第四章 曲線和曲面

第四章曲線和曲面第一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一節(jié)曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識

曲線和曲面參數(shù)表示

（1）與坐標(biāo)軸相關(guān)的，不便于進(jìn)行坐標(biāo)變換；（2）會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情況；（3）難以靈活地構(gòu)造復(fù)雜的曲線、曲面（4）非參數(shù)的顯示方程只能描述平面曲線，空間曲線必須定義為兩張柱面的交線。（5）假如我們使用非參數(shù)化函數(shù)，在某個(gè)xoy坐標(biāo)系里一條曲線，一些x值對應(yīng)多個(gè)y值，而一些y值對應(yīng)多個(gè)x值。第二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日在空間曲線的參數(shù)表示中，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)均要表示成某個(gè)參數(shù)t的一個(gè)函數(shù)式，則曲線上每一點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)參數(shù)式是：，，

把三個(gè)方程合寫到一起，曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)的矢量表示是：第三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日關(guān)于參數(shù)t的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)是：曲面寫為參數(shù)方程形式為:曲線或曲面的某一部分，可以簡單地用a≤t≤b界定它的范圍第四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日直線段端點(diǎn)坐標(biāo)分別是P1[x1,y1],P2[x2,y2]，直線段的參數(shù)表達(dá)式是：P(t)=

P1+(

P2-

P1)t=(1-t)P1+tP2

0≤t≤1；參數(shù)表示相應(yīng)的x,y坐標(biāo)分量是：x(t)=x1+(x2-x1)t

y(t)=y1+(y2-y1)t0≤t≤1第五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日參數(shù)方程具有如下優(yōu)點(diǎn)。(1)對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換（如平移、比例、旋轉(zhuǎn)）。(2)便于處理斜率為無限大的問題。(3)有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。具有很強(qiáng)的描述能力和豐富的表達(dá)能力。(4)參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中的曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。第六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日(5)規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1],使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義其邊界。便于曲線和曲面的分段、分片描述。易于實(shí)現(xiàn)光順連接。(6)易于用矢量和矩陣表示幾何分量，計(jì)算處理簡便易行。曲線和曲面可以分為兩類。一類要求通過事先給定的離散的點(diǎn)，稱為是插值的曲線或曲面。另一類不要求通過事先給定的各離散點(diǎn)，而只是用給定各離散點(diǎn)形成的控制多邊形來控制形狀，稱為是逼近的曲線或曲面?；靖拍畹谄唔摚惨话傥迨彭?，2022年，8月28日插值要求構(gòu)造一條曲線順序通過型值點(diǎn)，稱為對這些型值點(diǎn)進(jìn)行插值（interpolation）。逼近構(gòu)造一條曲線，使它在某種意義上最佳逼近這些型值點(diǎn)，稱之為對這些型值點(diǎn)進(jìn)行逼近（approximation）。第八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日參數(shù)連續(xù)性

一函數(shù)在某一點(diǎn)x0處具有相等的直到k階的左右導(dǎo)數(shù)，稱它在x0處是k次連續(xù)可微的，或稱它在x0處是k階連續(xù)的，記作Ck。幾何上C0、C1、C2依次表示該函數(shù)的圖形、切線方向、曲率是連續(xù)的。幾何連續(xù)性

兩曲線段的相應(yīng)的弧長參數(shù)化在公共連接點(diǎn)處具有Ck連續(xù)性，則稱它們在該點(diǎn)處具有k階幾何連續(xù)性，記作Gk。零階幾何連續(xù)G0與零階參數(shù)連續(xù)C0是一致的。一階幾何連續(xù)G1指一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)相鄰曲線段的交點(diǎn)處成比例，即方向相同，大小不同。二階幾何連續(xù)G2指兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。

第九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日光順

光順（smoothness）是指曲線的拐點(diǎn)不能太多，要光滑順暢。對于平面曲線相對光順的條件應(yīng)該是：（1）具有二階幾何連續(xù)（G2）；（2）不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；（3）曲率變化較小。第十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日拉格朗日n階多項(xiàng)式：令P0(x0,y0),…,Pn(xn,yn)表示n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，t0,t1,t2為任意數(shù)字，其拉格朗日n階多項(xiàng)式如下：對任意ji,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0第十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日拉格朗日插值：令P0(x0,y0),…,Pn(xn,yn)表示n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，希望找出通過這些點(diǎn)的曲線。這里：Li(xi)是拉格朗日多項(xiàng)式，L(x)是插值各數(shù)據(jù)點(diǎn)的第n階拉格朗日多項(xiàng)式第十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第二節(jié)Hermite多項(xiàng)式

已知函數(shù)f(t)在k+1個(gè)點(diǎn){ti}處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值{f(j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1，要求確定一個(gè)N=m0+m1+…+mk-1次的多項(xiàng)式P(t)，滿足下面的插值條件：第十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

考查k=1，m0=m1=2的情形。已知表示一條曲線的某個(gè)函數(shù)f(t)在兩點(diǎn)t0，t1的函數(shù)值f(t0),f(t1)和一階導(dǎo)數(shù)值f’(t0),f’(t1)，求三次多項(xiàng)式P(t):

第十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日把a(bǔ)0，a1，a2和a3代入則有：第二十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

經(jīng)整理，所求多項(xiàng)式P0(t)可以寫出如下：式中選取兩個(gè)端點(diǎn)及其及其切向量作為曲線構(gòu)造條件混合函數(shù)如下：第二十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日設(shè)表示一條曲線的某個(gè)函數(shù)f(t)在四點(diǎn)t0，t1，t2，t3的函數(shù)值f(t0),f(t1),f(t2),f(t3)，根據(jù)Lagrange插值法，則三次多項(xiàng)式P(t)可表示為：選擇四個(gè)不同的點(diǎn)作為構(gòu)造曲線的條件第二十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日混合函數(shù)如下：第二十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日經(jīng)驗(yàn)證可知：第二十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日為了使P0(t)的定義區(qū)間t0≤t≤t1變?yōu)閰^(qū)間0≤u≤1，可以做如下變換解出，代入混合函數(shù)式中，得：第二十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第二十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第二十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日將關(guān)于u的混合函數(shù)代入，所求的三次多項(xiàng)式成為：第二十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日令第三十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日得第三十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第三十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

對一般的Hermite插值問題，一般來說得到的插值多項(xiàng)式次數(shù)較高，應(yīng)用起來不方便。通常的處理辦法是將前面給出的參數(shù)的三次多項(xiàng)式逐段光滑地連接，如此來確定一般情況下的插值多項(xiàng)式。將前面t0和t1視為ti和ti+1，設(shè)給定f(ti)，f(ti+1)，f’(ti)，f’(ti+1)，則在區(qū)間[ti，ti+1]的Hermite三次插值多項(xiàng)式Pi(t)是：第三十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第三十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第三十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

為了完整地寫出這個(gè)插值多項(xiàng)式，可以在區(qū)間[ti，ti+1]中引入如下一些基本函數(shù)：第三十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第三十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第三十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日完整的插值多項(xiàng)式可寫為：

上式區(qū)間[t0，tn]中有定義，且為分段定義。在每個(gè)區(qū)間[ti，ti+1]上，都恰有四項(xiàng)。滿足插值條件

第三十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日每段曲線Pi(t)只在[ti，ti+1]中有定義：

第四十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日自變量的線性變換

用逆變換代入，將所得關(guān)于u的多項(xiàng)式記為，得第四十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日其中==第四十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

設(shè)在平面上有兩點(diǎn)P0，Pl，它們的位置向量分別為(1，1)，(4，2)，在P0的導(dǎo)數(shù)值即在該點(diǎn)的切線向量P’0=(1，1)，在Pl處P’1=(1，-1)

第四十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第四十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第三節(jié)Coons曲面

第四十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第四十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日uw表示了曲面片的方程0w，1w，u0，u1表示四條邊界曲線u0u表示在邊界線u0上的點(diǎn)沿u向的一階偏導(dǎo)數(shù)向量，稱邊界線的切向量u0w表示邊界線u0上的點(diǎn)沿w向的一階偏導(dǎo)數(shù)向量，稱邊界線的跨界切向量。uwuu

，uwuw，uwww分別表示曲面片uw關(guān)于u和w的二階偏導(dǎo)數(shù)向量，于是u0uu表示邊界線u0上的二階切向量，u0ww表示邊界線u0上的二階跨界切向量。第四十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

uwuw為曲面片P在點(diǎn)(u,w)處的扭曲向量。特別，用00，01，10，11分別表示曲面片四個(gè)角點(diǎn)時(shí)，00uw，01uw，10uw，11uw就分別表示在四個(gè)角點(diǎn)的扭曲向量。第四十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第四十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

構(gòu)造具有指定邊界曲線的曲面片Coons給出的一個(gè)解法是：尋找兩個(gè)混合函數(shù)f0(t)和f1(t)，它們是連續(xù)的，并且滿足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1，0≤t≤1。利用這樣的混合函數(shù)，通過四條邊界構(gòu)造曲面片，并通過疊加修正曲面片，產(chǎn)生滿足用戶需要的曲面。第五十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日若給定四條邊界曲線u0，u1，0w，1w，且0≤u≤1，0≤w≤1

在u向進(jìn)行線性插值，得到直紋面為：第五十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日在w向進(jìn)行線性插值，得到直紋面為：

若把這兩張直紋面疊加可得到一張新曲面Ps(u,w)：第五十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日Ps(u,w)上的任意一點(diǎn)，其位移矢量包含兩個(gè)部分，一部分是由于線性插值而產(chǎn)生的位移，另一部分是由于邊界曲線而產(chǎn)生的位移。

第五十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

為消除Ps(u,w)中由于線性插值而產(chǎn)生的位移，需要構(gòu)造一個(gè)新的曲面P3(u,w)

第五十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

構(gòu)造曲面P3(u,w)后，從Ps(u,w)中去除P3(u,w)，即去除線性插值的成分，則得到Coons構(gòu)造曲面P(u,w)=

Ps(u,w)-P3(u,w)=P1(u,w)+

P2(u,w)-P3(u,w)可寫成如下形式：第五十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第五十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日其中矩陣M是：

矩陣中四個(gè)元素是四個(gè)角點(diǎn)的位置向量，可用已知四條邊界曲線計(jì)算求出。

u0，u1可以是關(guān)于u的三次多項(xiàng)式，0w，1w可以是關(guān)于w的三次多項(xiàng)式，混合函數(shù)也是不超過三次的關(guān)于u或w的三次多項(xiàng)式，這時(shí)公式關(guān)于u看，或關(guān)于w看，都是三次多項(xiàng)式，是關(guān)于u或w的雙三次多項(xiàng)式第五十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第五十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日不難驗(yàn)證它們符合所提問題的要求，例如我們來驗(yàn)證0w是它的一條邊界線，這只要把u=0代入公式右端，得

第五十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日曲面片以指定的曲線為其邊界曲線，且有指定的跨界切向量

。

利用本章第二節(jié)定義的四個(gè)混合函數(shù)q00(t),q01(t),q10(t),q11(t)。這四個(gè)函數(shù)均是三次多項(xiàng)式，連續(xù)可微，并且還滿足下面的條件：

第六十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第六十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日設(shè)已經(jīng)給定四條邊界曲線u0，u1，0w，1w及沿這四條邊界曲線的跨界切向量u0w，u1w，0wu，1wu。這時(shí)可以計(jì)算求得四個(gè)角點(diǎn)的位置向量00，01，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，可以寫出符合要求曲面片的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：第六十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第六十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日容易地驗(yàn)證所寫出的公式滿足要求，例如以u=0代入該式右端，得：第六十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

曲面片沿邊界線取給定的各跨界切向量，可先對該式關(guān)于某一變量求導(dǎo)，例如對u求導(dǎo)，然后再代入u=0，這時(shí)有

第六十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第六十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日指定四個(gè)角點(diǎn)以及在這些點(diǎn)上的切向量和扭曲向量后，求解曲面的表達(dá)式。

已知角點(diǎn)位置向量00，10以及在這兩點(diǎn)關(guān)于u的切向量00u和01u，可以用Hermite插值公式來指定一條u邊界線：第六十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日將上兩式代入前式，就可以得到：第七十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

給出四個(gè)角點(diǎn)以及在該角點(diǎn)上的切向量和扭曲向量來構(gòu)造Coons曲面表達(dá)式。設(shè)在平面上有四點(diǎn)P0，Pl，P2，P3，它們的位置向量分別為(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。該四點(diǎn)的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定義在關(guān)于角點(diǎn)的信息矩陣M中：第七十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第七十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第四節(jié)Bezier曲線和曲面Bezier曲線

給出型值點(diǎn)P0，P1，…，Pn，它們所確定的n次Bezier曲線是：

第七十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日涉及到的0!及00，按約定均為1。在n=1時(shí),公式成為：

第八十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日在n=2時(shí)，公式成為：

第八十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日在n=3時(shí)，公式成為：第八十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日Bezier曲線的一些重要性質(zhì)

P(0)=

P0，P(1)=P1，曲線通過所給出型值點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

第八十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日Bezier曲線的對稱性

第八十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日曲線的凸包性

對給定的型值點(diǎn)P0，P1，…，Pn點(diǎn)集

第八十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日分段的三次Bezier曲線光滑連接

設(shè)給出兩個(gè)Bezier多邊形P0P1P2P3和Q0QlQ2Q3，顯然，使所決定的兩條Bezier曲線在連接點(diǎn)處連續(xù)的條件是P3=Q0。

Bezier曲線在連接點(diǎn)處G1連續(xù)，即一階導(dǎo)數(shù)幾何連續(xù)，就要求Q‘0=aP’3，這里a應(yīng)該是一個(gè)正數(shù)。由前面的公式，知Q'0=3(Q1—Q0)，P'3=3(P3—P2)，因此可知使在連接點(diǎn)處G1連續(xù)的條件是：第八十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日由此得

連接點(diǎn)處達(dá)到C2連續(xù)，即二階導(dǎo)數(shù)參數(shù)連續(xù)的條件對前面的公式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得，

第八十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日于是知，要求，即，注意到Q0=P3，由此得：第八十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

繪制Bezier曲線時(shí)，可以利用其定義式，對參數(shù)t選取足夠多的值，計(jì)算曲線上的一些點(diǎn)，然后用折線連接來近似畫出實(shí)際的曲線。隨著選取點(diǎn)增多，折線和曲線可以任意接近。

假設(shè)給定的四個(gè)型值點(diǎn)是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)，P3=(3，1)，則計(jì)算結(jié)果見表第八十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)第九十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第九十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日繪制Bezier曲線的方法幾何作圖法分裂法記點(diǎn)Pk，Pk+l，…，Pl可以生成的Bezier曲線為Pk,l(t)，0≤t≤1，則成立下面的遞推關(guān)系：第九十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日證明上式，要用到組合等式：

第九十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第九十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第九十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日voidbez_to_points(intn,intnpoints,doubleP[],doublepoints[])//P為控制點(diǎn)坐標(biāo)

points為采用幾何作圖算法生成的Bezier曲線上的離散點(diǎn)序列離散點(diǎn)序列points的個(gè)數(shù)為npoints

控制點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為n+1

{doublet,delt; delt=1.0/(double)npoints;//將參數(shù)tnpoints等分 t=0.0; for(inti=0;i<=npoints;i++) {

points[i]=decas(n,P,t);

//分別求出npoints+1個(gè)離散點(diǎn)points的坐標(biāo) t+=delt; }}第九十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日doubledecas(intn,doubleP[],doublet){ intm,i; double*R,*Q,P0; R=newdouble[n+1];Q=newdouble[n+1]; for(i=0;i<=n;i++) R[i]=P[i];//將控制點(diǎn)坐標(biāo)P保存于R中

//需要作n次外部循環(huán)，方能產(chǎn)生最終Bezier曲線在點(diǎn)t的值 for(m=n;m>0;m--)

{第九十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日//n次Bezier曲線在點(diǎn)t的值，可由兩條n-1次Bezier曲線//在點(diǎn)t的值通過線性組合而求得。 Q[i]=R[i]+t*(R[i+1]-R[i]); } for(i=0;i<=m-1;i++) R[i]=Q[i]; } P0=R[0]; deleteR; deleteQ; return(P0);}

第九十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日設(shè)給出四點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所確定三次Bezier曲線在t=1/3時(shí)的值P(1/3)，算法的計(jì)算過程

Bezier幾何作圖算法計(jì)算過程

第九十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

設(shè)控制點(diǎn)序列P0，P1，…，Pn確定的n次Bezier曲線是P(t)，用如下遞歸方式計(jì)算另一組點(diǎn)集：

如果令Pa(s)和Pb(s)分別是以控制點(diǎn)序列和確定的Bezier曲線，其中0≤s≤1，那么就有：第一百頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百零一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日己知四點(diǎn)P0，P1，P2，P3，確定了一條三次Bezier曲線P(t)，可寫出下式，

第一百零二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日分裂法中的遞歸計(jì)算第一百零三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日分裂法的示意圖

第一百零四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

可通過計(jì)算驗(yàn)證Bezier曲線由前后兩段構(gòu)成?，F(xiàn)以P0的系數(shù)為例，驗(yàn)證兩端它的系數(shù)是相等的。

左端顯然就是。先看右端。若0≤t≤，這時(shí)就用前半段的表達(dá)式，觀察分裂計(jì)算圖注意到中有1份P0，中有份，中是份，中是份，因此全部P0的系數(shù)是：

第一百零五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

右端對≤t≤1，注意到僅中有份的P0，知P0的系數(shù)是：

第一百零六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日設(shè)己知三次Bezier曲線P(t)的控制頂點(diǎn)是P0，P1，P2，P3，在P()處將曲線分為兩段，求出前半段的控制頂點(diǎn)Q0，Ql，Q2，Q3和后半段的控制頂點(diǎn)R0，R1，R2，R3，。有算法如下voidsplit_Bezier(PointP[]){ PointR[4],Q[4];

inti,j; for(i=0;i<=3;i++) R[i]=P[i];

第一百零七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日for(i=0;i<=2;i++)

{Q[i]=R[0]; for(j=0;j<=2-i;j++) {R[j].x=(R[j].x+R[j+1].x)/2;//分別對相鄰兩控制點(diǎn)間的線段進(jìn)行分裂 R[j].y=(R[j].y+R[j+1].y)/2; } } Q[3]=R[0];}第一百零八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日分裂算法的計(jì)算第一百零九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日根據(jù)Bezier曲線的凸包性質(zhì)，知道曲線上任意一點(diǎn)到線段P0P3的距離，小于P1和P2到線段P0P3距離中的較大者，即有：

第一百一十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日任意事先給定的對畫出曲線近似程度的要求ε>0，可以取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3))<ε為分裂停止的條件。

voidnew_split_Bezier(PointP[]){ PointR[4],Q[4]; inti,j; constdoubleepsilon=0.01;

if(maxdistance(P)<epsilon)/*maxdistance(P)為求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3))的函數(shù)*/第一百一十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日{(diào) MoveTo(P[0].x,P[0].y); LineTo(P[3].x,P[3].y); } else { for(i=0;i<=3;i++) R[i]=P[i]; for(i=0;i<=2;i++) { Q[i]=R[0]; for(j=0;j<=2-i;j++) {R[j].x=(R[j].x+R[j+1].x)/2; R[j].y=(R[j].y+R[j+1].y)/2; }} Q[3]=R[0];new_split_Bezier(Q); new_split_Bezier(R); }}第一百一十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日有理Bezier曲線

第一百一十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日圖中h0=h1=h3=1，當(dāng)h2=0、1/2、1、2、4時(shí)曲線逐漸地靠近P2點(diǎn)

第一百一十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日Bezier曲面

若在空間給定(m+1)(n十1)個(gè)控制點(diǎn)，Vij，i=0，1，…，m，j=0，1，…，n，令上式曲面為m×n次的Bezier曲面

第一百一十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日當(dāng)m=n=1，公式成為：第一百一十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日設(shè)v00，v01，v10，v11四點(diǎn)依次是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，則可得P1,1(u，w)的坐標(biāo)形式的參數(shù)方程為：消去參數(shù)，就得馬鞍面方程：

第一百一十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日當(dāng)m=n=3，曲面成為：第一百一十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百一十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日設(shè)同一個(gè)曲面片，用Coons曲面形式確定它，又用Bezier形式確定它，現(xiàn)在來考查、矩陣M與矩陣B有什么關(guān)系。求解上式得：第一百二十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百二十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日四個(gè)角點(diǎn)00，0l，10和11分別對應(yīng)控制點(diǎn)V00，V03，V30和V33，這是很自然的。關(guān)于切向量，例如00w=3(V01-V00)，表明00w，是沿從V00到V01邊的方向，大小是兩個(gè)位置向量差的3倍，其余切向量是類似的。

第一百二十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日00uw，有：00uw還可以寫做：第一百二十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日雙三次Coons曲面與Bezier曲面間的關(guān)系第一百二十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第五節(jié)B樣條曲線和曲面

B樣條曲線

給定n+1個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，…，Pn，它們所確定的k階B樣條曲線是：其中Ni，k(u)遞歸定義如下：第一百二十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日這里u0，u1，…，un+k，是一個(gè)非遞減的序列，稱為節(jié)點(diǎn)，(u0，u1，…，un+k)稱為節(jié)點(diǎn)向量。定義中可能出現(xiàn)，這時(shí)約定為0。第一百二十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

選取，n=2，k=1，控制頂點(diǎn)是P0，P1，P2，這樣應(yīng)選擇參數(shù)節(jié)點(diǎn)n+k+1=4個(gè)，設(shè)節(jié)點(diǎn)向量是(u0，u1，u2，u3)，按式定義，可寫出三個(gè)基函數(shù)：

第一百二十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日由公式可知所定義的B樣條曲線是

第一百二十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日選取n=3，k=2，于是有四個(gè)控制頂點(diǎn)P0，P1，P2，P3，應(yīng)有參數(shù)節(jié)點(diǎn)n+k+1=6個(gè)，設(shè)節(jié)點(diǎn)向量是(0，0，1，2，3，3)，試畫出所確定的2階B樣條曲線。取u=0.5，進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)?.5∈[0，1]=[u1，u2]，因此N1,1(0.5)=1，而其它的Ni,1(0.5)=0，i≠1。往下公式做遞歸計(jì)算。

第一百二十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日N2,2(0.5)和N3,2(0.5)，不必計(jì)算，因?yàn)橛?jì)算它們需要的i>2時(shí)的Ni,1(0.5)=0，所以知N2,2(0.5)=N3,2(0.5)=0。這樣代入公式計(jì)算P(0.5)，有：第一百三十頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日

再取u其它一些值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表所示。u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.5000N2,2(u)0000.510.50N3,2(u)000000.51P(u)P00.5(P0+P1)P10.5(P1+P2)P20.5(P2+P3)P3第一百三十一頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日選取n=3，k=4，平面上四個(gè)控制頂點(diǎn)P0，P1，P2，P3的坐標(biāo)依次是(1，1)，(2，3),(4，3)，(3，1)，這時(shí)應(yīng)取參數(shù)節(jié)點(diǎn)n+k+1=8個(gè)，設(shè)選取節(jié)點(diǎn)向量為(0，0，0，0，1，1，1，1)，畫出所確定的4階B樣條曲線。

計(jì)算N1,4(0.5)，其中0.5∈[0，1]=[u3，u4]

第一百三十二頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日N3,1(0.5)=1，而對i≠3，Ni,1(0.5)=0。

第一百三十三頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日用類似的過程可計(jì)算求出：

曲線上對應(yīng)參數(shù)u=0.5的點(diǎn)是：

第一百三十四頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日可以證明更一般的結(jié)論，即，n+1個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，…，Pn所確定的最高階的B樣條曲線是k=n+1階的，這時(shí)由節(jié)點(diǎn)向量(0，0，…，0，1，1，…，1)所確定的B樣條曲線，與該n+1個(gè)控制點(diǎn)所確定的Bezier曲線相同。在參數(shù)節(jié)點(diǎn)的眾多選取方法中，最多使用的是選擇參數(shù)u的每一區(qū)間為等長的情況，這時(shí)所得到的B樣條函數(shù)稱為是等距的，或均勻的。以下我們轉(zhuǎn)入討論等距的B樣條曲線。考慮使用較多的情況，可假定ui=i,i=0，1，…，n+k，再引入tj=u-ui+j，因?yàn)檫@可以使得ui+j≤u≤ui+j+1與0≤tj≤1是一致的。第一百三十五頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日遞歸式，經(jīng)過計(jì)算，可以寫出：第一百三十六頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百三十七頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百三十八頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百三十九頁，共一百五十九頁，2022年，8月28日第一百四十頁，共一百五十九