2023年圓教學(xué)課件

第24章圓

24.1圓

24.1.1圓

知識點：關(guān)于圓的基本概念

圓：在一個平面內(nèi)，一條線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點

A所形成的圖形叫做圓，固定的端點。叫做圓心，線段0A的長度叫做這個圓的半徑。

圓的表達方法：以點。為圓心的圓，記作“。.0"，讀作‘‘圓

歸納：

（1）圓上各點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）；

（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上。

圓的第二定義：所有到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫做圓。

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，通過圓心的弦叫做直徑。

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。/y<

弧的表達方法：以A、8為端點的弧記作AB,讀作“圓弧A3”或“弧AB”。

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓提成.兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

等圓：可以重合的兩個圓叫做等圓。

等弧：在同圓或等圓中，可以互相重合的弧叫做等弧。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個字母表達，如圖中的ABC。

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個字母表達，如圖中的BC。

題型

1.在平面直角坐標(biāo)系中，。。的圓心在原點上，半徑為2,則下面各點在。。上的是（）

A.（1,1）B.（-1,3）C.（-2,-1）D.（2,-2）

2.通過圓內(nèi)一點（非圓心）作圓的最長弦有（）

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

3.下列命題中對的的是o

A.弦是圓上任意兩點之間的部分B.弧是半圓，半圓是弧

C.長度相等的弧是等弧D.半徑和直徑都是弦

4.下列說法對的的是。

A.弦是直徑B.半圓是弧C.過圓心的線段是直徑

D.半圓是最長的弧E.直徑是最長的弦F.半徑相等的兩個圓是等圓

5.圓心和半徑是擬定一個圓的兩個必需條件，圓心決定圓的,半徑?jīng)Q定圓的,兩者缺一不可。

6.在同一平面內(nèi)，點P到圓上的點的最大距離為8cm,最小距離為2cm,則圓的半徑為一?

7.把圓規(guī)的兩腳分開，使兩腳的距離是4厘米，這樣畫出的圓的半徑是()。

8.如圖，請用對的的方式表達出以點A為端點的優(yōu)弧及劣弧。

9.畫一畫。

已知線段AB=5cm,作圖說明滿足下列規(guī)定的圖形。

(1)到點A的距離等于3cm的所有的點組成的圖形。

(2)到點B的距離等于2cm的所有的點組成的圖形。

10.求證：矩形的四個頂點在以對角線交點為圓心的圓上。

24.1.2垂直于弦的直徑

知識點1

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

知識點2垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論

1.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

E

2.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

A

3.弦的垂直平分線通過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧。

4.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線通過圓心，并且平分弦和所對的另一條弧。

5.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線通過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧。

6.平分弦所對的兩條弧的直線通過圓心，并且垂直平分弦。

題型

1.在。。中，為直徑，CD為非直徑的弦，對于（1）ABJ_CD,（2）A8平分CO,（3）AB平分CD所對

的弧?若以其中的一個為條件，另兩個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，其中真命題的個數(shù)為（）

A、3B、2C、1D、0

2.下列命題中錯誤的命題有（）

（1）弦的垂直平分線通過圓心（2）平分弦的直徑垂直于弦

（3）梯形的對角線互相平分（4）圓的對稱軸是直徑.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.圓是軸對稱圖形，它有條對稱軸，是所在的直線；圓還是中心對稱圖形，對稱中心是

4.若。。的直徑為10,弦AB=8,E是4B上任意一動點，則OE的最小值是。

5.半徑為5的。。內(nèi)有一點P,且OP=3,則過點P的最短的弦長是,最長的弦長是

6.如圖，已知AB是。O的弦，OB=4cm,/ABO=30。，則O到AB的距離是cm,

AB=CHle

7.“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)家著作《九章算術(shù)》

中的一個問題：''今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸

之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題的實質(zhì)是解

決下面的問題：“CD為的直徑，弦ABLCD于點E,CE=1,/一-、

AB=10,求CD的長.”根據(jù)題意可得CD的長為。/、第6題圖

8.在直徑為1000mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面益少油的最大深

度為mm.

9.如圖，在AABC中，/C是直角，AC=12,8c=16,以C為圓心，AC為半徑的圓交斜邊AB于。，求

A。的長。

10.如圖，弦A8垂直于。。的直徑CD,OA=5,A3=6,求8c長。

第8題圖第9題圖第10題圖第11題圖

11.如圖所示，在。0中，CD是直徑，AB是弦，ABJ_CD于M,CD=15cm,0M：0C=3：5,求弦AB的長。

12.有一圓弧形門拱的拱高為1,跨度切為4,求這個門拱的半徑。

24.1.3弧、弦、圓心角

知識點1定義

圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

弦心距：過圓心作弦的垂線，圓心與垂足之間的距離叫弦心距。

知識點2定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

在同圓或等圓中，假如兩條弧相等，那么它們所對的圓心角度數(shù)相等，所對的弦相等。

在同圓或等圓中，假如兩條弦相等，那么它們所對的圓心角度數(shù)相等，所對的弧相等。

題型

1.假如兩條弦相等，那么（）

A.這兩條弦所對的弧相等B.這兩條弦所對的圓心角相等

C.這兩條弦的弦心距相等D.以上答案都不對

2.下列說法對的的是()

A.相等的圓心角所對的弧相等B.在同圓中，等弧所對的圓心角相等

C.相等的弦所對的圓心到弦的距離相等D.圓心到弦的距離相等，則弦相等

3.線段AB是弧AB所對的弦，AB的垂直平分線CD分別多存4/于C、D,AD的嘮心分繚弋別交

弧AB、AB于E、F,DB的垂直平分線GH分別交弧AB-B于G、H,］諭忖結(jié)論格的的\$H

A.弧AC=MCBB.弧EC=MCGC.EF=IFH%吠@=弧ECV\I

4.弦心距是弦的一半時，弦與直徑的比是,贏的是.

AEB

5.如圖，AB為。0直徑，E是BC中點，0E交BC于點D,BD=3,AB=10,則AC=___.

6.如圖，AB和DE是。0的直徑，弦AC〃DE,若弦BE=3,貝U弦CE=.

7.如圖，已知A3、C￡＞為。O的兩條弦，弧4。=弧8。，求證：AB=CD。

8.如圖，8c為。。的直徑，是。。的半徑，弦BE〃OA,求證：AC=AE.

第5題圖第6題圖第7題圖第8題圖

9.如圖，在。O中，C、D是直徑AB上兩點，AC=BD,MC_LAB,ND±AB,M、N

在。O上.

(1)求證：AM=BN；⑵若C、D分別為OA、OB中點，則AM=MN=N8成立嗎？

10如圖,OOi和。是等圓,P是OQz的中點,過P作直線AD交。01于A、B,交。川于C、D,求證：AB=CD?

第9題圖第10題圖

24.1.4圓周角

知識點1定義

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

知識點2圓周角定理

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

知識點3

假如一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個

多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

題型

1.下列說法對的的是（）

A.頂點在圓上的角是圓周角B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的2倍D.圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半

2.下列說法錯誤的是（)

A.等弧所對圓周角相等B.同弧所對圓周角相等

C.同圓中，相等的圓周角所對弧也相等.D.同圓中，等弦所對的圓周角相等

3.已知。。是AABC的外接圓，若/A=80°,則/BOC的度數(shù)為（）

A.40°B.80°C.160°D.120°

4.在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，則該弦所對的圓周角的度數(shù)是（）

A.30°B.30°或150°C,60°D.60°或120°

5.4ABC三個頂點A、B、C都在。。上，點D是AB延長線上一點，NA0C=140°,NCBD的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.70°D,110°

6.等邊三角形ABC的三個頂點都在。0上,D是弧AC上任一點（不與A、C重合）,則Z

ADC的度數(shù)是?

7.。0中，若弦AB長2j^cm,弦心距為、歷cm,

則此弦所對的圓周角等于-

第&顆圖

8.如圖，AB為。O的直徑，點C在。。上，若NB=6O°,

則NA等于，

9.如圖，在。0中,AB是直徑,CD是弦,ABLCD.

（DP是弧CAD上一點（不與C、D重合），試判斷

NCPD與NC0B的大小關(guān)系，并說明理由.

（2）點P'在劣弧CD上（不與C、D重合時），

ZCP'D與/C0B有什么數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論。

第9題圖

10.如圖，。（：通過坐標(biāo)原點，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點A與點B,點A的坐標(biāo)為（0,4）,M是圓上一點

ZBM0=120°。

（1）求證：AB為。C直徑。

（2）求。C的半徑及圓心C的坐標(biāo)。

11.如圖，。0的直徑AB=8cm,ZCBD=30°,求弦DC的長。

第10題圖第11題圖第12題圖

12.如圖，A、B、C、D四點都在。O上，AD是。O的直徑，且AD=6cm,若NABC=NCAD,

求弦AC的長。

24.2點、直線、圓和圓的位置關(guān)系

24.2.1點和圓的位置關(guān)系

知識點1點和圓的位置關(guān)系

設(shè)。O的半徑為r,點P到圓心的距離為d,則：

（1）點P在圓外=d>r

（2）點P在圓上=d=r

（3）點P在圓外=d<r

知識點2擬定圓的條件

不在同一條直線上的三個點擬定一個圓。

知識點3

三角形的外接圓：三角形三個頂點擬定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

三角形的外心：外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

知識點4反證法

假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此通過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不對的，從而得到原命題

成立。這種方法叫做反證法。

題型

1.若。。所在平面內(nèi)一點P到。0上的點的最大距離為a,最小距離為b（a>b）,則此圓的半徑為（）。

a+ba-ba+ba-b

A."T"B.2C.~T~或丁~D.a+b或a—b

2.三角形的外心是（)

A.三條中線的交點B.三條邊的中垂線的交點

C.三條高的交點D.三條角平分線的交點

3.下列命題不對的的是（)

A.三點擬定一個圓B.三角形的外接圓有且只有一個

C.通過一點有無數(shù)個圓D.通過兩點有無數(shù)個圓

4.平面上不共線的四點，可以擬定圓的個數(shù)為（）

A.1個或3個B.3個或4個C.1個或3個或4個D.1個或2個或3個或4個

5.銳角三角形的外心位于,直角三角形的外心位于鈍角三角形的外心位于

6.下列說法對的的是：o

（1）通過三個點一定可以作圓（2）任意一個三角形一定有一個外接圓（3）任意一個圓一定有一內(nèi)接三

角形，并且只有一個內(nèi)接三角形（4）三角形的外心到三角形各個頂點的距離都相等

7.邊長為6cm的等邊三角形的外接圓半徑是。

8.AABC的三邊為2,3,V13,設(shè)其外心為0,三條高的交點為H,則0H的長為___。

9.矩形ABCD邊AB=6cm,AD=8cm,

（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作。A,則點B在。A，點C在。A，點D在。A,

AC與BD的交點0在。A；

(2)若作。A,使B、C、D三點至少有一個點在。A內(nèi)，至少有一點在。A外，八

則。A的半徑r的取值范圍是

10.如圖,A、B、C三點表達三個工廠，要建立一個供水站，??

BC

使它到這三個工廠的距離相等，求作供水站的位置

(不寫作法,尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡)。

11.如圖，已知在AABC中,NACB=90°,AC=12,AB=13,CD_LAB,以C為圓心，5為半徑作。C,試判斷A,D,B

三點與。C的位置關(guān)系。

12.如圖,在鈍角4ABC中,AD1BC,垂足為D點，且AD與DC的長度為x2-7x+12=0的兩個根(ADVDC),00為

△ABC的外接圓，假如BD的長為6,求AABC的外接圓。0的面積。

第11題圖第12題圖

13.已知AABC內(nèi)接于。0,OD1BC,垂足為D,若BC=20,0D=l,求NBAC的度數(shù)。(注意：分類討論)

24.2.1直線和圓的位置關(guān)系

知識點1基本概念

1.直線和圓有兩個公共點，叫做直線和圓相交，這條直線叫圓的割線，這兩個公共點叫交點。

2.直線和圓有唯一個公共點，叫做直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫切點。

3.直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

知識點2直線和圓的位置關(guān)系的鑒定

設(shè)。。的半徑為r,直線1到圓心的距離為d,則：

直線1和。0相交od<r

直線1和。0相切od=r

直線1和。0相離od>r

題型

1.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(2,1)為圓心，1為半徑的圓，必與()

A.x軸相交B.y軸相交C.x軸相切D.y軸相切

2.已知。0的半徑為5cm,直線1上有一點Q且OQ=5cm,則直線1與。0的位置關(guān)系是()

A、相離B、相切C、相交D、相切或相交

3.已知圓的半徑等于10厘米，直線和圓只有一個公共點，則圓心到直線的距離是。

4.等邊三角形ABC的邊長為2,則以A為圓心，半徑為1.73的圓與直線BC的位置關(guān)系是一；以

A為圓心，為半徑的圓與直線BC相切。

5.已知。O的直徑為10cm。

(1)若直線1與OO相交，則圓心O到直線1的距離為

(2)若直線I與。O相切，則圓心O到直線1的距離為

(3)若直線1與。O相離，則圓心O到直線1的距離為

6-.如圖，0M與x軸相交于點A(2,0),

B(8,0),與y軸相切于點C,

求圓心M的坐標(biāo).

知識點3

切線的鑒定定理：通過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

題型

1.命題：“圓的切線垂直于通過切點的半徑”的逆命題是()

A.通過半徑的外端點的直線是圓的切線B.垂直于通過切點的半徑的直線是圓的切線

C.垂直于半徑的直線是圓的切線D.通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

2.如圖，BC是。0直徑，P是CB延長線上一點，PA切。。于A,若PA=6,OB=1,則NAPC等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.如圖，線段AB過圓心0,交。0于點A、C,NB=30°,直線BD與。0切于點D,則NADB的度數(shù)是（）

A.150°B.135°C.120°D.100°

4.如圖，。。的直徑A8與弦AC的夾角為30。，切線與的延長線交于點。，若。。的半徑為3,

則CO的長為（）

A.6B.673C.3D.3Ji

5.PA是。。的切線，切點為A,PA=2g,ZAP0=30°,則。。的半徑長為.

6.如圖，直線AB與。。相切于點B,BC是。。的直徑，AC交。0于點D,連結(jié)BD,則圖中直角三角形有

個.

第2題圖第3題圖第4題圖第6題圖

7.如圖，NPAQ是直角，。0與AP相切于點T,與AQ交于B、C兩點.

（1）BT是否平分/OBA?說明你的理由；

（2）若已知AT=4,弦BC=6,試求。0的半徑R.

8.如圖，AB是。O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB,點C在圓上，ZCAB=30°,

求證：DC是。O的切線。

9.在RtaABC中，ZB=90°,/A的平分線交BC于D,以D為圓心，DB長為半徑作。D。

試說明：C是。D的切線。

第7題圖,第8題圖第9題圖第10題圖

/

10.已知直聲梯形\ABCD中，AD〃BC,AB1BC,以腰DC的中點E為圓心的圓與AB相切，梯形的上

底限與底B,髻方程x—10x+16=0的兩根，求OE的半徑rO

SA

11.心口圖，I\ABC內(nèi)接于。0,直線EF通過B點，ZCBF=NA。

求證：EF是。0的切線。

第11題圖

12.如圖，RSABC中，NB=90。，0是AB上的一點，以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB交于點E,

交AC于點D,其中DE〃OC。

(1)求證：AC為。O的切線。

(2)若AD=26,且AB、AE的長是關(guān)于x的-

方程x2—8x+k=0的兩個實數(shù)根，求。0的半徑、CD的長。

13.如圖，等腰△ABC中，AC=BC=10,AB=12,以BC為A第12題圖

D

直徑作。。交AB于點D,交AC于點G,DF1AC,垂足1為

F,交CB的延長線于點E。

(1)求證：直線EF是。0的切線。

(2)求DF、DE的長。.

14.如圖，RSABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,

CD為半徑作。C與AE切于點E,過點B作BM〃AE。

(1)求證：BM是。C的切線。第14題圖

(2)作DFJ_BC于F,若AB=16,ZDBM=60°,求EF的長。

15.如圖，AB為。O的直徑，D為BE的中點，DC_LAE

交AE的延長線于C。

(1)求證：CD是。。的切線。

(2)若CE=1,CD=2,求。O的半徑。第15題圖

16.如圖，鈍角△ABC,CD1AC,BE平分NABC交

AC于E,且NCEB=45。，以AD為直徑作。0。

(1)求證：BC是。0的切線。

(2)若。O直徑為10,AC=BC,求△ABC的周長。第16題圖

17.如圖，^ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN,

若NMAC=NABC.

(1)求證：MN是半圓的切線。

(2)設(shè)D是弧AC的中點，連結(jié)BD交AC于G,

過D作DE1AB于E,交AC于F.求證：FD=第17題圖

知識點4

切線長定義：通過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分

兩條切線的夾角。

題型

1.如圖，PA切。。于A,PB切。。于B,0P交。0于C,下列結(jié)論錯誤的是()

A.Z1=Z2B.PA=PBC.AB±OPD.PA2=PCxPO

2.如圖，PA、PB是。0的兩條切線，切點是A、B.假如0P=4,PA=273,那么NAOB等于()

A.90°B.100°C.110°D.120°

3.從圓外一點向半徑為9的圓作切線，已知切線長為18,從這點到圓的最短距離為()

A.9百B.9(V3-1)C.9(V5-1)D.9

4.有圓外一點P,PA、PB分別切。。于A、B,C為優(yōu)弧AB上一點，若NACB=a,則NAPB=()

A.180°-aB.900-aC.90°+aD.1800-2a

5.一個鋼管放在V形架內(nèi)，如圖是其截面圖，0為鋼管的圓心.假如鋼管的半徑為25cm,ZMPN=60°,

則0P=()

A.50cmB.25V3cmC."cmD.50八

3

第1題圖第2題圖第5題圖第6題圖

6.如圖，PA、PB分別切。。于A、B,并與。0的切線分別相交于C、D,已知PA=7cm,則4PCD的周長

等于_________?

7.如圖，已知A8為。。的直徑,PA,PC是。。的切線，A。為切點，ABAC=30°.

(1)求NP的大小。(2)若==2,求R4的長(結(jié)果保存根號)。

fe(AP

上

第7題圖第8題圖

8.如圖，。。的直徑43=2,AM和BN是它的兩條切線,OE切。。于E,交AM于D,交BN于C。

設(shè)AD=x,BC=yo

(1)求證：AM//BN(2)求y關(guān)于x的關(guān)系式

9.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為(-3,-2),OA的半徑為1,P為x軸上一動點，PQ切。A于

點Q,則當(dāng)PQ最小時，求P點的坐標(biāo)是多少？

第10題圖

10.如圖，△4%,中，/a90°,/IC=8cm,46=10cm,點。由點。出發(fā)以每秒2cm的速度沿。向點1

運動(不運動至1點)，。。的圓心在鰭上，且。。分別與/氏/C相切，當(dāng)點。運動2秒鐘時，求。。的

半徑。

11.已知：ZMAN=30°,0為邊AN上一點，以0為圓心、2為半徑作。0,交AN于D、E兩點，設(shè)AD=x.

⑴如圖⑴當(dāng)x取何值時，。。與AM相切;

⑵如圖⑵當(dāng)x為什么值時，。0與AM相交于B、C兩點，且/B0C=90°。

知識點5

內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心。

題型

1.己知AABC的內(nèi)切圓0與各邊相切于D、E、F,那么點0是4DEF的(

A.三條中線交點B.三條高的交點

C.三條角平分線交點D.三條邊的垂直平分線的交點

2.如圖，。。為AABC的內(nèi)切圓，ZC=90°,A0的延長

線交BC于點D,AC=4,CD=1,則。0的半徑等于（)

A.i

B.-

54

C.-D.-

46

3.如圖，。。內(nèi)切于△ABC,切點為D、E、F,

若NB=50",ZC=60°,連結(jié)OE、OF、DE、DF,

則NEDF等于（）

A.45°B.55°

C.65°I).70°

使小亭中心到三

CEB

6.如圖，RtAABC的兩條直角邊長分別為5和⑵則4ABC的內(nèi)切圓到半徑為多少？

7.等腰三角形的腰長為13cm,底邊長為10cm,求它的內(nèi)切圓的半徑。

8.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.求AABC的內(nèi)切圓半徑r。

第5題圖第6題圖第8題圖

24.2.3圓和圓的位置關(guān)系

知識點1圓和圓的位置關(guān)系概念

(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每一個圓上的點都在另一個圓的外部；

(2)外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；

(3)相交：兩個圓有兩個公共點，一個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個圓的

內(nèi)部；

⑷內(nèi)切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，。。上的點在。。的內(nèi)部；

⑸內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，。。上的點都在。。的內(nèi)部。

知識點2兩圓位置關(guān)系鑒定

設(shè)兩圓半徑分別為“、⑵圓心距為d,則

(1)兩圓外離0(1>”+「2

⑵兩圓外切od=n+r2

(3)兩圓相交o|t2-ri|<d<n+r2

(4)兩圓內(nèi)切od=|n-r2|

(5)兩圓內(nèi)含Od<|r?-ri|

題型

1.下列說法對的的是()

A.若兩圓只有一個交點，則這兩圓外切

B.假如兩圓沒有交點，則這兩圓的位置關(guān)系是外離

C.當(dāng)。。2=0時，兩圓位置關(guān)系是同心圓

D.若OQ=1.5,r=l,R=3,則°i°2<R+r,所以兩圓相交

E.若。。2=4,且r=7,R=3,則°i°2<R-r,所以兩圓內(nèi)含

2.已知兩圓的半徑為R和r（R>r）,圓心距為d,且，則兩圓的位置關(guān)系為（）

A.外切B.內(nèi)切C.外離D.外切或內(nèi)切

3.假如兩圓相切，兩圓的圓心距為8cm,圓A的半徑為3cm,則圓B的半徑是（）

A.5cmB.11cmC.3cmD.11cm或5cm

4.。。的半徑為2,點P是。0外一點,OP的長為3,那么以P為圓心，且與。。相切的圓的半徑一定是（）

A.1或5B.1C.5D.1或4

5.。0卜。。2、。0：,兩兩外切，且半徑分別為2cm,3cm,10cm,則△0Q。的形狀是（）

A.銳角三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形

6.如圖，。。的半徑為r,（D0i、（DO2的半徑均為n,（DOi與。0內(nèi)切，沿（DO內(nèi)側(cè)滾動m圈后回到本來的

位置,。。2與。0外切并沿。0外側(cè)滾動n圈后回到本來的位置,則m、n的大小關(guān)系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.與r,n的值有關(guān)

7.如圖，G）0i和。。2內(nèi)切，它們的半徑分別為3和1,過Oi作。Oz的切線，切點為A,則SA的長為（）

A.2B.4C.73D.石

8.已知兩圓的圓心距d=8,兩圓的半徑長是方程X2-8X+1=0的兩根，則這兩圓的位置關(guān)系是0

9.圓心都在y軸上的兩圓。0“的半徑為的半徑為l,0i的坐標(biāo)為（0,T）,Ch的坐標(biāo)為

（0,3）,則兩圓（DOi與。的位置關(guān)系是________。

10.和。。2交于A、B兩點，且。通過點Oz,若/A0B=90°,那么/AOzB的度數(shù)是。

11.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,假如分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在。C內(nèi),點B在。C外,那么圓

A的半徑r的取值范圍是。

12.兩圓半徑長分別是R和r(R>r),圓心距為d,若關(guān)于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有相等的兩實數(shù)根,則兩

圓的位置關(guān)系是。

13-已知OQ和?！?的半徑分別為2cm、5cm,且它們相切，則°°2=。

14.相交兩圓的公共弦長6,兩圓的半徑分別為3&和5,則這兩圓的圓心距為o

15.已知AABC,三邊長分別為6、8、10,分別以三角形的個頂點為圓心，做兩兩相外切的三個圓，則這

三個圓的半徑分別是

16.已知。°與。°2相切，圓心距為10cm,其中。A的半徑為4cm,求。B的半徑。

17.某人用如下方法測一鋼管的內(nèi)徑:將一小段鋼管豎直放在平臺上，向內(nèi)放入兩個半徑為5cm的鋼球,

上面一個鋼球頂部高DC=16cm(鋼管的軸截面如圖所示)，求鋼管的內(nèi)直徑

長。

第17題圖第18題圖

18.如圖，。0卜交于A、B兩點，點6在。上，兩圓的連心線交。于E、D,交。于F,交AB于C,

請根據(jù)圖中所給的已知條件(不再標(biāo)注其他字母，不再添加任何輔助線)，寫出兩個線段之間的關(guān)系式。

24.3正多邊形和圓

知識點1正多邊形和圓的關(guān)系

定理1：把圓提成n(n23)等份，依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形。

定理2：通過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正多邊形。

知識點2正多邊形有關(guān)概念

正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓型羽￡可做正多邊形的半徑。

n

正多邊形的邊心距：中心^邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

n

正多邊形的中心角：正多邊形的每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

知識點3正多邊形的有關(guān)角

1.正多邊形的中心角都相等，中心角=（n為正多邊形的邊數(shù)）

2.正多邊形的每個外角=（n為正多邊形的邊數(shù)）

題型

1.以下有四種說法：①順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點，則所得的四邊形是菱形；②等邊三角形是

軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；③頂點在圓周上的角是圓周角；④邊數(shù)相同的正多邊形都相似，其中

對的的有（）

A.1個B.2個C.3個D4個

7F）

2.以下說卷好版是上金—C'ya2D、（2亞-2）a?

A.每個內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊.形B..正.n邊形的對稱軸不一定有n條

C.正n邊形的每一個外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù)

D.正多邊形一定既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

3.正多邊形的中心角與該正多邊形一個內(nèi)角的關(guān)系是（）

A.互余B.互補C.互余或互補D.不能擬定

4.若一個正多邊形的每一個外角都等于36°,那么這個正多邊形的中心角為（）

A.36°B、18°C.72°D.54°

5.將一個邊長為a正方形硬紙片剪去四角，使它成為正n邊形，那么正n邊形的面積為（）

A.

6.如圖所示，正.六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,則/ADB的度數(shù)是（）

A.60°B.45°C.30°D.22.5°

7.OO是正五邊形ABCDE的外接圓，弦AB的弦心距OF叫正五邊形ABCDE

的,它是正五邊形ABCDE的________圓的半徑。

8.兩個正六邊形的邊長分別是3和4,這兩個正六邊形的面積之比等于。

9.圓內(nèi)接正方形的半徑與邊長的比值是.

10.圓內(nèi)接正六邊形的邊長是8cm,那么該正六邊形的半徑為,邊心距為。

11.圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長為2,弦AE平分BC邊，與BC交于F,則弦AE的長為。

12.正方形的內(nèi)切圓半徑為r,這個正方形將它的外接圓分割出四個.弓形，其中一個弓形的面積為

13.正多邊形的一個內(nèi)角等于它的一個外角的8倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是。

14.周長相等的正方形和正六邊形的面積分別為S4和S$,則S4和的大小關(guān)系為。

15.四邊形ABCD為的內(nèi)接梯形，AB〃CD,且CD為直徑，?假如。O的半徑等于r,ZC=60°,那

么圖中aOAB的邊長AB是,AODA的周長是,ZBOC的度數(shù)是^____

16.如圖，正方形ABCD內(nèi),接于。0,點E在上，則NBEC=—（/*O\）

17.假如正三角形的邊長為a,那么它，的外接圓的周長是內(nèi)切圓周長的_____倍。

18.分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長，邊心距和面積。E

AB

24.4弧長和扇形面積

知識點1計算公式

Ln。的圓心角所對的弧長：/=—

180

2.扇形面積：（由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫扇形）

方法一：s扇形=竺坦S扇形=—1/?

方法二：2

題型

1.假如扇形的半徑是6,所含的弧長是5”,那么扇形的面積是（）

A.5nB.10n

C.15nD.30Ji

2.假如一條弧長等于/,它的半徑等于H,這條弧所對的圓心角增長『，則它的弧長增長（）

Ic兀廠

AA.-B.--R--C.-1-8-0-/nD.--/--

n180nR360

3.在半徑為3的。0中，弦AB=3,則AB的長為（）

兀3c

A.—B.兀C.—71D.2n

22

&

4.扇形的周長為16,圓心角為——，則扇形的面積是（）

A.16B.32C.64D.16兀第5題圖

5.如圖，扇形。鉆的圓心角為90,且半徑為R,分別以Q4,Q8為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和。分

別表達兩個陰影部分的面積，那么P和。的大小關(guān)系是（）

A.P=QB.P>QC.P<QD.無法擬定

6.半徑為6cm的圓中，60的圓周角所對的弧的弧長為o

7.半徑為9cm的圓中，長為1271cm的一條弧所對的圓心角的度數(shù)為.

8.已知圓的面積為8bicm2,若其圓周上一段弧長為3itcm,則這段弧所對的圓心角的度數(shù)為。

9.如圖，A3是半圓。的直徑，認為。圓心，OE為半徑的半圓交A3于E,F兩點,弦AC是小半圓的

切線，D為切點、,若Q4=4,OE=2,則圖中陰影部分的面積為?

C

第10題圖第11題圖

fo.彎制修道你，樂按中，備計算其“展直長度”，再下料.根據(jù)如圖所示的圖形可算得管道的展直長度為

o（單位：mm,精確到1mm）

11.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90\ZA=60,AC=gcm,將△ABC繞點8旋轉(zhuǎn)至△A'BC的

位置，且使點A,B,C'三點在同一直線上，則點A通過的最短路線長是cm。

27rTi

12.已知：扇形的弧長為一cm,面積為一cm"求扇形弧所對的圓心角。

99

13.有一正方形ABC。是以金屬絲圍成的，其邊長A8=l,把此正方形的金屬絲重新圍成扇形的AOC,

使=0c=Z)C不變，問正方形面積與扇形面積誰大？大多少？由計算得出結(jié)果。

14.如圖，ACBD為夾在環(huán)形的兩條半徑之間的一部分，弧AD的長

AD

為冗cm,弧CB的長為2ncm,AC=4cm,求這個圖形的面積。

15.已知如圖，P是半徑為R的。0外一點，PA切。0于A,PB切/一"\

p<?。)

。。