第六講線性方程組之迭代求解

第六講線性方程組之迭代求解第一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第六章解線性方程組的迭代法

本章主要討論系數(shù)陣為大型稀疏陣線性方程組的迭代解法。

上一講曾討論了系數(shù)陣為大型稠密矩陣的線性方程組的直接解法。從定義上討論迭代法與直接法有：直接法:

經(jīng)過有限次運算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差!)第二頁，共九十七頁，2022年，8月28日迭代法：從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）從應(yīng)用上討論迭代法與直接法有：

直接法比較適用于中小型方程組。對高階方程組，既使系數(shù)矩陣是稀疏的，但在運算中很難保持稀疏性，因而有存儲量大，程序復(fù)雜等不足。

迭代法

則能保持矩陣的稀疏性，具有計算簡單，編制程序容易的優(yōu)點，并在許多情況下收斂較快。故能有效地解一些高階方程組。第三頁，共九十七頁，2022年，8月28日基本要求：1.熟悉簡單迭代法及其收斂條件的使用；2.熟悉Jacobi迭代法及其相應(yīng)的Seidel迭代法的計算公式以及它們的收斂條件；3

.熟悉SOR方法的計算公式及其收斂條件；第四頁，共九十七頁，2022年，8月28日

迭代法的基本思想是構(gòu)造一串收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計算新的近似解的規(guī)則。由不同的計算規(guī)則得到不同的迭代法，本講介紹單步定常線性迭代法。第五頁，共九十七頁，2022年，8月28日a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……an1x1+an2x2+…+annxn=bn從第一個方程解出x1,第二個方程解出x2,…,最后一個方程解出xn

，記成對一般方程組,用(iterativemethod)迭代求解

Ax=b

即第六頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八頁，共九十七頁，2022年，8月28日但并不是所有的都收斂到解！第九頁，共九十七頁，2022年，8月28日三個主要迭代方法主要解決如下幾個問題：第十頁，共九十七頁，2022年，8月28日設(shè)有

第十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日其中，M為可以選擇的非奇異矩陣，且Mx=d要求容易分解，一般選擇為A的某種近似，稱M為分裂矩陣第十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日第十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日第十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日1.雅可比(Jacobi)迭代法第十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日于是得到第十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日第十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共九十七頁，2022年，8月28日于是有分量形式為：第二十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日分量迭代格式為第二十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第二十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日迭代9此達到精度要求。第二十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日故如果序列收斂,則收斂到解X*第二十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日J(rèn)acobi迭代法的計算過程如下：第二十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第二十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日2.高斯—塞德迭代法(Gauss_seidel)第二十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日第三十頁，共九十七頁，2022年，8月28日第三十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第三十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日分量迭代格式為第三十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日第三十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日第三十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日迭代5次達到精度要求。第三十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日但注意第三十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日Gauss-Seidel迭代法的計算過程如下：第三十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日3.超松弛(SOR)法第四十頁，共九十七頁，2022年，8月28日第四十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第四十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第四十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日第四十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日第四十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日迭代9次達到精度要求。第四十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日迭代5次故一般取為最佳松弛因子。第四十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日松弛法計算過程如下：第四十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日第四十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十頁，共九十七頁，2022年，8月28日一、矩陣的譜半徑§3.迭代法的收斂條件第五十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日一階定常迭代法的基本定理：第五十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日問題為：迭代矩陣B滿足什么條件時，迭代產(chǎn)生的序列第五十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日第五十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日一些常用基本概念1第六十頁，共九十七頁，2022年，8月28日2第六十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第六十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日3第六十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日4第六十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日注第六十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日三、迭代法的收斂條件第六十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日第六十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第六十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日第六十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日第七十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十四頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十五頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十六頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十七頁，共九十七頁，2022年，8月28日第八十八頁，共九十七頁，2022年，8月28日三、誤差估計第八十九頁，共九十七頁，2022年，8月28日第九十頁，共九十七頁，2022年，8月28日第九十一頁，共九十七頁，2022年，8月28日第九十二頁，共九十七頁，2022年，8月28日第九十三頁，共九十七頁，2022年，8月28日Example:用迭代法求解下列方程組：解：先重排方程組的順序，使

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