第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一頁，共八十二頁，2022年，8月28日一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，這個(gè)系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第二頁，共八十二頁，2022年，8月28日Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)b、c——允許偏差范圍d、e——規(guī)定偏差邊界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)第三頁，共八十二頁，2022年，8月28日

穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質(zhì)上。這樣，在干擾消失的時(shí)刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：第四頁，共八十二頁，2022年，8月28日

若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。第五頁，共八十二頁，2022年，8月28日

控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，也就是討論輸入為零，僅存在初始偏差時(shí)的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。至于機(jī)械工程系統(tǒng)往往用激振或外力的方法施以強(qiáng)迫振動(dòng)或運(yùn)動(dòng)，而造成系統(tǒng)共振或偏離平衡位置，這并不是控制理論所要討論的穩(wěn)定性。第六頁，共八十二頁，2022年，8月28日

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t--傳遞函數(shù)第七頁，共八十二頁，2022年，8月28日--反之，若特征根中有一個(gè)或多個(gè)根具有正實(shí)部，則零輸入響應(yīng)將隨時(shí)間的推移而發(fā)散，這樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第八頁，共八十二頁，2022年，8月28日可見，穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)；控制理論所討論的穩(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差時(shí)的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。第九頁，共八十二頁，2022年，8月28日控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部?；蜷]環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部（位于左半s平面）。到底如何判斷呢？第十頁，共八十二頁，2022年，8月28日

代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

為了避開對(duì)特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實(shí)部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產(chǎn)生了一系列穩(wěn)定判據(jù)。第十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日一、勞斯判據(jù)穩(wěn)定的必要條件：特征方程中各項(xiàng)系數(shù)>0穩(wěn)定的充分條件：勞斯陣列中第一列所有項(xiàng)>0特征方程？第十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日勞斯陣列如下：一直計(jì)算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號(hào)，若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面的根數(shù)。第十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日解：滿足必要條件

13-23第十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日-例3K為何值時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定解題步驟？第十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個(gè)元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零；2、某一行所有元素均為零。第十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日

第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。101第十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日02第一列系數(shù)符號(hào)無改變，故系統(tǒng)沒有正實(shí)部的根。[S]行為0，表明系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

第十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。2、某一行所有元素均為零

表明在S平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，即存在兩個(gè)大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根和（或）一對(duì)共軛虛根，[S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。第十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日輔助多項(xiàng)式\1\3

第一列符號(hào)全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程388\1\6\800

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定第二十頁，共八十二頁，2022年，8月28日

乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-閉環(huán)特征方程第二十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日這一判據(jù)是由H.nyquist首先提出來的。因?yàn)樵诳刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)中，一些元件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是未知的，僅僅知道它們的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，所以采用這種穩(wěn)定性分析方法比較方便。由解析的方法、或者由實(shí)驗(yàn)的方法得到的開環(huán)頻率響應(yīng)曲線，都可以用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析。因?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性可以由開環(huán)頻率響應(yīng)曲線圖解確定，無需實(shí)際求出閉環(huán)極點(diǎn)，所以這種判據(jù)在控制工程中得到了廣泛應(yīng)用。第二十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日一、米哈伊洛夫定理

——證明Nyquist判據(jù)的一個(gè)引理

第二十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日證明：先看一次式0第二十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日0第二十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日0第二十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日再來研究零點(diǎn)在右半S平面的一次式0第二十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日0第二十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日

幅角增量與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性之間什么關(guān)系？第三十頁，共八十二頁，2022年，8月28日二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、反饋系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)的特征方程式-開環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)第三十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)0說明什么？第三十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日0第三十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日0第三十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日Nyquist判據(jù)又可以敘述為：第三十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日-例7K為何值時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定0-1第三十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日例8判別系統(tǒng)穩(wěn)定性第三十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日-1第三十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日例9第四十頁，共八十二頁，2022年，8月28日-10第四十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種表述第四十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日0-1第四十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日-100第四十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日

把原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)當(dāng)成左半S平面的極點(diǎn)（即不考慮q)，顯然只需知道開環(huán)在右S平面的極點(diǎn)P即可；在S平面上做封閉曲線包圍整個(gè)右S平面；四、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第三種表述第四十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日-1第四十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日全頻率的Nyquist判據(jù)為：第四十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日-1第四十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日-1第四十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日全頻率的Nyquist判據(jù)為：第五十頁，共八十二頁，2022年，8月28日第五十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日-1第五十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日-1第五十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日

應(yīng)用Nyquist判據(jù)

分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

延時(shí)環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，機(jī)械工程中許多系統(tǒng)中具有這種環(huán)節(jié)。第五十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日一、延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性-可見：延時(shí)環(huán)節(jié)不改變幅頻特性僅影響相頻特性。第五十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日例5-14-帶有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)不是最小相位系統(tǒng)第五十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日

明顯看出，雖然一階、二階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)中若存在延時(shí)環(huán)節(jié)，也可能變?yōu)椴环€(wěn)定。CNGR第五十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日二、延時(shí)環(huán)節(jié)并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性--第五十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日

由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系第五十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定第六十頁，共八十二頁，2022年，8月28日：穩(wěn)定第六十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日穩(wěn)定第六十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日利用Nyquist判據(jù)判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。Nyquist曲線剛好通過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。思路？方法？第六十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K值忽略忽略第六十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍第六十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日注意：利用Nyquist判據(jù)的結(jié)論與利用勞斯判據(jù)的結(jié)論不一致，其原因是Bode圖用的是漸進(jìn)線，有誤差。只要兩種方法結(jié)論一致。第六十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性2、普遍情況

負(fù)穿越一次正穿越一次負(fù)穿越半次正穿越半次第七十頁，共八十二頁，2022年，8月28日正負(fù)穿越之差為零，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定半次正穿越系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定第七十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日正負(fù)穿越之差為1-2=-1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定正負(fù)穿越之差為2-1=1，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定---第七十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日

§5-7控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性一、利用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性[S]第七十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程中各項(xiàng)系數(shù)>0第七十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日這便是通常所說的相對(duì)穩(wěn)定性，它通過對(duì)（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來度量。定量表示為：二、利用乃氏判據(jù)看系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性極其相對(duì)穩(wěn)定性指標(biāo)第七十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日

1、相位裕量

正相位裕量具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲(chǔ)備，它可以在的頻率下，允許相位再增加度才達(dá)到臨界穩(wěn)定條件。因此相位裕量也叫相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。第七十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日2、幅值裕量當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)。在Bode圖上，

正相位裕量線以上正幅值裕量0dB線以下正幅值裕量第七十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日負(fù)幅值裕量負(fù)相位裕量線以下

具有負(fù)幅值裕量及負(fù)相位裕量時(shí)，閉環(huán)不穩(wěn)定。負(fù)幅值裕量0dB線以上負(fù)相位裕量第七十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日

工程實(shí)踐中，為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲(chǔ)備，一般希望：第七十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日

如果僅以相位裕量來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就會(huì)得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度很高的結(jié)論,而系統(tǒng)的實(shí)際穩(wěn)定程度絕不