_____.2．棱柱和圓柱的體積：<1>柱體<棱柱、圓柱>的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積,即V柱體＝____.<2>底面半徑是r,高是h的圓柱體的體積計(jì)算公式是V圓柱＝______.3．棱錐和圓錐的體積：<1>如果一個錐體<棱錐、圓錐>的底面積為S,高是h,那么它的體積V錐體＝_____h.<2>如果圓錐的底面半徑是r,高是h,則它的體積是V圓錐＝_______.4．棱臺和圓臺的體積：<1>如果臺體的上、下底面面積分別為S′、S,高是h,則它的體積是V臺體＝_______________.<2>如果圓臺的上、下底面半徑分別是r′、r,高是h,則它的體積是V圓臺＝________________.5．球的體積：如果球的半徑為R,那么球的體積V球＝__________.6．祖暅原理：冪勢既同,則積不容異．這就是說,夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等．應(yīng)用祖暅原理可說明：等______、等______的兩個柱體或錐體的體積相等．7.球面距離：在球面上,兩點(diǎn)之間的最短連線的長度,就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的______在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度．我們把這個弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離．類型一表面積例1：<2014·XXXX三中高一月考>已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為3和6,其側(cè)面積等于兩底面面積之和,則該正四棱臺的高是<>A．2B.eq\f<5,2>C．3D.eq\f<7,2>練習(xí)1：某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的表面積是<>A．32B．16＋16eq\r<2>C．48D．16＋32eq\r<2>練習(xí)2：若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為eq\r<3>,則這個圓錐的全面積是<>A．3πB．3eq\r<3>πC．6πD．9π練習(xí)3：3．<2014·XXXX一中高一期末測試>球的表面積與它的內(nèi)接正方體的表面積之比是<>A.eq\f<π,3>B.eq\f<π,4>C.eq\f<π,2>D．π例2：<2014·XXXX園丁中學(xué)高一期末測試>用長為4,寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱,此圓柱的軸截面面積為<>A．8B.eq\f<8,π>C.eq\f<4,π>D.eq\f<2,π>練習(xí)1：<2014·XX理,3>某幾何體的三視圖<單位：cm>如圖所示,則此幾何體的表面積是<>A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2練習(xí)2：<2014·XXXX高一期末測試>已知圓錐的表面積為12πcm2,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則圓錐的底面半徑為<>A.eq\r<3>cmB．2cmC．2eq\r<3>cmD．4cm練習(xí)3：<2014·XX理,3>某幾何體的三視圖<單位：cm>如圖所示,則此幾何體的表面積是<>A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2練習(xí)4：<2014·XXXX市南鄭中學(xué)高一期末測試>長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別是3、4、5,且它的8個頂點(diǎn)都在同一球面上,則這個球的表面積是________．類型二體積例3：<2014·XXXX三中高一月考>正三棱錐底面三角形的邊長為eq\r<3>,側(cè)棱長為2,則其體積為<>A.eq\f<1,4>B.eq\f<1,2>C.eq\f<3,4>D.eq\f<9,4>練習(xí)1：<2014·XXXX園丁中學(xué)高一期末測試>已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為6,側(cè)棱長為5,求四棱錐P－ABCD的體積和側(cè)面積．練習(xí)2：<2014·XX文,4>某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是<>A．3B．2C.eq\r<3>D．1例4：將長為a,寬為b<a>b>的長方形以a為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得柱體的體積為V1,以b為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得柱體的體積為V2,則有<>A．V1>V2B．V1<V2C．V1＝V2 D．V1與V2的大小關(guān)系不確定練習(xí)1：如圖,某幾何體的主視圖是平行四邊形,左視圖和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為<>A．6eq\r<3>B．9eq\r<3>C．12eq\r<3>D．18eq\r<3>練習(xí)2：一個圓柱的高縮小為原來的eq\f<1,n>,底面半徑擴(kuò)大為原來的n倍,則所得的圓柱的體積為原來的________．例5：在球面上有四個點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA＝PB＝PC＝a,求這個球的體積．練習(xí)1：體積為8的一個正方體,其全面積與球O的表面積相等,則球O的體積等于________．練習(xí)2：平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為eq\r<2>,則此球的體積為<>A.eq\r<6>πB．4eq\r<3>πC．4eq\r<6>πD．6eq\r<3>π1．將一個棱長為a的正方體,切成27個全等的小正方體,則表面積增加了<>A．6a2B．12C．18a2D．24a2．正方體的八個頂點(diǎn)中有四個恰為正四面體的頂點(diǎn),則正方體的全面積與正四面體的全面積之比為<>A.eq\r<2>B.eq\r<3>C.eq\f<\r<6>,2>D.eq\f<2\r<3>,3>3．正四棱柱的體對角線長為6,側(cè)面對角線長為3eq\r<3>,則它的側(cè)面積是________．4．若一棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的體積為示>是邊長為3、3、2的三角形,則該圓錐的側(cè)面積為________．5．<2014·XX高一檢測>已知某幾何體的俯視圖是如圖所示矩形．主視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,左視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．<1>判斷該幾何體形狀；<2>求該幾何體的側(cè)面積S.6.若長方體的三個面的面積分別為,則長方體的體積為；其對角線長為．答案：,7.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓,則這個圓錐的體積是．8.正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為,體積為,則棱臺的高為．基礎(chǔ)鞏固1.如果圓錐底面半徑為,軸截面為等腰直角三角形,那么圓錐的全面積為〔A．B．C．D．2．一個圓臺的母線長等于上．下底面半徑和的一半,且側(cè)面積是,則母線長為〔A．B．C．D．3．軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積與全面積的比是〔A．B．C．D．4.<2014·XX威海市高一期末測試>某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的體積為<>A．2B．3C．4D．65.已知圓錐的母線長為8,底面周長為6π,則它的體積是<>A．9eq\r<55>πB．9eq\r<55>C．3eq\r<55>πD．3eq\r<55>6.<2014·XX文,7>某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為<>A．12B．18C．24D．307．將半徑為R的半圓卷成一個圓錐,這個圓錐的體積為____________．8．已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E．F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn),求四棱錐A1－EBFD1的體積能力提升9.正過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離是球半徑R的一半,且AB＝6,BC＝8,AC＝10,則球的表面積是<>A．100πB．300πC.eq\f<100π,3>D.eq\f<400,3>π10.一圓錐的底面半徑為4,用平行于底面的截面截去底面半徑為1的小圓錐后得到的圓臺是原來圓錐的體積的<>A.eq\f<63,64>B.eq\f<1,16>C.eq\f<1,4>D.eq\f<1,64>11.〔2014·XX揭陽一中高一階段測試>如圖,一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視