高職高等數(shù)學(xué)教案第四章不定積分

第四章 不定積分§4-1 不定積分的概念與性質(zhì)一、不定積分的概念原函數(shù)定義定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，即對任一x I，都有F(x)

f(xdF(x)

F(xf(xI上的一個原函數(shù)。f(x)dx例：(sinx) cosx，則sinx是cosf(x)dx(sinx原函數(shù)性質(zhì)

(sinx 1)2

(sinx 3) cosx，則都是cosx的原函數(shù)。定理1：如果f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在該區(qū)間原函數(shù)一定存在。定理如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)則F(x) C是f(x)的全體原函數(shù)且任一原函數(shù)與F(x只差一個常數(shù)。1 1例：驗證11cos2x31)3sin2x

cos2x ,sin2x 2, cos2x 2都是sin2x的原函數(shù)3 3(sin2

x 2)

sin2x

，則三個函數(shù)都是sin2x的原函數(shù)( cos2x不定積分定義

sin2x定義2：f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分記作 f(x)dx其中 稱為積分號(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量。說明：如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則F(x) C就是f(x)的不定積分，即ff(x)dxF(x) C3x23x2dx解：因為(x3)3x3x2dxx3 C

3x2x3是3x2的一個原函數(shù)1dxx1dxx0(lnx)1x0時，ln( 0時，ln( x)1xdx ln|x|1 1x xC(x x所以不定積分幾何意義f(xy

F(F(xyyy F(x) COxx23x 1 C例：一條積分曲線過點(1,3)，且平移后與y解：設(shè)x23x 1 C

x2 3x 1重合，求該曲線方程由于曲線過(1,3)則3f(x)

1 3 1 C，C 2x2 3x 1[[f(x) g(x)]dxf(x)dxg(x)dxk f(x)dx(k0)kf(x)dx0dxC(k0)(f(x)dx)f(x),f(x)dxf(x) C1：2：3：三、基本積分表xαdx1αxα1 Cxαdx1αxα1 C11xdx 1xdx ln|x|CexdxexC(5)(7)

(6)sinxdxcosx Cadxxaxlnsinxdxcosx CadxxaxlnaC1cos2dxsec2xdxtanx Csecxtanxdxsecx C1(9)(11)

dxsin2x

csc2xdx

cotx C (10)11x11x2dx arctanx Ccscxcotdxcscx C1111dx arcsinx Cx21dxx1dxx51x1x5dxx5dx151x51 C14x4Cx xdx例2：求x xdxx xdx3x xdx3x2dx3x2321Cx2525C1(sinx (sinx x3)dx(sinx(sinxx3)dxsinxdxx3dxcosxx44C(x (x x(x (x dxxx22xx(x2 1)dxxxdx xdx 2 dx1dxxx222xln|x|C1x4x2dx注：根式或多項式函數(shù)需化成x1x4x2dx1x1x4x2dxx411x2(x2 1)(x2 1)1x2(x(x2111x2)dxx2dxdx11x2dxx33xarctanxC4x e4x exdx4 e4 edxx x(4e)dxx(4e)xln4eC(4e)x1ln4C7：求

tan2xdx解： tan2xdx

(sec2x sec2xdx

dx tanx x C8：求

x2cos2 dx2x解： 2cos2 dx2

(1 cosx)dx x sinx C1 sin2x1 sin2xdx1 cos2x1 sin21 sin2xdx1 cos2x1 sin2xdx2cos2x(sec2x tan2x)dx2(sec(secx 1)dx22tanxx2C注：三角函數(shù)不定積分問題需要利用三角函數(shù)常用平方和公式及二倍角公式?！?-2換元積分法一、第一類換元積分法定理如果 f(x)dx F(x) C則 f(u)dx F(u) C其中u φ(x)為關(guān)于x的任意可微函數(shù)。第一類換元積分法（湊微分法：對于不定積分

f(x)dxf(xf(xfφ(x)φ(x的形式，則 f(x)dx

fφ(x)φ(x)dx

fφ(x)dφ(x)設(shè)u1：求

φ(x)，則原式4cos4xdx

f(u)du

F(u) C Fφ(x) C解： 4cos4xdx

cos4x(4x)dx

cos4xd(4x)設(shè)u2：求

4x，則原式(3x 2)4dx1

cosudu sinu

C sin4x C1解： (3x 2)4dx

(3x3

2)4(3x

2)dx

(3x 2)4d(3x 2)3設(shè)u3：求

3x 2，則原式13u4du1u5313u4du1u535C(3x152)5C解： 2xex2dx ex2(x2)dx ex2d(x2)設(shè)u x2，則原

eudu

eu C ex2 C注：變量代換熟練后，可省略中間變量換元過程，直接利用湊微分形式解決問題。lnxdxlnxdxxlnxlnxdxxlnxdlnxln2x2Csin2 xsin2 xxdxsin2 xsin2 xxdxsin xd xcos xC6：求

tanxdx解： tanxdx即 tanxdx

sinxdxcosxln|cosx|

1 dcosxcosx

lncosx C同理可得secxdxsecxdxsecsecxdxsecxdxsecx(secxsecxtanx)tanx1secxtanxd(secxtanx)lnsecxtanxC

cotxdx

ln|sinx| C即 secxdx lnsecx tanx C同理可得含三角函數(shù)

cscxdx lncscx cotx Csinnxcosmxdx（n為非負(fù)整數(shù)）形式的積分：若ndx湊微分。若n同為偶數(shù)，利用三角函數(shù)的倍角公式8：求

sin2xcos3xdx解： sin2xcos3xdx

sin2xcos2xdsinx

sin2x(1 sin2x)dsinx(sin (sin x2sin x)dsinx4sin3x3sin55C9：求

4sin2xcos2xdx解： 4sin2xcos2xdx (2sinxcosx)2dx sin22xdx1 x (1 cos4x)dx2 2

xcos4xd4x2

sin4x C810：求1dx1dx1dx1a2 x2a 1 (x)xd( )axarcsinCa2x1 ( )aa2

1 dx(a 0)（選講）a2 x2即即1dxa2x2arcsinxaC1a2x2dx1a2x2dx1x1 ( )21dxa21a1x1 ( )2xd( )a1arctanxaaCaa

1 dx（選講a2 x2即即1a2dxx1xC2aarctana1x2a2dx1x2a2dx12a(11xaxa)dx2a1(1xadx1xdx)a

1 dx（選講x2 a222a1ln|xxa|aC即即1x2a2dx1ln|2axxa| a二、第二類換元積分法x

φ(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ

fφ(t)φ(tF(t(t)，且φ(t)0φ1((t)，且φ(t)0φ1(x)f(x)dxfφ(t)φ(t)dtF(t) C Fφ1(t)Cx2(1xx2(1x)dxxtxtxt2(t0)，dx2tdtx2(1x2(1x)dxt21t2dtt211 1t2dt(111t2)dtt arctant Cx arctan xCx x 1tx x 1t21，dx2tdt解：設(shè)x

1 txxxx 1dx(2t2 2)dt2t33C23(x1)232(x1)21C1[2a1x1[2a1xad(xa)1xad(x a)]2a1(ln|xa| ln|x a|) C再求積分。

bnax

b t消去根式，a2x2acost例3：求 a2 a2x2acost解：設(shè)x asint,t

π,π，則dx2 2

acostdt，aa2xdx2acostdt22a22a2(1 cos2t)dt ( t2a2sin2t) C4aaxta2 x2xa如圖由于sinxaa2則cost

x22sintcos2sintcost2xaa2xx2，t arcsin2aa2a2xdx a2arcsinx22ax2a2x2Cdxx2a2dxx2a2(a0)x2a2asect解：設(shè)x atant,t

π πdx( , )，2 2dx

asec2tdt，dxdxx2sectdtlnsecttantCa2a2 x2xtxaxa如圖由于tantx2a2ax2a2adxx2dxx2xax2a2C1ln(xx2a2ln(a)a2)CCC lna1dxx2(xdxx2(xaa20)x2 a2atant解：設(shè)x asect,t

π(0, ，則dx2

asecttantdt，dxdxx2asecttantdtatantsectdtln(secttant) Ca2xa2 x2ta如圖由于sect

xx2 a2aax2 a2adxx2dxx2xax2 a2C1ln(xx2a2ln(a)a2)C，其中CC lna1常用積分公式補充：(14)(16)

tanxdxsecxdx

ln|cosx| C (15)cotxdxln|sinx| Ccsccotxdxln|sinx| Ccscxdxln|cscxcotx|C1x2a2dx2a1ln|xxa|aC(18)

dx 1arctanx

C (19)x2 a2 a adxx2dxx2ln(xx2a2) Ca21a2x2xdx arcsinaCdxxdxx2ln|xx2a2|Ca2§4-3 分部積分法引入分部積分公式：設(shè)函數(shù)u u(x)及v v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，uv uv(uv)uv則兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為：uv uv(uv)uvuvdxuvuvdxuvuvdx，即udvuvvduxcosxdx此公式稱為分部積分公式xcosxdxdx,dx,vsinxsinxdx,vsinxdx,vx22

xdv cosxdx，則duxxcosxdxxsinxsinxdxxsinxcosxC2：令u

cosxdv xdx，則duxxcosxdxx2cosx2x2sinxdx2注：1．通過例子可以看出解2中利用分部積分公式后積分變得更加復(fù)雜，因此應(yīng)恰當(dāng)選擇u,v利用分部積分公式后 vdu要比 udv容易求解xe3xdxdx,ve3x3選擇uvxe3xdxdx,ve3x3解：令u

xdv e3xdx，則duxexe3xdxxe3313e3xdxxe33e3x9Cxlnxdxx2xxlnxdxx2xlnxdx ln212x 1dx x2lnx2x2x24C

dxx,vx22lndxx,vx22xarctanxdxxarctanxdxarctanx,arctanx,dvdx，則du1dxx2,vxarctanxdxarctanxdxxarctanxx1x2dxxarctanx1211x2d(1x)2xarctanx 1ln12x2C注：熟練后可不寫出u,dv3.多次使用分部積分公式1：求

x2sinxdx解： x2sinxdx

x2d( cosx)

x2cosx

xcosxdxx2cosx 2

xd(sin

x2cos

2xsinx 2cosx C2：求

exsinxdx解： exsinxdx

exd( cosexcosx

excosexd(sinx)

excosxdxexcosx exsinx exsinxdxexexesinxdx (sinxx2cosx) Cexexecosxdx (sinxx2cosx) C22x ex 1 arctant)C2x ex 1 4 ex 1